2023-2024学年广西三新学术联盟高二上学期12月联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广西三新学术联盟高二上学期12月联考数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2<4}，B={-3,0,1,2,4}，则(∁RA)∩B=( )
A. {0,1}B. {-3,0,1}C. {2,4}D. {-3,2,4}
2.已知z=3+5ii，则z在复平面上对应的点所在象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.抛物线x2=-12y的焦点坐标为
( )
A. (6,0)B. (-3,0)C. (0,-3)D. (0,-6)
4.已知等差数列{an}中，a2=6，a4=2，则公差d=( )
A. -2B. 2C. 3D. -4
5.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的3倍，则E的离心率为( )
A. 23B. 2 23C. 33D. 2 33
6.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=AA1，则AC1与B1C所成角的余弦值为( )
A. 13B. 12C. 32D. 14
7.已知点P在圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上，点A(4,0)，B(0,3)，则当∠PBA最大时，|PB|=( )
A. 10B. 3C. 2D. 10-1
8.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2OF2⋅OP=OF22(其中O为原点).设C1，C2的离心率分别为e1，e2，当4e1+e2取得最小值时，e1的值为( )
A. 64B. 33C. 22D. 63
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设定点F1(0,-2)，F2(0,2)，动点P满足|PF1|+|PF2|=a+4a(a>0)，则点P的轨迹可能是( )
A. 圆B. 线段C. 椭圆D. 直线
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，a1>0，若a2+a17=a11，则下列命题正确的是( )
A. 数列{an}是递减数列B. a8是数列{an}中的最小项
C. 满足Sn>0的n的最大值为14D. 当且仅当n=7时Sn取得最大值
11.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱锥A-BCD，设CD=2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，下列说法正确的是( )
A. 在翻折过程中，存在某个位置使得AB⊥CD
B. 若AC⊥CD，则AD与平面BCD所成角的正切值为 217
C. 当三棱锥A-BCD体积取得最大值时，二面角D-AC-B的平面角大小为π3
D. 当AE⊥EF时，三棱锥A-BCD外接球的表面积为16π
12.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为8，离心率为32，点M(-2,3)，A，B是双曲线上的任意两点，过点A分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q两点.下列说法正确的是( )
A. 若点A满足3|AF1|=2|AF2|，则△AF1F2的周长为52
B. 若点A在双曲线的左支，则|AM|+|AF2|的最小值为13
C. 存在点A，使得|AP|+|AQ|=2 5
D. 若直线AB的斜率为 2，线段AB的垂直平分线与y轴交于点(0,y0)，则y0<-6 3或y0>6 3
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知直线过点(6,0)和(3, 3)，则直线的倾斜角为 ．
14.已知双曲线Γ:x2a2-y2b2=1的离心率为 6，焦点到渐近线的距离是 5，则Γ的渐近线方程为 ．
15.已知等比数列{an}满足a5=2，a9=18，则a7= ．
16.设Sn为数列{an}的前n项和，已知数列{an}满足a1=1，Sn+1=4Sn-2n+1，则数列{an}的前6项和S6= .(以数字作答)．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3 2，c=2，B=π3，
(1)求sinC;
(2)求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a4=10，S3=9．
(1)求{an}的通项公式;
(2)设数列2anan+1的前n项和为Tn，求T1011．
19.(本小题12分)
某市A，B两校组织了一次数学联赛(总分120分)，两校各自挑选了数学成绩最好的100名学生参赛，成绩不低于115分定义为优秀，赛后统计了所有参赛学生的成绩(都在区间[100,120]内)，将这些数据分成4组：[100,105)，[105,110)，[110,115)，[115,120].得到如下两个学校的频率分布直方图：
(1)联赛结束后两校将根据学生的成绩发放奖学金，已知奖学金y(单位：百元)与其成绩t的关系为y=0.5,100≤t<105,1.5,105≤t<115,2.8,115≤t≤120.，若以奖学金的总额为判断依据，本次联赛A、B两校哪所学校实力更强?
(2)B校规定：按照笔试成绩从高到低，选拔45%的参赛学生进行数学的专业知识深度培养，将当选者称为“数学达人”，按照B校规定及该校频率分布直方图，估计B校“数学达人”的分数至少达到多少分?(保留小数点后两位小数)．
20.(本小题12分)
“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，已知神州十七号飞船在近地轨道绕以地球为一个焦点的椭圆轨道上运动。如图：若飞船距离地球所在位置F2(c,0)的最近距离为1，最远距离为3(单位：百公里)。
(1)求该椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)方程．
(2)若直线l:y=-12x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足|AB||CD|=5 34，求直线l的方程．
21.(本小题12分)
如图，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BD上的点且BF=3FD，AE=7ED，∠ABD=90∘，EC= 142，AB=BD=4，BC=2 3，CD=2．
(1)证明：CF⊥平面ABD;
(2)在线段AC上是否存在点G，使得BG与平面CEF所成角的正弦值为 1428?若存在，求AGAC的值;若不存在，请说明理由．
22.(本小题12分)
抛物线C:y2=2px(p>0)过点P(1,2)，直线l不经过点P，直线l与抛物线C交于M和N两点，使得PM⋅PN=0．
(1)求抛物线C的方程和准线方程。
(2)直线l是否经过定点?如果是，请求出定点的坐标;如果不是，请说明理由。
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了解不等式与集合的运算问题，是基础题．
解不等式得集合A，根据补集与交集的定义写出(∁RA)∩B即可．【解答】
解：集合A={x|x2<4}={x|-2∴∁RA={x|x≤-2或x≥2}，
又B={-3,0,1,2,4}，
∴(∁RA)∩B={-3,2,4}．
故选D．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数四则运算和复数的几何意义，属于基础题．
由z=3+5ii得出对应点坐标即可求解．
【解答】
解：z=3+5ii=-i3+5i-i2=5-3i，
对应的点是(5,-3)，
对应的点位于第四象限，
故选D．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查抛物线的焦点坐标，属于基础题．
通过抛物线的标准方程，直接求出抛物线的焦点坐标即可．
【解答】
解：因为x2=-12y，
所以p=6，焦点在y轴负半轴，
所以焦点坐标为(0,-3)．
故选C．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式及简单性质，属于基础题．
根据等差数列的性质则有a2=6，故6+2d=2，得到d=-2．
【解答】
解：设公差为d，则a4=a2+2d，即6+2d=2，解得d=-2．
故选：A
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的简单性质．属于基础题．
先根据题意可知a=3b，进而求得a和c的关系，离心率可得．
【解答】
解：依题意可知a=3b，而c= a2-b2=2 2b，
∴椭圆的离心率e=ca=2 23．
故选B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，余弦定理，属于基础题．
分别取CC1，B1C1，AC的中点D，E，F，连接DE，DF，EF，得出异面直线AC1与B1C所成的角，即为直线DE与DF所成的角，利用余弦定理从而得出答案．
【解答】
解：如图所示，分别取CC1，B1C1，AC的中点D，E，F，连接DE，DF，EF，
可得DE//B1C且DF//AC1，所以异面直线AC1与B1C所成的角，即为直线DE与DF所成的角，设∠EDF=θ，
因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，
令AB=AA1=2，在直角△CDF中，可得，DF= CD2+CF2= 2
在直角△C1DE中，同理可得DE= 2，
再取BC的中点M，连接EM，FM，可得EM//BB1，
因为BB1⊥底面ABC，所以EM⊥底面ABC，
在直角Rt△EFM中，可得EF= EM2+MF2= 5
所以|csθ|=|DE2+DF2-FE22DE⋅DF|=|2+2-52× 2× 2|=14
又因为θ是锐角，所以csθ=14，故选：D．
故选D．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线与圆相切的性质的应用，勾股定理的应用，属于中档题．
根据题意∠PBA最大时，直线PB与圆C相切从而可得出答案．
【解答】
解：∵A(4,0)，B(0,3)，∴过A，B的直线方程为x4+y3=1，即3x+4y-12=0，
圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心坐标为(3,4)，
圆心到直线3x+4y-12=0的距离d=|3×3+4×4-12| 32+42=135>1，
当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大，
此时|BC|= (3-0)2+(4-3)2= 9+1= 10，
∴|PB|= |BC|2-12= 9=3，
故选：B．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了椭圆和双曲线的定义和离心率，属于中档题．作PM⊥F1F2，垂足为M，则|F1M|=3c2，|F2M|=c2，由双曲线和椭圆的定义以及勾股定理可得e1e2=c2am=2，4e1+e2≥2 4e1e2，从而得出e1的值．
【解答】
解：如图，作PM⊥F1F2，垂足为M，
根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=2a|PF1|-|PF2|=2m,
解得|PF1|=a+m，|PF2|=a-m，
由2OF2⋅OP=OF22，
可得点P的横坐标为xP=c2，即|F1M|=3c2，|F2M|=c2，
由勾股定理可得(a+m)2-(3c2)2=(a-m)2-(c2)2，
整理得c2=2am，即e1e2=2，
∴4e1+e2≥2 4e1⋅e2=4 2，
当且仅当4e1=e2时等号成立，∴e1= 22．
故选C．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义，要注意|PF1|+|PF2|=|F1F2|时，点P的轨迹为线段．属于基础题．
根据基本不等式得a+4a≥4，再利用椭圆的定义判断可得答案．
【解答】
解：由题意知，定点F1(0,-2)，F2(0,2)，可得|F1F2|=4，
因为a>0，可得|PF1|+|PF2|=a+4a≥2 a⋅4a=4，
当且仅当a=4a，即a=2时等号成立，即a+4a=4时，
可得的|PF1|+|PF2|=|F1F2|，此时点P的轨迹是线段F1F2;
当a+4a>4时，可得|PF1|+|PF2|>|F1F2|，此时点P的轨迹是椭圆．
故选：BC．
10.【答案】AC
【解析】【分析】本题考查等差数列的单调性，等差数列的前n项和，属于中档题．
利用等差数列的性质与等差数列的前n项和公式逐项判断即可求解．
【解答】解：对于选项A:由等差数列的性质可得a2+a17=a11+a8，因为a2+a17=a11，所以a8=0，即a1+7d=0，所以a1=-7d>0，所以d<0，数列an是递减数列，所以选项A正确;
对于选项B:因为数列an是递减数列，所以最大项是首项a1，没有最小项，所以选项B错误;
对于选项C:由不等式Sn=d2(n2-15n)>0，可得0又因为n∈N*，所以满足Sn>0的n的最大值为14，所以选项C正确．
对于选项D:因为Sn=na1+n(n-1)d2=d2(n2-15n)，
所以当n=7或n=8时，Sn取最大值，所以选项D错误;故选：AC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查线线垂直，线面所成角，二面角，球的表面积，属于难题．
由线面垂直的性质定理可得AB⊥CD；可证∠ADE即为AD与平面BCD所成角的平面角，求出tan∠ADE即可；由题意当三棱锥A-BCD体积取得最大值时，顶点A到底面距离最大，可得二面角D-AC-B的平面角的大小为π2；由题意可得F是球心，R=2，可得三棱锥A-BCD外接球的表面积．
【解答】
解：对于A，当平面ABC与平面BCD垂直时，
∵CD⊥BC，平面ABC与平面BCD的交线为BC，CD⊂平面BCD，
所以CD⊥平面ABC，
又AB，AC⊂平面ABC，
∴CD⊥AB，CD⊥AC，故A正确;
对于B，连接AD，DE，
因为AC⊥CD，BC⊥CD，AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABC，
所以CD⊥平面ABC，
又AE⊂平面ABC，
所以AE⊥CD，
因为AB=AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，
又BC∩CD=C，BC，CD⊂平面BCD，所以AE⊥平面BCD，
则∠ADE即为AD与平面BCD所成角的平面角，
在Rt△BCD中，CD=2，∠BDC=60∘，则BC=2 3，DE= CE2+CD2= 7，AE=12BC= 3，
所以tan∠ADE=AEDE= 217，即AD与平面BCD所成角的正切值为 217，故B正确；
对于C，当三棱锥A-BCD体积取得最大值时，顶点A到底面距离最大，
即平面ABC与平面BCD垂直时，由A选项可知，CD⊥平面ABC，
又CD⊂平面ACD，则平面ACD⊥平面ABC，则二面角D-AC-B的平面角的大小为π2，故C不正确：
对于D，当AE⊥EF时，得AF= AE2+EF2= ( 3)2+12=2，
又F是BD的中点，则BF=DF=CF=2，所以，F是球心，R=2，所以S=4πR2=16π，所以D正确．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的标准方程，渐近线，焦点三角形的周长，双曲线上点到焦点或定点距离的最值，直线与双曲线相交问题，属于较难题．
根据已知条件求出双曲线的标准方程及渐近线，然后对于A，由3|AF1|=2|AF2|求出|AF1|和|AF2|，进而可得周长；对于B，将|AM|+|AF2|转化为|AM|+|AF1|+2a，利用M，A，F1三点共线时距离最小可求；对于C，根据点到直线的距离公式求出|AP|+|AQ|，再根据基本不等式求出最值即可判断；对于D，联立直线AB与双曲线方程，结合根与系数关系求出线段AB的中点坐标，进一步可得AB的垂直平分线方程，求出y0即可判断．
【解答】
解：由题可知，a=4，ca=32，c=6，b2=c2-a2=36-16=20，
双曲线C:x216-y220=1，
令x216-y220=0可得：渐近线为2 5x±4y=0．
对于选项A，若3|AF1|=2|AF2|，则|AF2|-|AF1|=12|AF1|=8，
所以|AF1|=16，|AF2|=24，
△AF1F2的周长为16+24+12=52，故选项A正确；
对于选项B，|AM|+|AF2|=|AM|+|AF1|+2a≥|MF1|+2a=5+8=13，
当且仅当M，A，F1三点共线且点A在线段MF1上时，取最小值，故选项B正确；
对于选项C，设A(x0,y0)，则x0216-y0220=1，
所以20x02-16y02=20×16=320，
|AP|+|AQ|=|2 5x0+4y0| (2 5)2+42+|2 5x0-4y0| (2 5)2+(-4)2=|2 5x0+4y0|6+|2 5x0-4y0|6≥2 |2 5x0+4y0|6·|2 5x0-4y0|6=2 |20x02-16y02|36
=2 20×1636=8 53，
当且仅当|2 5x0+4y0|6=|2 5x0-4y0|6，
即点A为(4,0)或(-4,0)时，取最小值，故选项C错误；
对于选项D，设直线AB的方程为y= 2x+m，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x216-y220=1y= 2x+m得：3x2+8 2mx+4m2+80=0，
所以x1+x2=-8 2m3，由△=(8 2m)2-4×3×(4m2+80)>0得m2>12，
线段AB的中点H为(-4 2m3,-5m3)，
所以线段AB的垂直平分线方程为y+5m3=-1 2(x+4 2m3)，
令x=0得y0=-3m，
由m2>12得y0<-6 3或y0>6 3，故选项D正确，
故选：ABD．
13.【答案】150∘
【解析】【分析】
本题考查了直线斜率与倾斜角的关系，是基础题．
先得出直线斜率，可得其倾斜角．
【解答】
解：直线的斜率为 3-03-6=- 33，
所以倾斜角为150∘．
14.【答案】y=± 5x
【解析】【分析】
本题考查双曲线的几何性质，是基础题．
先得出双曲线的渐近线ay±bx=0，由题意得|bc| a2+b2=b= 5，又ca= 6，得出a，可得渐近线方程．
【解答】
解：由题意知双曲线的渐近线方程为y=±bax，即ay±bx=0，
焦点到渐近线的距离是 5，则|bc| a2+b2=b= 5，
因为Γ的离心率为ca= 6，则c2a2=a2+5a2=6，解得：a=1，
所以Γ的渐近线方程为y=± 5x.
15.【答案】6
【解析】【分析】
本题主要考查等比数列性质，属于基础题．
由等比数列性质求解即可．
【解答】
解：q4=a9a5=182=9，q2=3，
a7=a5q2=2×3=6．
16.【答案】-960
【解析】【分析】
本题考查了数列的前n项和及Sn与an的关系、等比数列的通项公式以及等比数列的前n项和公式，是中档题．
易得Sn+1=4Sn-2n+1，Sn=4Sn-1-2n，相减整理得an+1-2n=4(an-2n-1)，令bn=an-2n-1，易得当n≥2时，数列{bn}是等比数列，公比为4，再由等比数列的通项公式以及等比数列求和可得结果．
【解答】
解：Sn+1=4Sn-2n+1， ①
当n≥2时，Sn=4Sn-1-2n， ②
①- ②得an+1=4an-2n(n≥2)，
所以an+1-2n=4(an-2n-1)，
令bn=an-2n-1，∵b1=0，
当n≥2时，数列{bn}是等比数列，公比为4，
且b2=a2-2=S2-S1-2=-3，
所以bn=b2⋅qn-2=-3×4n-2，(n≥2)，
得an-2n-1=-3×4n-2，即an=2n-1-3×4n-2(n≥2)．
S6=a1+a2+⋯⋯a6
=1+(2+22+23+24+25)-3×(40+4+42+43+44)=-960．
17.【答案】解：(1)在△ABC中，根据正弦定理bsin B=csin C
得3 2sin π3=2sin C，
解得：sinC= 66，
(2)法1:由余弦定理csB=a2+c2-b22ac得：12=4+a2-182×2×a，
化简得：a2-2a-14=0，
解得a=1+ 15，或a=1- 15(舍)，
则S△ABC=12acsinB
=12×(1+ 15)×2× 32= 3+3 52，
(或S△ABC=12absinC=12×(1+ 15)×3 2× 66= 3+3 52)
法2:由b>c，得B>C，即C为锐角，
则csC= 1-sin2C= 306，
故sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC
= 32× 306+12× 66=3 10+ 612
则S△ABC=12bcsinA
=12×3 2×2×3 10+ 612= 3+3 52．
【解析】本题主要考查正、余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．
(1)由正弦定理可得sinC;
(2)法1:由余弦定理可得a，再由三角形面积公式可得S△ABC；
法2，由三角形边角关系得C为锐角，求得csC，由sinA=sin(B+C)求得sinA，再由三角形面积公式可得S△ABC．
18.【答案】解：(1)因为{an}是等差数列，可设首项为a1，公差为d，
由题意得：a2+a4=(a1+d)+(a1+3d)=2a1+4d=10
S3=a1+a2+a3=3a1+3d=9
解得d=2，a1=1;
{an}是首项为1，公差为2的等差数列，通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1;
(2)由(1)，数列{an}，是公差为2的等差数列，通项公式an=2n-1．
所以2anan+1=2(2n-1)(2n+1)=12n-1-12n+1
从而可得Tn=(11-13+13-15+⋯+12n-1-12n+1).
可得T1011=(11-13+13-15+⋯+12×1011-1-12×1011+1)
T1011=1-12023=20222023．
【解析】本题主要考查等差数列，裂项相消法求和，属于中档题．
(1)由等差数列通项，前n项和公式可得d=2，a1=1，进而得{an}的通项公式;
(2)利用裂项相消法求和即可．
19.【答案】解：(1)A校学生获得的奖学金的总额为：
0.2×100×0.5+0.5×100×1.5+0.3×100×2.8=169(百元)=16900(元)，
B校学生获得的奖学金的总额为：
0.1×100×0.5+0.7×100×1.5+0.2×100×2.8=166(百元)=16600(元)，
因为16900>16600，
所以A校实力更强．
(2)由样本频率分布直方图可知，参赛学生成绩位于[115,120)的频率为0.2，参赛学生成绩位于[110,115)
的频率为0.35，这两组频率之和为0.55>0.45，所以，分数在[110,115)．
不妨设“数学达人”的分数至少为m，由0.2+ (m-115)×0.07=0.45
得m=111.43．
所以，估计B校“数学达人”的分数至少达到111.43分．
【解析】本题主要考查的是频率分布直方图，频率，属于中档题．
(1)直接利用频率分布直方图直接求解进行判断即可．
(2)利用频率关系列出关于m的方程，求解即可．
20.【答案】解：(1)由题意可得a+c=3，a-c=1，又由a2=b2+c2，
解得a=2，b= 3，c=1，
∴椭圆的方程为x24+y23=1;
(2)由题意可得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1，
∴圆心到直线l的距离为d=2|m| 5，
由d<1，即2|m| 5<1，可得|m|< 52，
∴|CD|=2 1-d2=2 1-4m25=2 5 5-4m2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=-12x+mx24+y23=1，
整理得x2-mx+m2-3=0，
可得：x1+x2=m，x1x2=m2-3，
∴|AB|= 1+(-12)22⋅ m2-4(m2-3)= 152 4-m2，
∵|AB||CD|=5 34，∴ 4-m2 5-4m2=1，
解方程得m=± 33，且满足|m|< 52，
∴直线l的方程为y=-12x+ 33或y=-12x- 33．
【解析】本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系及其应用，属于中档题．
(1)由a+c=3，a-c=1，a2=b2+c2，求得a，b，c，可得椭圆方程；
(2)用m表示CD，利用椭圆中弦长公式得|AB|，结合|AB||CD|=5 34可得m，从而可得直线l的方程．
21.【答案】解：(1)因为BD=4，BC=2 3，CD=2，所以三角形BDC为直角三角形，所以∠CBF=30∘，
由BF=3FD⇒BF=3，在△CBF中，由余弦定理，CF2=BF2+BC2-2BF⋅BCcs30∘，可得CF= 3，
所以有BF2+CF2=CB2，所以有CF⊥BD．
过B作AD的垂线BH，垂足为H，
由于AB=BD，则有AH=HD，又由于AE=7ED，所以有HE=3ED，则有FE//BH，则有FE= 22，
又由于EC= 142，CF= 3，所以有EF2+CF2=CE2，即CF⊥FE．
又由于BD，FE⊂平面ABD，BD∩FE=F，
所以CF⊥平面ABD，

(2)由(1)知，CF⊥平面ABD，AB⊂平面ABD，
所以有CF⊥AB，又BD⊥AB，CF，BD⊂平面BCD，CF∩BD=F，
由线面垂直判定定理可知，AB⊥平面BCD
在面BCD内过点B作By垂直于BD，以BD为x轴，以By为y轴，以BA为z轴建系。
B(0,0,0)，A(0,0,4)，C(3, 3,0)，F(3,0,0)，E(72,0,12)，
设G(x,y,z)，AG=λAC，则有(x,y,z-4)=λ(3, 3,-4)，
所以G(3λ, 3λ,-4λ+4)，所以BG=(3λ, 3λ,-4λ+4)
又因为CE=(12,- 3,12)，CF=(0,- 3,0)，设面CEF的法向量n=(a,b,c)，
由于n⋅CE=0n⋅CF=0，所以有- 3b=012a- 3b+12c=0，所以n=(-1,0,1)
设BG与平面CEF的夹角为θ，则有sinθ=|csBG,n|=|7λ-4| 2⋅ 9λ2+3λ2+(-4λ+4)2= 1428，
解得λ=12或914，
所以在线段AC上存在点G，使得BG与平面CEF的夹角的正弦值为 1428，且AGAC=12或914．
【解析】本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
(1)CF⊥BD，CF⊥FE，最后由线面垂直的判定定理，得证；
(2)在面BCD内过点B作By垂直于BD，以BD为x轴，以By为y轴，以BA为z轴建系，设AG=λAC，λ∈[0,1]，求得平面CEF的法向量n，由|csBG,n|= 1428，求出λ的值后，即可得解．
22.【答案】解：(1)点P(1,2)代入y2=2px得22=2p，解得p=2，
∴抛物线的方程是：y2= 4x，准线方程是：x=-1；
(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
显然直线l的斜率不等于0，设l的方程为：x=ty+m ①，
联立方程y2=4xx=ty+m，消去x得：y2-4ty-4m=0，
令△>0得：t2+m>0 ②，
则有y1+y2=4ty1y2=-4m ③，
PM=(x1-1,y1-2)，PN=(x2-1,y2-2)，
由PM⋅PN=0得：(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=0，
把 ①代入得：(ty1+m-1)(ty2+m-1)+(y1-2)(y2-2)=0，
化简得：(tm-t-2)(y1+y2)+(t2+1)y1y2+m2-2m+5=0，
把 ③代入得：4t(tm-t-2)-4m(t2+1)+m2-2m+5=0，
化简得：m2-6m-4t2-8t+5=0，即(m-2t-5)(m+2t-1)=0，
解得：m=-2t+1或者m=2t+5，
m=-2t+1不符合 ②式，舍去，
当m=2t+5时，l的方程是x=ty+2t+5，过定点(5,-2)．
【解析】本题考查了抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系和抛物线中的定点问题，是较难题．
(1)点P(1,2)代入y2=2px得出p，可得抛物线C的方程和准线方程；
(2)设l的方程为：x=ty+m，与抛物线联立，由PM⋅PN=0得m与t关系，可得定点坐标．