2023-2024学年天津市师中师教育集团高一上学期第三次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市师中师教育集团高一上学期第三次月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M=-1,1,3,5,N=-2,1,2,3,5，则M∩N=( )
A. {-1,1,3 }B. {1,2,5 }C. {1,3,5 }D. φ
2.“k>4”是“方程x2+y2+kx+(k-2)y+5=0表示圆的方程”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.某校举办歌唱比赛，将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图，根据频率分布直方图，第40百分位数估计为( )
A. 64B. 65C. 66D. 67
4.函数y=fx的图象如图所示，则fx的解析式可能是
( )
A. fx=x+1lnxB. fx=x-1lnx
C. fx=xlnxD. fx=x2-1lnx
5.已知a=ln12,b=12-3,c=tan15∘1-tan215∘，则a，b，c的大小关系是
( )
A. a>b>cB. c>b>aC. b>c>aD. a>c>b
6.已知某地市场上供应的洗衣机中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一台合格洗衣机的概率是( )
A. 0.16B. 0.72C. 0.76D. 0.88
7.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA⊥平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD=2，ED=1，若鳖臑P-ADE的外接球的体积为7 14π3，则阳马P-ABCD的外接球的表面积等于
( )
A. 19πB. 18πC. 17πD. 16π
8.已知函数f(x)=2 3cs2x+2sinxcsx，则有下列结论：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的图像关于点-π6,0对称；③f(x)在π2,2π3单调递增；④把y=2cs2x的图像上的所有点向右平移π12为个单位长度，再向上平移 3个单位，可得到y=f(x)的图像，其中所有正确结论的编号是
( )
A. ①④B. ②④C. ①③D. ①③④
9.已知函数fx=x,x≤0alnx,x>0，若函数gx=fx-f-x有5个零点，则实数a的取值范围是
( )
A. -e,0B. -1e,0C. -∞,-eD. -∞,-1e
二、填空题（本题共6小题，共30分）
10.i是虚数单位，则复数1-i3+4i= ．
11.在x+2 xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为72964，则二项展开式中的常数项为 ．
12.设函数fx=x2x+13x+24x+3，则f'0的值为 ．
13.2023年深秋，鼻病毒、肺炎支原体、呼吸道合胞病毒、腺病毒肆虐天津各个高中.目前病毒减员情况已经得到缓解，为了挽回数学课程，市教委决定派遣具有丰富教学经验的四支不同的教师队伍A、B、C、D，前往四所高中E、F、G、H进行教学指导，每支教师队伍到一所高中，那么总共有 (请用数字作答)种的不同的派遣方法.如果已知A教师队伍被派遣到H高中，那么此时B教师队伍被派遣到E高中的概率是 ．
14.已知ab∈R，ab≠0，两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0只有一条公切线，则1a2+1b2的最小值为
15.如图，在四边形ABCD中，AB=2，AC=2 3，AD=12，∠CAB=π6，AD⋅AB=-12，则AD⋅AC= ；设AC=mAB+nADm,n∈R，则m+n= ．
三、解答题（本题共5小题，共60分）
16.已知a,b,c分别是▵ABC的内角A,B,C的对边，且ab=csA2-csB．
(Ⅰ)求ac．
(Ⅱ)若b=4，csC=14，求▵ABC的面积．
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求cs2C+π3的值．
17.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，CD= 6．
(1)求证：AF//平面PCE；
(2)求点F到平面PCE的距离；
(3)求直线FC与平面PCE所成角的正弦值．
18.已知Sn为数列an的前n项和，且Sn+2=2an，n∈N*．
(1)求数列an的通项公式；
(2)令bn=2nan-1an+1-1，设数列bn的前项和为Tn，若Tn>20232024，求n的最小值．
19.已知数列an满足a1=1，an=1+an-1n>1,n∈N*，数列bn是公比为正数的等比数列，b1=2，且2b2，b3，8成等差数列，
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)若数列cn满足an⋅cn=bnanan+2+12n⋅n+2，求数列cn的前n项和Sn；
(3)若数列dn满足dn=1bn+-1n，求证：d1+d2+⋅⋅⋅+d2n<53．
20.已知函数fx=alnx-x+1x．
(1)若∀x≥1,fx≤0恒成立，求a的取值范围；
(2)证明：对任意n∈N*,e1+12+13+⋯+1n-n2n+1>n+1；
(3)讨论函数fx零点的个数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据交集的定义，直接运算求解即可．
【详解】 ∵ M=-1,1,3,5,N=-2,1,2,3,5 ，
∴ M∩N= {1,3,5 }
故选：C
2.【答案】A
【解析】【分析】根据 x2+y2+kx+k-2y+5=0 表示圆得到 k<-2 或 k>4 ，然后判断充分性和必要性即可．
【详解】若 x2+y2+kx+k-2y+5=0 表示圆，则 k2+k-22-4×5>0 ，解得 k<-2 或 k>4 ，
k>4 可以推出 x2+y2+kx+k-2y+5=0 表示圆，满足充分性，
x2+y2+kx+k-2y+5=0 表示圆不能推出 k>4 ，不满足必要性，
所以 k>4 是 x2+y2+kx+k-2y+5=0 表示圆的充分不必要条件．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据百分位数的定义及频率分布直方图计算即可．
【详解】由图可知 a+0.015+0.025+0.035+a+0.005×10=1⇒a=0.010 ，
0.010+0.015+0.025=0.05 ，即第40百分位数位于区间 60,70 ，
设第40百分位数为 x ，则 x-6070-x=0.4-⇒x=66 ．
故选：C
4.【答案】B
【解析】【分析】由函数的图象结合函数的性质逐项排除即可得解．
【详解】对于A，当 x∈0,1 时， x+1>0,lnx<0 ，所以 fx=x+1lnx<0 ，排除A；
对于C， fx=xlnx 的定义域为 -∞,0∪0,+∞ ，
且 f-x=-xln-x=-xlnx=-fx ，所以函数 fx 是奇函数，其图象关于原点对称，排除C；
对于D， fx=x2-1lnx 的定义域为 -∞,0∪0,+∞ ，
且 f-x=-x2-1ln-x=x2-1lnx=fx ，所以函数 fx 是偶函数，
其图象关于y轴对称，排除D．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】【分析】分别化简 a,b,c 即可明显比较出三者大小关系．
【详解】因为 a=ln12=-ln2<0 ， b=12-3=8 ， c=tan15∘1-tan215∘=12tan30∘= 36<1
所以 b>c>a ．
故选：C．
6.【答案】D
【解析】【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率．
【详解】从某地市场上购买一台洗衣机，设“买到的洗衣机是甲厂产品”为事件 A1 ，“买到的洗衣机是乙厂产品”为事件 A2 ，“买到的洗衣机是合格品”为事件B，
所以 PB=PA1PB|A1+PA2PB|A2 =0.8×0.9+0.2×0.8=0.88 ，
即从该地市场上买到一台合格洗衣机的概率是0.88．
故选：D
7.【答案】C
【解析】【分析】结合题意确定鳖臑 P-ADE 外接球的球心位置，利用其体积求得PA的长，将阳马 P-ABCD 补成长方体，求得对角线长，即得阳马 P-ABCD 外接球直径，即可求得答案．
【详解】设 PA 的中点为M，在鳖臑 P-ADE 中， PA⊥ 平面 ABCE ， AE,ED⊂ 平面 ABCE ，
故 PA⊥AE,PA⊥ED ，则 AM=12PE ；
又四边形 ABCD 为正方形，即 AD⊥DC ，即 AD⊥ED ，
PA∩AD=A,PA,AD⊂ 平面 PAD ，故 ED⊥ 平面 PAD ， PD⊂ 平面 PAD ，
故 ED⊥PD ，则 DM=12PE ，故 MA=ME=MD=MP ，
即M为鳖臑 P-ADE 的外接球的球心，外接球直径为 PE ，
AD=2 ， ED=1 ，则 AE= 22+12= 5 ，
设 PA=h ，则 PE= PA2+AE2= h2+5 ，
鳖臑 P-ADE 的外接球的体积为 7 14π3 ，故 4π3( h2+52)3=7 14π3 ，
解得 h=3 ；
由于 PA⊥ 平面 ABCE ，四边形 ABCD 为正方形，
故可将阳马 P-ABCD 补成以四边形 ABCD 为底面，PA为高的长方体 ABCD-PFGH ，
则阳马 P-ABCD 的外接球即为长方体 ABCD-PFGH 的外接球，
而 PC= PA2+AD2+DC2= 9+4+4= 17 ，
故阳马 P-ABCD 的外接球的表面积等于 4π( 172)2=17π ，
故选：C
8.【答案】A
【解析】【分析】由二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断．
【详解】 f(x)=2 3cs2x+2sinxcsx= 3(cs2x+1)+sin2x=212sin2x+ 32cs2x+ 3 =2sin(2x+π3)+ 3 ，
最小正周期是 T=2π2=π ，①正确；
f(-π6)=2sin(-π3+π3)+ 3= 3 ，函数图象关于点 -π6, 3 对称，②错；
x∈π2,2π3 时， 2x+π3∈4π3,5π3 ， 3π2∈4π3,5π3 ，因此 f(x) 在此区间上不单调，③错；
把 y=2cs2x 的图像上的所有点向右平移 π12 为个单位长度，再向上平移 3 个单位，得函数解析式为 y=2cs2(x-π12)+ 3=2cs(2x-π6)+ 3=2sin(2x+π3)+ 3 ，④正确．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，解题关键是利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质求解．
9.【答案】C
【解析】【分析】通过分析得到当 x>0 时， -x=alnx 要有2个根，参变分离后构造函数 gx=-xlnx ，研究其单调性和极值，数形结合求出实数a的取值范围．
【详解】 y=f-x 与 y=fx 关于y轴对称，且 f0=0 ，
要想 gx=fx-f-x 有5个零点，
则当 x>0 时， -x=alnx 要有2个根，结合对称性可知 x<0 时也有2个零点，
故满足有5个零点，
当 x=1 时， -1=0 ，不合题意；
当 x≠1 时，此时 a=-xlnx
令 gx=-xlnx ，定义域为 0,1∪1,+∞ ，
g'x=1-lnxlnx2 ，
令 g'x>0 得： 0e ，
故 gx=-xlnx 在 0,1,1,e 上单调递增，在 e,+∞ 上单调递减，
且当 x∈0,1 时， gx=-xlnx>0 恒成立，
gx=-xlnx 在 x=e 处取得极大值，其中 ge=-e ，
故 a∈-∞,-e ，此时与 gx=-xlnx 有两个交点．
故选：C
【点睛】对于求解函数零点个数问题，由以下的方法：(1)函数单调性与零点存在性定理得到函数零点个数；(2)参变
10.【答案】-125-725i
【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求得答案．
【详解】由题意得 1-i3+4i=(1-i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=-1-7i25=-125-725i ，
故答案为： -125-725i
11.【答案】240
【解析】【分析】由已知求得 n=6 ，再根据二项式通项公式的展开式求出常数项即可．
【详解】 x+2 xn 的展开式中，二项式系数和为 2n ，
令 x=1 ，得 x+2 xn 的展开式中，各项系数和为 3n ，
由题意可得 3n2n=72964 ，即 32n=72964 ，解得 n=6 ，
所以 x+2 x6 的展开式的通项为 Tr+1=C6rx6-r2 xr=C6r2rx6-rx-12r=C6r2rx6-32r ，
令 6-32r=0 ，解得 r=4 ，故展开式的常数项为 C6424=15×16=240 ，
故答案为：240
12.【答案】6
【解析】【分析】先化简函数 fx=24x4+46x3+29x2+6x ，再对函数求导，进而代值计算即可．
【详解】因为 fx=x2x+13x+24x+3=2x2+x12x2+17x+6
=24x4+46x3+29x2+6x ，
所以 f'x=96x3+138x2+58x+6 ，
则 f'0=6 ．
故答案为：6．
13.【答案】3；13
【解析】【分析】将四支教师队伍进行全排可求得派遣方法的个数，只考虑 B 教师队伍被派遣的可能情况，利用古典概型的概率公式可求得 B 教师队伍被派遣到 E 高中的概率．
【详解】由题意可知，每支教师队伍到一所高中的派遣方法数为 A44=24 ，
由于A教师队伍被派遣到H高中，则B教师队伍可派遣到其它 3 个高中，
因此 B 教师队伍被派遣到 E 高中的概率是 13 ．
故答案为： 24 ； 13 ．
14.【答案】9
【解析】【分析】两圆只有一条公切线，可以判断两圆是内切关系，可以得到一个等式，结合这个等式，可以求出 1a2+1b2 的最小值．
【详解】 x2+y2+2ax+a2-4=0⇒(x+a)2+y2=4 ，圆心为 (-a,0) ，半径为2；
x2+y2-4by-1+4b2=0⇒x2+(y-2b)2=1 ，圆心为 (0,2b) ，半径为1.因为两圆只有一条公切线，所以两圆是内切关系，即 (-a-0)2+(0-2b)2=1⇒a2+4b2=1 ，于是有
1a2+1b2=a2+4b2a2+a2+4b2b2=5+4b2a2+a2b2≥5+2 4b2a2⋅a2b2=9 (当且仅当 a2=2b2 取等号)，因此 1a2+1b2 的最小值为9．
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力．
15.【答案】0
6

【解析】【分析】根据题意和余弦定理求得 BC=2 ，利用平面向量的数量积求出 ∠BAD=2π3 ，进而可得 ∠CAD=π2 ，即 AD⋅AC=0 ；以A为原点，以AB为x轴，y轴 ⊥AB 建立平面直角坐标系，求出 AB、AC、AD 的坐标，根据 AC=mAB+nAD 列出方程组，解之即可求出 m、n ．
【详解】因为 AB=2,AC=2 3,∠CAB=π6 ，
所以 BC2=AB2+AC2-2AB⋅ACcs∠CAB=4+12-8 3× 32=4 ，
所以 BC=2 ，又 AD⋅AB=-12,AD=12 ，
所以 AD⋅AB=ADABcs∠BAD=12×2cs∠BAD=-12 ，
得 cs∠BAD=-12 ，故 ∠BAD=2π3 ，
所以 ∠CAD=∠BAD-∠CAB=2π3-π6=π2 ，
则 AD⊥AC ，即 AD⋅AC=0 ；
以A为原点，以AB为x轴，y轴 ⊥AB 建立如图平面直角坐标系，
则 A(0,0),B(2,0),C(3, 3),D(-14, 34) ，
所以 AB=(2,0) ， AC=(3, 3),AD=(-14, 34) ，
又 AC=mAB+nAD(m,n∈R) ，
所以 3=2m-n4 3= 34n ，解得 n=4m=2 ，所以 m+n=2+4=6 ．
故答案为：0； 6 ．
16.【答案】(Ⅰ)因为 ab=csA2-csB=sinAsinB ，
所以 2sinA-sinAcsB=sinBcsA ，
所以 2sinA=sinAcsB+sinBcsA=sin(A+B)=sinC ，
由正弦定理可得， ac=sinAsinC=12 ；
(Ⅱ)由余弦定理可得， 14=a2+16-4a28a ，
整理可得， 3a2+2a-16=0 ，
解可得， a=2 ，
因为 sinC= 154 ，
所以 SΔABC=12absinC=12×2×4× 154= 15 ；
(Ⅲ)由于 sin2C=2sinCcsC=2× 154×14= 158 ， cs2C=2cs2C-1=-78 ．
所以 cs(2C+π3)=12cs2C- 32sin2C=12×(-78)- 32× 158=-7-3 516

【解析】(Ⅰ)由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；(Ⅱ)由余弦定理可求 a ，然后结合三角形的面积公式可求；(Ⅲ)结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解．
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
17.【答案】详解】
(1)证明：设G为PC的中点，连接EG，FG，
∵FG为△PCD的中位线，∴FG // CD // AE
又∵E为AB的中点，∴AE=FG，
∴AEGF为平行四边形，∴AF // EG
∵AF⊄平面PCE，EG⊂平面PCE，
∴AF //平面PCE；
(2)设F到平面PEC的距离为h，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥EA，
又∵ABCD为矩形，∴EA⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴EA⊥平面PAD，∴AEGF为矩形，
∵△PAD为等腰直角三角形，∴PF是棱锥P-AEGF的高，
∴四棱锥P-AEGF的体积= 13 ⋅PF⋅FG⋅AF= 13×3 22×3 22× 62=3 64 ，
∵PE=EC= 422 ，PC= 2 6 ，∴由余弦定理可得cs∠PEC= -17 ，
∴sin∠PEC= 4 37 ∴S△PEC= 3 3 ；
∵四棱锥P-AEGF的体积=三棱锥F-PEG体积的2倍=三棱锥F-PEC体积，
∴ 13⋅3 3h=3 64 ，∴h= 3 24 ，
∴F点到平面PEC的距离为 3 24 ；
(3)作FH⊥平面PCE于H，
∴∠FCH是FC与平面PCE所成的角，
由(2)知，在△FCH中，FH= h=3 24 ，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAE，CD⊥PD，
根据数据可得：FC= 422 ，
∴sin∠FCH= FHFC= 2114 ，
∴直线FC与平面PCE所成角的正弦值为 2114 ．

【解析】(1)设G为PC的中点，连接EG，FG，FG为△PCD的中位线，FG // CD // AE，又E为AB的中点，AE=FG，AEGF为平行四边形，AF // EG，即可得证；
(2)利用等体积法，四棱锥P-AEGF的体积=三棱锥F-PEG体积的2倍=三棱锥F-PEC体积，即可得解；
(3)作FH⊥平面PCE于H，∠FCH是FC与平面PCE所成的角，在△FCH中，FH= 3 24 ，FC= 422 ，由正弦公式即可得解．
【点睛】本题考查了线面垂直的证明，以及点到面的距离以及线面所成角，考查了等体积法求高和转化思想，要求较高的计算能力，属于较难题．
18.【答案】(1)当 n=1 时， S1+2=2a1 ，解得 a1=2 ，
又 Sn+1+2=2an+1 ，所以 Sn+2=2an
所以 Sn+1+2-Sn+2=2an+1-2an ，即 an+1=2an ，
又因为 a1=2 ，所以 an≠0 ，所以 an+1an=2 ，
所以数列 an 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 an=2n ；
(2)由(1)可得 bn=2nan-1⋅an+1-1=2n2n-1⋅2n+1-1=12n-1-12n+1-1 ，
所以 Tn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn=1-122-1+122-1-123-1+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1-1
=1-12n+1-1 ，
因为 Tn>20232024 ，即 1-12n+1-1>20232024 ，
所以 2n+1>2024 ，因为 n∈N* ，所以 n≥10 ，
所以 n 的最小值为10．

【解析】(1)根据数列递推式利用 an,Sn 之间的关系推出 an+1=2an ，结合等比数列定义以及等比数列通项公式即可求得答案；
(2)由(1)结果可得 bn 的表达式，利用裂项法即可求得 Tn 表达式，解不等式即得答案．
19.【答案】(1)数列 an 满足 a1=1 ， an=1+an-1n>1,n∈N* ，
所以 an-an-1=1 (常数)，故数列 an 是首项为1，公差为1的等差数列，
故 an=1+n-1=nn∈N* ．
数列 bn 是公比为正数的等比数列，设公比为 q,q>0 ，
b1=2 ，且 2b2 ， b3 ，8成等差数列，
所以 2b3=2b2+8 ，即 4q2=4q+8 ，解得 q=2 ，
所以数列 bn 是首项为2，公比为2的正数的等比数列．
所以 bn=2×2n-1=2nn∈N* ．
故： an=n ， bn=2n ．
(2)数列 cn 满足 ancn=bnanan+2+12n⋅n+2 ，由(1)得， n⋅cn=2nnn+2+12n⋅n+2=nn+2+1n+2 ，
所以 cn=nn+2+1nn+2=1+121n-1n+2 ，
Sn=n+121-13+12-14+⋅⋅⋅+1n-1-1n+1+1n-1n+2
=n+121+12-1n+1-1n+2=n+34-121n+1+1n+2 ，
∴ Sn=n+34-121n+1+1n+2n∈N* ；
(3)证明：数列 dn 满足 dn=1bn+-1n=12n+-1n ，
n≥2 时， (22n-1-1)-22n-2=22n-2-1>0,∴22n-1-1>22n-2 ，
所以 d1+d2+⋅⋅⋅+d2n=121-1+122+1+123-1+124+1+⋅⋅⋅+122n-1-1+122n+1
=121-1+123-1+⋅⋅⋅+122n-1-1+122+1+124+1+⋅⋅⋅+122n+1
<1+122+⋅⋅⋅+122n-2+15+124+⋅⋅⋅+122n
=1+141-14n-11-14+15+1161-14n-11-14
<1+13+15+112=9760<10060=53 ，
故 d1+d2+⋅⋅⋅+d2n<53 ．

【解析】(1)根据等差数列的通项公式可求得 an ；由题意求出数列 bn 的公比，即可求得 bn 的表达式；
(2)由(1)的结果可求得 cn 的通项公式，利用裂项法即可求得 Sn ；
(3)由(1)可得 dn=1bn+-1n 的表达式，利用分组求和的方法结合不等式的放缩，即可证明结论．
20.【答案】(1)求导可得： f'(x)=ax-1-1x2=-x2+ax-1x2 ，
若 a≤0 ，对任意的 x≥1 ， f'(x)<0 ， f(x) 为减函数，所以 f(x)≤f(1)=0 ，符合题意；
若 a>0 ，考查函数 u(x)=-x2+ax-1 ，
当 Δ≤0 ，即 0当 Δ>0 ，即 a>2 时，令 u(x)=0 可得：
x1=a- a2-42<1 ， x2=a+ a2-42>1 ，
所以，当 x∈1,x2 时， f'(x)>0 ， f(x) 为增函数，所以 f(x)>f(1)=0 ，不符题意，
综上可得： a 的取值范围为 -∞,2 ．
(2)由(1)知当 a=2 时， f(x)≤0 成立，即 x≥1 时，恒有 2lnx-x+1x≤0 ，
即当 x>1 时， 2lnx取 x=k+1k ( k∈N* )，有 2lnk+1k<(k+1k-kk+1) ，
即 ln(k+1)-lnk<12(1k+1k+1) ， k=1,2,3⋯,n ，
所以， ln2-ln1<121+12,ln3-ln2<1212+13,…,lnn+1-lnn<121n+1n+1 ，
将上述不等式相加可得： ln(n+1)<12+(12+13+⋯+1n)+12(n+1) ，
整理可得 1+12+13+⋯+1n-n2(n+1)>ln(n+1) ，
即 n∈N*,e1+12+13+⋯+1n-n2n+1>n+1 成立；
(3)由 f'(x)=-x2+ax-1x2 ( x>0 )，
当 a<0 时， f'(x)<0 ， f(x) 为减函数，
又 f(12)=-aln2-12+2>0 ， f(2)=aln2-2+12<0 ，
此时 f(x) 在 (0,+∞) 内有一个零点 x0∈12,2 ；
当 a=0 时，令 f(x)=-x+1x=0 ，可得 x=1 或 x=-1 (舍)，
此时 f(x) 有一个零点，
当 a>0 时，考查函数 u(x)=-x2+ax-1 ，
若 Δ=a2-4≤0 ，即 0所以 f(x) 为减函数，由 fe10=10a-e10+1e10<0 ，
f(1e10)=-10a-1e10+e10>0 ，此时 f(x) 有一个零点在 1e10,e10 内；
若 Δ=a2-4>0 ， a>2 时， u(x)=-x2+ax-1=0 有两解，
x1=a- a2-42,x2=a+ a2-42 ， 0此时 f(x) 在 (0,x1),(x2,+∞) 上为减函数，在 (x1,x2) 上为增函数，
由 f1=0 可知，所以极小值 fx1f1=0 ，
由 fx=alnx-x+1x ，
取 x=ea ， fea=a2-ea+1ea(a>2) ，
令 h(x)=x2-ex+1ex(x>2) ，
h'(x)=2x-ex-1ex ，令 gx=2x-ex-1ex ，则 g'x=2-ex+1ex ，
由 x>2 所以 g'x=2-ex+1ex<0 ，所以 h'(x) 为减函数，
所以 h'(x)所以 h(x)可得 f1ea=-a2-1ea+ea>0 ，此时 f(x) 有三个零点，
综上可得： a≤2 时， f(x) 有一个零点， a>2 时， f(x) 有三个零点．

【解析】(1)进行求导可得 f'(x)=-x2+ax-1x2 ，讨论函数 f(x) 的单调性，求得最大值满足小于0即可；
(2)取 a=2 ， x>1 时， 2lnx(3)由导函数 f'(x)=-x2+ax-1x2 ，讨论 f(x) 的单调性，结合图象即可求得零点．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了恒成立问题和不等式证明问题，同时考查了数形结合思想，计算量较大，属于难题.本题的关键点有：
(1)分类讨论解决函数问题时要找到讨论点；
(2)用函数不等式证明数列不等式时，注意取值和相消法的应用；
(3)在讨论零点问题时注意零点存在性定理的应用以及参数的替换．