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安徽省安庆市2019-2020学年高二上学期期末教学质量监测 数学（理）试题
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这是一份安徽省安庆市2019-2020学年高二上学期期末教学质量监测 数学（理）试题，共12页。试卷主要包含了命题“若，则”的逆否命题是，椭圆的焦点坐标为等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 时间：120分
注意事项：
答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
非选择题包括填空题与解答题，请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“若，则”的逆否命题是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
2.实数的取值如下表所示，从散点图分析，与有较好的线性相关关系，
则关于的回归直线一定过点
A.B.C.D.
3.将三进制数转化为二进制数，下列选项中正确的是
A.B.C.D.
4.椭圆的焦点坐标为
A. B.C.D.
5.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形统计图：
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后，种植收入略有增加.
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上.
C.新农村建设后，养殖收入不变.
D.新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降.
6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问
题：松长七尺，竹长三尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日
而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分
别为7，3，则输出的等于
A.2 B.3 C.4 D.5
7.圆上总存在两个不同点关于直线对称，则
实数等于
A.-1 B.0 C.1 D.2
8.不等式成立的一个必要不充分条件是
A. B. C. D.
9.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆面和一个四分之一圆面组合而成，阴影部分是两个图形叠加而成.在此图内任取一点，此点取自阴影部分的概率记为，则等于
A. B.C. D.
10.已知双曲线的右焦点为，以为圆心的圆与一条渐近线交于两点，,相交弦长为，则双曲线的离心率等于
A. B. C.D.
11.已知、分别是圆与圆上的两
个动点，点是直线上的任意一点，则的最小值为
A. B. C.D.4
12.已知函数，，对，使得
，则实数的取值范围
A. B. C.D.
二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷的相应区域，答案写在试题卷上无效。
13.掷一颗骰子两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，向量，则向量与共线的概率为_______________.
14.方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是
_________________.
15.已知圆，圆，则圆与的公切线有_______________条.
16.命题“，有成立”是假命题，则实数的取值范围是______________________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，答案写在试题卷上无效。
（本题满分10分）
已知实数满足不等式，
实数满足不等式.
当时，为真命题，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
（本题满分12分）
十八届五中全会首次提出了绿色发展理念，将绿色发展作为“十三五”乃至更长时期经济社会发展的一个重要理念。某地区践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2015年初至2019年初，该地区绿化面积（单位：平方公里）的数据如下表：
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
利用（1）中的回归方程，预测该地区2025年初的绿化面积.
（参考公式：线性回归方程：
，为数据平均数）
（本题满分12分）
某高校在2019的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在，随机抽取200名考生成绩作为样本研究，按照笔试成绩分成5组，第1组成绩为，第2组成绩为，第3组成绩为，第4组成绩为，第5组成绩为，样本频率分布直方图如下：
（1）估计全体考生成绩的中位数；
（2）为了能选拨出最优秀的学生，该校决定在笔试
成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学
生进入第二轮面试，从这6名学生中随机抽取2
名学生进行外语交流面试，求这2名学生均来自
同一组的概率.
（本题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为, 的周长为，离心率等于.
求椭圆的标准方程；
过点的直线交椭圆于两点，且,求直线的方程.
21.（本题满分12分）
已知圆过点和点,且圆心在直线上.
求圆的方程；
动点在直线上，从点引圆的两条切线，切点分别为、
，求四边形面积的最小值.
22.（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称，顶点为坐标原点，且经过点.
求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于两点.是否存在定直线，使得上任意点与点所成直线的斜率，，成等差数列.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
安庆市2019－2020学年度第一学期期末教学质量监测
高二数学（理）试题参考答案及评分标准
一、 选择题 （每小题5分，共60分）
二、填空题 （每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 3 16.
1.本题考查逆否命题形式.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，所以选D.
2.本题主要考查两个变量的相关关系，回归直线一定过中心点，
而故选D.
3.考查进位制之间的相互转化。，再通过除2取余法可知，故选B.
4.题考查椭圆的性质，椭圆的标准方程为，
， ，而焦点在轴上，故选A.
5.本题考查统计知识，分析图表信息。从扇形统计图中可以看到，养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同，但建设后总收入为之前的2倍，所以建设后的养殖收入也是建设前的2倍，选项C错误。故选C.
6.本题主要考查程序框图，
当可得：
，不满足条件，执行循环体，
，不满足条件，执行循环体，
，满足条件，退出循环体，
输出，故选B.
7.本题考查圆的对称性.由条件知圆心在直线上，
从而.选C.
8.本题主要考查条件关系。的充要条件是，由条件知是目标选项的真子集，故选C.
9.本题主要考查几何概型。
由题意，设四分之一圆的半径为，则半圆的半径为，
整个图形面积
阴影部分的面积，
由几何概型知，，故选B.
10.本题主要考查双曲线的几何性质。
点到渐近线的距离，
因为，且，所以，
又，所以，
从而，即，
离心率，故选A.
11.本题主要考查两圆上点的距离最值问题。
圆关于直线对称的曲线
点关于直线的对称点在圆上，
则有，故
当三点共线时，距离和最小。
从而转化成求两点距离的最小值。
而，故选D
12.本题主要考查全称命题与特称命题的综合应用。
，由条件可知
即，从而有，可得.故选D.
13.本题考查古典概型。
由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有种结果，又由向量,共线，即，即，满足这种条件的基本事件有：共有3种结果，所以向量与共线的概率为
14.本题主要考查双曲线的标准方程形式.
化成标准方程形式，由
可得，故.
15.本题考查两圆的公切线，本质考查圆与圆的位置关系。
，，
，两圆外切，从而公切线有3条。
16.本题考查特称命题及否定命题。根据条件知道原命题的否定为真命题，
从而有，不等式恒成立，
对，
令，令，
则，
故 ，从而 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，第17题10分，其它5题每题12分
17.（1）当时， …………1分
，即满足； …………2分
为真命题，都为真命题， …………3分
于是有，即， 故. …………5分
（2）记 …………7分
由是的充分不必要条件知，从而有 ………9分
故 …………10分
（本题满分12分）
解：（1）
从而回归方程为； …………6分
（2）到2025年初时，即，解得
故预测2025年初该地区绿化面积约为平方公里。 …………12分
（本题满分12分）
（1）样本中位数为，从频率分布直方图可知，
从而有，解得 …………3分
故全体考生成绩的中位数约为. …………4分
（2）记A为事件“这两名学生均来自同一组”
用分层抽样第3组抽取2人，第4组抽取3人，第5组抽取1人，……5分
记第3组学生为，第4组学生为 ，第5组学生为；
从这6人中抽取2人有15种方法，分别为：
…………8分
其中事件A共有4种，为…………10分
由古典概型公式得
故这两名学生均来自同一组的概率为. …………12分
（本题满分12分）
由条件知 可得： …………3分
故椭圆的方程为 …………4分
显然直线的斜率存在，且斜率不为0，
设直线交椭圆于
由
…………6分
当时，
有， …………7分
又条件可得，,即 …………8分
从而有
…………10分
解得，故 且满足 …………11分
从而直线方程为或 ……12分
（本题满分12分）
线段的中垂线方程为： ………… 2分
由 得圆心 …………4分
圆的半径 …………5分
从而圆的方程为 …………6分
另解：设圆心坐标为，半径为，
则圆的方程为， …………2分
又圆过点和点，
解得 …………5分
圆的方程为 …………6分
由切线性质知，而
故 …………7分
的最小值即为点到直线的距离，
点到直线的距离
于是 …………10分
从而，
故四边形PMCN的面积的最小值为. …………12分
（本题满分12分）
解：（1）由条件设抛物线为，而点在抛物线上，
从而有，故抛物线方程为 …………4分
（2）假设存在直线使得直线上的任意点有成等差数列，
由条件知直线的斜率不等于0，设：交抛物线于，
由 可得：
从而有 …………7分
…………9分
若成等差数列，则
即
化简有 …………11分
从而有，即
故存在定直线，使得上任意点与点所成直线斜率成等差数列
…………12分
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代号x
1
2
3
4
5
绿化面积y
2.8
3.5
4.3
4.7
5.2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
B
A
C
B
C
C
B
A
D
D
满分：150分 时间：120分
注意事项：
答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
非选择题包括填空题与解答题，请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“若，则”的逆否命题是
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
2.实数的取值如下表所示，从散点图分析，与有较好的线性相关关系，
则关于的回归直线一定过点
A.B.C.D.
3.将三进制数转化为二进制数，下列选项中正确的是
A.B.C.D.
4.椭圆的焦点坐标为
A. B.C.D.
5.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形统计图：
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后，种植收入略有增加.
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上.
C.新农村建设后，养殖收入不变.
D.新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降.
6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问
题：松长七尺，竹长三尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日
而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分
别为7，3，则输出的等于
A.2 B.3 C.4 D.5
7.圆上总存在两个不同点关于直线对称，则
实数等于
A.-1 B.0 C.1 D.2
8.不等式成立的一个必要不充分条件是
A. B. C. D.
9.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆面和一个四分之一圆面组合而成，阴影部分是两个图形叠加而成.在此图内任取一点，此点取自阴影部分的概率记为，则等于
A. B.C. D.
10.已知双曲线的右焦点为，以为圆心的圆与一条渐近线交于两点，,相交弦长为，则双曲线的离心率等于
A. B. C.D.
11.已知、分别是圆与圆上的两
个动点，点是直线上的任意一点，则的最小值为
A. B. C.D.4
12.已知函数，，对，使得
，则实数的取值范围
A. B. C.D.
二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷的相应区域，答案写在试题卷上无效。
13.掷一颗骰子两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，向量，则向量与共线的概率为_______________.
14.方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是
_________________.
15.已知圆，圆，则圆与的公切线有_______________条.
16.命题“，有成立”是假命题，则实数的取值范围是______________________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，答案写在试题卷上无效。
（本题满分10分）
已知实数满足不等式，
实数满足不等式.
当时，为真命题，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
（本题满分12分）
十八届五中全会首次提出了绿色发展理念，将绿色发展作为“十三五”乃至更长时期经济社会发展的一个重要理念。某地区践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2015年初至2019年初，该地区绿化面积（单位：平方公里）的数据如下表：
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
利用（1）中的回归方程，预测该地区2025年初的绿化面积.
（参考公式：线性回归方程：
，为数据平均数）
（本题满分12分）
某高校在2019的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在，随机抽取200名考生成绩作为样本研究，按照笔试成绩分成5组，第1组成绩为，第2组成绩为，第3组成绩为，第4组成绩为，第5组成绩为，样本频率分布直方图如下：
（1）估计全体考生成绩的中位数；
（2）为了能选拨出最优秀的学生，该校决定在笔试
成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学
生进入第二轮面试，从这6名学生中随机抽取2
名学生进行外语交流面试，求这2名学生均来自
同一组的概率.
（本题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为, 的周长为，离心率等于.
求椭圆的标准方程；
过点的直线交椭圆于两点，且,求直线的方程.
21.（本题满分12分）
已知圆过点和点,且圆心在直线上.
求圆的方程；
动点在直线上，从点引圆的两条切线，切点分别为、
，求四边形面积的最小值.
22.（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称，顶点为坐标原点，且经过点.
求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于两点.是否存在定直线，使得上任意点与点所成直线的斜率，，成等差数列.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
安庆市2019－2020学年度第一学期期末教学质量监测
高二数学（理）试题参考答案及评分标准
一、 选择题 （每小题5分，共60分）
二、填空题 （每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 3 16.
1.本题考查逆否命题形式.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，所以选D.
2.本题主要考查两个变量的相关关系，回归直线一定过中心点，
而故选D.
3.考查进位制之间的相互转化。，再通过除2取余法可知，故选B.
4.题考查椭圆的性质，椭圆的标准方程为，
， ，而焦点在轴上，故选A.
5.本题考查统计知识，分析图表信息。从扇形统计图中可以看到，养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同，但建设后总收入为之前的2倍，所以建设后的养殖收入也是建设前的2倍，选项C错误。故选C.
6.本题主要考查程序框图，
当可得：
，不满足条件，执行循环体，
，不满足条件，执行循环体，
，满足条件，退出循环体，
输出，故选B.
7.本题考查圆的对称性.由条件知圆心在直线上，
从而.选C.
8.本题主要考查条件关系。的充要条件是，由条件知是目标选项的真子集，故选C.
9.本题主要考查几何概型。
由题意，设四分之一圆的半径为，则半圆的半径为，
整个图形面积
阴影部分的面积，
由几何概型知，，故选B.
10.本题主要考查双曲线的几何性质。
点到渐近线的距离，
因为，且，所以，
又，所以，
从而，即，
离心率，故选A.
11.本题主要考查两圆上点的距离最值问题。
圆关于直线对称的曲线
点关于直线的对称点在圆上，
则有，故
当三点共线时，距离和最小。
从而转化成求两点距离的最小值。
而，故选D
12.本题主要考查全称命题与特称命题的综合应用。
，由条件可知
即，从而有，可得.故选D.
13.本题考查古典概型。
由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有种结果，又由向量,共线，即，即，满足这种条件的基本事件有：共有3种结果，所以向量与共线的概率为
14.本题主要考查双曲线的标准方程形式.
化成标准方程形式，由
可得，故.
15.本题考查两圆的公切线，本质考查圆与圆的位置关系。
，，
，两圆外切，从而公切线有3条。
16.本题考查特称命题及否定命题。根据条件知道原命题的否定为真命题，
从而有，不等式恒成立，
对，
令，令，
则，
故 ，从而 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，第17题10分，其它5题每题12分
17.（1）当时， …………1分
，即满足； …………2分
为真命题，都为真命题， …………3分
于是有，即， 故. …………5分
（2）记 …………7分
由是的充分不必要条件知，从而有 ………9分
故 …………10分
（本题满分12分）
解：（1）
从而回归方程为； …………6分
（2）到2025年初时，即，解得
故预测2025年初该地区绿化面积约为平方公里。 …………12分
（本题满分12分）
（1）样本中位数为，从频率分布直方图可知，
从而有，解得 …………3分
故全体考生成绩的中位数约为. …………4分
（2）记A为事件“这两名学生均来自同一组”
用分层抽样第3组抽取2人，第4组抽取3人，第5组抽取1人，……5分
记第3组学生为，第4组学生为 ，第5组学生为；
从这6人中抽取2人有15种方法，分别为：
…………8分
其中事件A共有4种，为…………10分
由古典概型公式得
故这两名学生均来自同一组的概率为. …………12分
（本题满分12分）
由条件知 可得： …………3分
故椭圆的方程为 …………4分
显然直线的斜率存在，且斜率不为0，
设直线交椭圆于
由
…………6分
当时，
有， …………7分
又条件可得，,即 …………8分
从而有
…………10分
解得，故 且满足 …………11分
从而直线方程为或 ……12分
（本题满分12分）
线段的中垂线方程为： ………… 2分
由 得圆心 …………4分
圆的半径 …………5分
从而圆的方程为 …………6分
另解：设圆心坐标为，半径为，
则圆的方程为， …………2分
又圆过点和点，
解得 …………5分
圆的方程为 …………6分
由切线性质知，而
故 …………7分
的最小值即为点到直线的距离，
点到直线的距离
于是 …………10分
从而，
故四边形PMCN的面积的最小值为. …………12分
（本题满分12分）
解：（1）由条件设抛物线为，而点在抛物线上，
从而有，故抛物线方程为 …………4分
（2）假设存在直线使得直线上的任意点有成等差数列，
由条件知直线的斜率不等于0，设：交抛物线于，
由 可得：
从而有 …………7分
…………9分
若成等差数列，则
即
化简有 …………11分
从而有，即
故存在定直线，使得上任意点与点所成直线斜率成等差数列
…………12分
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代号x
1
2
3
4
5
绿化面积y
2.8
3.5
4.3
4.7
5.2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
B
A
C
B
C
C
B
A
D
D
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