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高中考试数学特训练习含答案——利用导数研究函数的单调性
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这是一份高中考试数学特训练习含答案——利用导数研究函数的单调性，共7页。
基础巩固组
1
.函数 f(x)=x3-ax 为 R 上增函数的一个充分不必要条件是( )
A.a≤0 B.a<0 C.a≥0 D.a>0
.(2020 山东青岛二中月考)已知定义域为 R 的函数 f(x)的导数为 f'(x),且满足 f'(x)<2x,f(2)=3,则不等
式 f(x)>x2-1 的解集是( )
2
A.(-∞,-1)
C.(2,+∞)
B.(-1,+∞)
D.(-∞,2)
3
.(2020 山东德州二模,8)已知函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)+13ex 的解
集为( )
A.(1,+∞)
B.(-∞,1)
C.(0,+∞)
D.(-∞,0)
ln푥
푥
4
.已知函数 f(x)= ,则( )
A.f(2)>f(e)>f(3)
C.f(e)>f(2)>f(3)
B.f(3)>f(e)>f(2)
D.f(e)>f(3)>f(2)
5
.(多选)(2020 山东高三模拟,8)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=-1,其导函数 f'(x)满足 f'(x)>m>1,则
下列成立的有( )
1
푚
1- 푚
푚
1
푚
A.f
C.f
>
B.f
D.f
<-1
1
푚- 1
1
푚- 1
1
>
<0
푚- 1
1
2
6
.设函数 f(x)= x2-9ln x 在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数 a 的取值范围是 .
7
8
.若函数 f(x)=x2-4ex-ax 在 R 上存在单调递增区间,则实数 a 的取值范围为 .
.(2020 河北唐山一模,文 21)已知 a>0,函数 f(x)=2ax3-3(a2+1)x2+6ax-2.
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)若 f(x)在 R 上仅有一个零点,求 a 的取值范围.
综合提升组
9
.已知函数 f(x)=ax2-4ax-ln x,则 f(x)在(1,3)上不具有单调性的一个充分不必要条件是( )
1
6
1
2
A.a∈ -∞,
B.a∈ - ,+∞
1
2
1
6
1
2
C.a∈ - ,
D.a∈ ,+∞
1
0.已知函数 f(x)=aln x-2x,若不等式 f(x+1)>ax-2ex 在 x∈(0,+∞)上恒成立,则实数 a 的取值范围是
( )
A.(-∞,2]
C.(-∞,0]
B.[2,+∞)
D.[0,2]
1
1.(多选)(2020 山东胶州一中模拟,11)已知定义在 0,π2 上的函数 f(x)的导函数为 f'(x),且
f(0)=0,f'(x)cs x+f(x)sin x<0,则下列判断中正确的是
( )
π
6
π
4
π
A.f
<
6f
B.f ln3 >0
2
π
6
π
3
π
4
π
3
C.f
> 3f
D.f
> 2f
푚
푥
1
2.(2020 山东潍坊临朐模拟一,22)已知函数 f(x)=mln x-x+ (m∈R),讨论 f(x)的单调性.
创新应用组
π
π
π
2
1
3.(2020 山东潍坊临朐模拟一,8)已知奇函数 f(x)的定义域为 -2,2 ,其导函数为 f'(x),当 0π
4
f'(x)cs x+f(x)sin x<0 成立,则关于 x 的不等式 f(x)< 2f
cs x 的解集为( )
π π
4
A.
,
2
π π
B. -2,-
4
π π
4 2
∪
,
π
4
π
4
C. - ,0 ∪ 0,
π
4
π π
4 2
D. - ,0 ∪
,
푥- 1
푥 + 1
1
4.设函数 f(x)=aln x+
,其中 a 为常数.
(1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论函数 f(x)的单调性.
参
考
答
案
课
时
规
范
练
1
5
利
用
导
数
研
究
函
数
的
单
调
性
1
.B 函数 f(x)=x3-ax 为 R 上增函数的充要条件是 f'(x)=3x2-a≥0 在 R 上恒成立,所以 a≤(3x2)min.因为
(3x2)min=0,所以 a≤0.而(-∞,0)⫋(-∞,0].故选 B.
.D 令 g(x)=f(x)-x2,则 g'(x)=f'(x)-2x<0,即函数 g(x)在 R 上单调递减.又因为不等式 f(x)>x2-1 可化为
f(x)-x2>-1,而 g(2)=f(2)-22=3-4=-1,所以不等式可化为 g(x)>g(2),故不等式的解集为(-∞,2).故选 D.
2
푓
(
푥
)
+
1
푓
'
(
푥
)
-
푓
(
푥
)
-
1
3
.C 令 g(x)=
,∵f(x)+1>0,故 g(x)在 R 上单调递增,且 g(0)=3,由
e푥
e푥
푓
(
푥
)
+
1
f(x)+1>3ex,可得
>3,即 g(x)>g(0),所以 x>0,故选 C.
e푥
.D f'(x)=1
- ln푥
푥2
(x>0),当 x∈(0,e)时,f'(x)>0;当 x∈(e,+∞)时,f'(x)<0.故当 x=e 时,f(x)max=f(e).f(2)=
ln2
2
4
=
ln8
6
ln3 ln9
3
,
f(3)=
=
,故 f(e)>f(3)>f(2).故选 D.
6
1
푚
1
푚
5
.AC 设 g(x)=f(x)-mx,则 g'(x)=f'(x)-m>0,故 g(x)=f(x)-mx 在 R 上单调递增.因为 >0,所以 g
1
푚
1
푚
1- 푚
푚
1
푚
1- 푚
푚
1
푚- 1
>
g(0),故 f
-1>-1,即 f
>0,而
<0,所以 f
>
,故 A 正确,B 错误.因为
>0,所以 g
1
푚- 1
1
푚- 1
푚
-
1
푚- 1
1
푚- 1
>
g(0),故 f
-푚 1>-1,即 f
>
>0,故 C 正确,D 错误.故选 AC.
1
2
9
푥
9
푥
6
.(1,2] ∵f(x)= x2-9ln x,∴f'(x)=x- (x>0),当 x- ≤ 0 时,有 01
,a+1]⊆(0,3],∴a-1>0 且 a+1≤3,解得 1.(-∞,-2-2ln 2)ꢀ因为 f(x)=x2-4ex-ax,所以 f'(x)=2x-4ex-a.由题意,f'(x)=2x-4ex-a>0 有解,即 a<2x-4ex 有
7
解.令 g(x)=2x-4ex,则 g'(x)=2-4ex.令 g'(x)=0,解得 x=-ln 2.函数 g(x)=2x-4ex 在(-∞,-ln 2)上单调递增;在(-
ln 2,+∞)上单调递减.所以当 x=-ln 2 时,g(x)=2x-4ex 取得最大值-2-2ln 2,所以 a<-2-2ln 2.
1
푎
8
.解 (1)f'(x)=6ax2-6(a2+1)x+6a=6(x-a)(ax-1),由 f'(x)=0,得 x=a 或 x= .
1
当 0a.
푎
所以当 x 时,f'(x)>0,从而 f(x)在(-∞,a), 1,+∞ 上单调递增;
1
푎
푎
1
当 a푎
从而 f(x)在 a,1 上单调递减.
푎
1
当 a=1 时, =a=1.
푎
所以 f'(x)≥0,从而 f(x)在 R 上单调递增.
1
当 a>1 时,a> .
푎
1
푎
所以当 x< 或 x>a 时,f'(x)>0,
从而 f(x)在 -∞,1 ,(a,+∞)上单调递增;
푎
1
当푎
从而 f(x)在 1,a 上单调递减.
푎
综上,当 0푎
푎
当 a=1 时,f(x)在 R 上单调递增;
当 a>1 时,f(x)在 -∞,1 ,(a,+∞)上单调递增,在 1,a 上单调递减.
푎
푎
1
푎
1
푎2
(2)f(a)=-a4+3a2-2=(a2-1)(2-a2),f
=1- .
1
푎
当 0<0,
所以 f(x)仅在 1,+∞ 上有一个零点,因此 0푎
当 a=1 时,f(1)=0,
所以 f(x)在 R 上仅有一个零点 1,因此 a=1 满足题设.
1
푎
当 a>1 时,f
>0,所以要满足题设须有 f(a)>0,
从而 2-a2>0,解得 1因此 1综上满足题目条件的 a 的取值范围是(0, 2).
1
푥
2푎푥2- 4푎푥- 1
9
.D f'(x)=2ax-4a- =
.若 f(x)在(1,3)上不具有单调性,令 g(x)=2ax2-4ax-1,则当 a=0 时,显然
푥
2
+
8
푎
>
0
,
훥
=
1
6
푎
1
2
1
6
1
2
1
2
1
6
不成立,a≠0 时,只需
解得 a<- 或 a> .而 ,+∞ ⫋ -∞,-
∪
,+∞ ,故选 D.
( ) ( )
,
푔
1
푔
3
<
0
1
0.A f(ex)=ax-2ex,所以 f(x+1)>ax-2ex 在(0,+∞)上恒成立,等价于 f(x+1)>f(ex)在(0,+∞)上恒成立.因为
当 x∈(0,+∞)时,11 时,f'(x)≤0 恒成立,即当
푎
푥
x>1 时, ≤ 2 恒成立,所以 a≤2.故选 A.
1.CD 令 g(x)=푓(푥),x∈ 0,2 ,则 g'(x)=
cs푥
π
푓'(푥)cs푥 + 푓(푥)sin푥
cs2푥
1
.因为 f'(x)cs x+f(x)sin x<0,所以 g'(x)=
푓'(푥)cs푥 + 푓(푥)sin푥
cs2푥
0 在 0,2 上恒成立,因此函数 g(x)=푓(푥)在 0,π2 上单调递减.因此 g
cs푥
π
π
6
π
4
<
>g
,即
π
6
cs
π
푓
(
)
π
6
푓
(
)
π
6
π
4
π
4 ,即 f
>
6f
,故 A 错误;又因为 f(0)=0,所以 g(0)=푓(0)=0,所以 g(x)=푓(푥) 0 在 0,2
>
≤
π
4
cs
cs0
cs푥
2
π
π
π
3
π
2
π
π
6
π
3
푓
(
)
푓
(
)
π
6
上恒成立,因为 ln ∈ 0, ,所以 f ln3 <0,故 B 错误;又因为 g
>g
,所以 6π > 3π,即 f
cs
cs
6
3
π
π
π
3
π
4
π
3
푓
(
)
푓
(
)
π
4
π
3
>
3f
,故 C 正确;又因为 g
>g
,所以 4π > 3π,即 f
> 2f
,故 D 正确.故选 CD.
cs
cs
4
3
푚
푥
푚
푥2
푥2- 푚푥 + 푚
푥2
1
2.解 由题意得 x∈(0,+∞),f'(x)= -1- =-
.
令 g(x)=x2-mx+m,Δ=m2-4m=m(m-4).
①
当 0≤m≤4 时,Δ≤0,g(x)≥0 恒成立,则 f'(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②
当 m<0 时,Δ>0,函数 g(x)与 x 轴有两个不同的交点 x ,x (x1
2
1
2
x +x =m<0,x x =m<0,则 x <0,x >0.
1
2
1
2
1
2
所以当 x∈ 0,푚 + 푚2- 4푚 时,g(x)<0,f'(x)>0,则 f(x)在 0,푚 + 푚2- 4푚 上单调递增;
2
2
푚
+
푚2- 4푚,+∞ 时,g(x)>0,f'(x)<0,则 f(x)在
2
푚
+
푚2- 4푚,+∞ 上单调递减.
2
当 x∈
③
当 m>4 时,Δ>0,函数 g(x)与 x 轴有两个不同的交点 x ,x (x1
2
1
2
x +x =m>0,x x =m>0,则 x >0,x >0.
1
2
1
2
1
2
所以 f(x)在 0,푚-
4푚 ,
푚
+
m2-
2
푚2- 4푚,+∞ 上单调递减;
2
푚
-
2
-
푚
+
2
-
在
푚
4
푚
,
푚
4
푚
上
单
调
递
增
.
2
2
综上所述,当 0≤m≤4 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当 m<0 时,f(x)在 0,푚 + 푚2- 4푚 上单调递增,在
푚
+
푚2- 4푚,+∞ 上单调递减;
2
2
当 m>4 时,f(x)在 0,푚- 푚2- 4푚 上单调递减,
2
푚
-
2
-
푚
+
2
-
푚
+
푚2- 4푚,+∞ 上单调递减.
2
在
푚
4
푚
,
푚
4
푚
,
2
2
3.A 根据题意,设 g(x)=푓(푥),其导数为 g'(x)=
푓'(푥)cs푥 + 푓(푥)sin푥
cs2푥
π
2
1
.因为当 0cs푥
π
2
π
2
π π
2 2
x<0,所以当 0푓(- 푥)
cs(- 푥) cs푥
π
π
π
4
数,则 g(-x)=
2 2
π
( ) 푓(
푓 푥
)
π
4
π
4
π
2
π π
4 2
cs x,即푓(푥) < 2f
π
4
,即
4π,即 g(x).所以 .故选 A.
<
,
cs푥
cs푥 cs
4
푥- 1
푥 + 1
1
4.解 (1)当 a=0 时,f(x)=
,x∈(0,+∞).
2
1
2
1
2
此时 f'(x)=
,于是 f'(1)= ,f(1)=0,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-0= (x-1),
(푥 + 1)2
即 x-2y-1=0.
(2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= +
푎
푥
2
푎푥2 + 2(푎 + 1)푥 + 푎
푥(푥 + 1)2
=
.
(푥 + 1)2
①
②
当 a≥0 时,f'(x)>0,所以函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当 a<0 时,令 g(x)=ax2+2(a+1)x+a,则 Δ=4(a+1)2-4a2=4(2a+1).
1
2
(ⅰ)当 a≤- 时,Δ≤0,所以 g(x)≤0,于是 f'(x)≤0,所以函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减.
1
2
-(푎 + 1) +
2푎 + 1,x2=
(ⅱ)当-0,此时 g(x)=0 有两个不相等的实数根,分别是 x =
1
푎
2
(푎 + 1)
-
> 0,可
푥
+
푥
=
-
(푎 + 1)-
2푎 + 1,x1
2
푎
1
2
1
2
푎
,
푥
푥
=
1
>
0
1
2
得 01
2
当 0x 时,有 g(x)<0,f'(x)<0,所以函数 f(x)在(0,x ),(x ,+∞)上单调递减;
1
2
1
2
当 x0,f'(x)>0,所以函数 f(x)在(x ,x )上单调递增.
1
2
1
2
1
2
1
2
综上所述,当 a≥0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增;当 a≤- 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-
-
(푎 + 1) + 2푎 + 1
-(푎 + 1)-
2푎 + 1,+∞ 上单调递减,在
-(푎 + 1) +
2푎 + 1,
<
a<0 时,函数 f(x)在 0,
,
푎
푎
푎
-
(푎 + 1)- 2푎 + 1
上单调递增.
푎
基础巩固组
1
.函数 f(x)=x3-ax 为 R 上增函数的一个充分不必要条件是( )
A.a≤0 B.a<0 C.a≥0 D.a>0
.(2020 山东青岛二中月考)已知定义域为 R 的函数 f(x)的导数为 f'(x),且满足 f'(x)<2x,f(2)=3,则不等
式 f(x)>x2-1 的解集是( )
2
A.(-∞,-1)
C.(2,+∞)
B.(-1,+∞)
D.(-∞,2)
3
.(2020 山东德州二模,8)已知函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x)+1
集为( )
A.(1,+∞)
B.(-∞,1)
C.(0,+∞)
D.(-∞,0)
ln푥
푥
4
.已知函数 f(x)= ,则( )
A.f(2)>f(e)>f(3)
C.f(e)>f(2)>f(3)
B.f(3)>f(e)>f(2)
D.f(e)>f(3)>f(2)
5
.(多选)(2020 山东高三模拟,8)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=-1,其导函数 f'(x)满足 f'(x)>m>1,则
下列成立的有( )
1
푚
1- 푚
푚
1
푚
A.f
C.f
>
B.f
D.f
<-1
1
푚- 1
1
푚- 1
1
>
<0
푚- 1
1
2
6
.设函数 f(x)= x2-9ln x 在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数 a 的取值范围是 .
7
8
.若函数 f(x)=x2-4ex-ax 在 R 上存在单调递增区间,则实数 a 的取值范围为 .
.(2020 河北唐山一模,文 21)已知 a>0,函数 f(x)=2ax3-3(a2+1)x2+6ax-2.
(1)讨论 f(x)的单调性;
(2)若 f(x)在 R 上仅有一个零点,求 a 的取值范围.
综合提升组
9
.已知函数 f(x)=ax2-4ax-ln x,则 f(x)在(1,3)上不具有单调性的一个充分不必要条件是( )
1
6
1
2
A.a∈ -∞,
B.a∈ - ,+∞
1
2
1
6
1
2
C.a∈ - ,
D.a∈ ,+∞
1
0.已知函数 f(x)=aln x-2x,若不等式 f(x+1)>ax-2ex 在 x∈(0,+∞)上恒成立,则实数 a 的取值范围是
( )
A.(-∞,2]
C.(-∞,0]
B.[2,+∞)
D.[0,2]
1
1.(多选)(2020 山东胶州一中模拟,11)已知定义在 0,π2 上的函数 f(x)的导函数为 f'(x),且
f(0)=0,f'(x)cs x+f(x)sin x<0,则下列判断中正确的是
( )
π
6
π
4
π
A.f
<
6f
B.f ln3 >0
2
π
6
π
3
π
4
π
3
C.f
> 3f
D.f
> 2f
푚
푥
1
2.(2020 山东潍坊临朐模拟一,22)已知函数 f(x)=mln x-x+ (m∈R),讨论 f(x)的单调性.
创新应用组
π
π
π
2
1
3.(2020 山东潍坊临朐模拟一,8)已知奇函数 f(x)的定义域为 -2,2 ,其导函数为 f'(x),当 0
4
f'(x)cs x+f(x)sin x<0 成立,则关于 x 的不等式 f(x)< 2f
cs x 的解集为( )
π π
4
A.
,
2
π π
B. -2,-
4
π π
4 2
∪
,
π
4
π
4
C. - ,0 ∪ 0,
π
4
π π
4 2
D. - ,0 ∪
,
푥- 1
푥 + 1
1
4.设函数 f(x)=aln x+
,其中 a 为常数.
(1)若 a=0,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论函数 f(x)的单调性.
参
考
答
案
课
时
规
范
练
1
5
利
用
导
数
研
究
函
数
的
单
调
性
1
.B 函数 f(x)=x3-ax 为 R 上增函数的充要条件是 f'(x)=3x2-a≥0 在 R 上恒成立,所以 a≤(3x2)min.因为
(3x2)min=0,所以 a≤0.而(-∞,0)⫋(-∞,0].故选 B.
.D 令 g(x)=f(x)-x2,则 g'(x)=f'(x)-2x<0,即函数 g(x)在 R 上单调递减.又因为不等式 f(x)>x2-1 可化为
f(x)-x2>-1,而 g(2)=f(2)-22=3-4=-1,所以不等式可化为 g(x)>g(2),故不等式的解集为(-∞,2).故选 D.
2
푓
(
푥
)
+
1
푓
'
(
푥
)
-
푓
(
푥
)
-
1
3
.C 令 g(x)=
,∵f(x)+1
e푥
e푥
푓
(
푥
)
+
1
f(x)+1>3ex,可得
>3,即 g(x)>g(0),所以 x>0,故选 C.
e푥
.D f'(x)=1
- ln푥
푥2
(x>0),当 x∈(0,e)时,f'(x)>0;当 x∈(e,+∞)时,f'(x)<0.故当 x=e 时,f(x)max=f(e).f(2)=
ln2
2
4
=
ln8
6
ln3 ln9
3
,
f(3)=
=
,故 f(e)>f(3)>f(2).故选 D.
6
1
푚
1
푚
5
.AC 设 g(x)=f(x)-mx,则 g'(x)=f'(x)-m>0,故 g(x)=f(x)-mx 在 R 上单调递增.因为 >0,所以 g
1
푚
1
푚
1- 푚
푚
1
푚
1- 푚
푚
1
푚- 1
>
g(0),故 f
-1>-1,即 f
>0,而
<0,所以 f
>
,故 A 正确,B 错误.因为
>0,所以 g
1
푚- 1
1
푚- 1
푚
-
1
푚- 1
1
푚- 1
>
g(0),故 f
-푚 1>-1,即 f
>
>0,故 C 正确,D 错误.故选 AC.
1
2
9
푥
9
푥
6
.(1,2] ∵f(x)= x2-9ln x,∴f'(x)=x- (x>0),当 x- ≤ 0 时,有 0
,a+1]⊆(0,3],∴a-1>0 且 a+1≤3,解得 1
7
解.令 g(x)=2x-4ex,则 g'(x)=2-4ex.令 g'(x)=0,解得 x=-ln 2.函数 g(x)=2x-4ex 在(-∞,-ln 2)上单调递增;在(-
ln 2,+∞)上单调递减.所以当 x=-ln 2 时,g(x)=2x-4ex 取得最大值-2-2ln 2,所以 a<-2-2ln 2.
1
푎
8
.解 (1)f'(x)=6ax2-6(a2+1)x+6a=6(x-a)(ax-1),由 f'(x)=0,得 x=a 或 x= .
1
当 0
푎
所以当 x 时,f'(x)>0,从而 f(x)在(-∞,a), 1,+∞ 上单调递增;
1
푎
푎
1
当 a
从而 f(x)在 a,1 上单调递减.
푎
1
当 a=1 时, =a=1.
푎
所以 f'(x)≥0,从而 f(x)在 R 上单调递增.
1
当 a>1 时,a> .
푎
1
푎
所以当 x< 或 x>a 时,f'(x)>0,
从而 f(x)在 -∞,1 ,(a,+∞)上单调递增;
푎
1
当
从而 f(x)在 1,a 上单调递减.
푎
综上,当 0
푎
当 a=1 时,f(x)在 R 上单调递增;
当 a>1 时,f(x)在 -∞,1 ,(a,+∞)上单调递增,在 1,a 上单调递减.
푎
푎
1
푎
1
푎2
(2)f(a)=-a4+3a2-2=(a2-1)(2-a2),f
=1- .
1
푎
当 0
所以 f(x)仅在 1,+∞ 上有一个零点,因此 0
当 a=1 时,f(1)=0,
所以 f(x)在 R 上仅有一个零点 1,因此 a=1 满足题设.
1
푎
当 a>1 时,f
>0,所以要满足题设须有 f(a)>0,
从而 2-a2>0,解得 1
1
푥
2푎푥2- 4푎푥- 1
9
.D f'(x)=2ax-4a- =
.若 f(x)在(1,3)上不具有单调性,令 g(x)=2ax2-4ax-1,则当 a=0 时,显然
푥
2
+
8
푎
>
0
,
훥
=
1
6
푎
1
2
1
6
1
2
1
2
1
6
不成立,a≠0 时,只需
解得 a<- 或 a> .而 ,+∞ ⫋ -∞,-
∪
,+∞ ,故选 D.
( ) ( )
,
푔
1
푔
3
<
0
1
0.A f(ex)=ax-2ex,所以 f(x+1)>ax-2ex 在(0,+∞)上恒成立,等价于 f(x+1)>f(ex)在(0,+∞)上恒成立.因为
当 x∈(0,+∞)时,1
푎
푥
x>1 时, ≤ 2 恒成立,所以 a≤2.故选 A.
1.CD 令 g(x)=푓(푥),x∈ 0,2 ,则 g'(x)=
cs푥
π
푓'(푥)cs푥 + 푓(푥)sin푥
cs2푥
1
.因为 f'(x)cs x+f(x)sin x<0,所以 g'(x)=
푓'(푥)cs푥 + 푓(푥)sin푥
cs2푥
0 在 0,2 上恒成立,因此函数 g(x)=푓(푥)在 0,π2 上单调递减.因此 g
cs푥
π
π
6
π
4
<
>g
,即
π
6
cs
π
푓
(
)
π
6
푓
(
)
π
6
π
4
π
4 ,即 f
>
6f
,故 A 错误;又因为 f(0)=0,所以 g(0)=푓(0)=0,所以 g(x)=푓(푥) 0 在 0,2
>
≤
π
4
cs
cs0
cs푥
2
π
π
π
3
π
2
π
π
6
π
3
푓
(
)
푓
(
)
π
6
上恒成立,因为 ln ∈ 0, ,所以 f ln3 <0,故 B 错误;又因为 g
>g
,所以 6π > 3π,即 f
cs
cs
6
3
π
π
π
3
π
4
π
3
푓
(
)
푓
(
)
π
4
π
3
>
3f
,故 C 正确;又因为 g
>g
,所以 4π > 3π,即 f
> 2f
,故 D 正确.故选 CD.
cs
cs
4
3
푚
푥
푚
푥2
푥2- 푚푥 + 푚
푥2
1
2.解 由题意得 x∈(0,+∞),f'(x)= -1- =-
.
令 g(x)=x2-mx+m,Δ=m2-4m=m(m-4).
①
当 0≤m≤4 时,Δ≤0,g(x)≥0 恒成立,则 f'(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②
当 m<0 时,Δ>0,函数 g(x)与 x 轴有两个不同的交点 x ,x (x
2
1
2
x +x =m<0,x x =m<0,则 x <0,x >0.
1
2
1
2
1
2
所以当 x∈ 0,푚 + 푚2- 4푚 时,g(x)<0,f'(x)>0,则 f(x)在 0,푚 + 푚2- 4푚 上单调递增;
2
2
푚
+
푚2- 4푚,+∞ 时,g(x)>0,f'(x)<0,则 f(x)在
2
푚
+
푚2- 4푚,+∞ 上单调递减.
2
当 x∈
③
当 m>4 时,Δ>0,函数 g(x)与 x 轴有两个不同的交点 x ,x (x
2
1
2
x +x =m>0,x x =m>0,则 x >0,x >0.
1
2
1
2
1
2
所以 f(x)在 0,푚-
4푚 ,
푚
+
m2-
2
푚2- 4푚,+∞ 上单调递减;
2
푚
-
2
-
푚
+
2
-
在
푚
4
푚
,
푚
4
푚
上
单
调
递
增
.
2
2
综上所述,当 0≤m≤4 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当 m<0 时,f(x)在 0,푚 + 푚2- 4푚 上单调递增,在
푚
+
푚2- 4푚,+∞ 上单调递减;
2
2
当 m>4 时,f(x)在 0,푚- 푚2- 4푚 上单调递减,
2
푚
-
2
-
푚
+
2
-
푚
+
푚2- 4푚,+∞ 上单调递减.
2
在
푚
4
푚
,
푚
4
푚
,
2
2
3.A 根据题意,设 g(x)=푓(푥),其导数为 g'(x)=
푓'(푥)cs푥 + 푓(푥)sin푥
cs2푥
π
2
1
.因为当 0
π
2
π
2
π π
2 2
x<0,所以当 0
cs(- 푥) cs푥
π
π
π
4
数,则 g(-x)=
2 2
π
( ) 푓(
푓 푥
)
π
4
π
4
π
2
π π
4 2
cs x,即푓(푥) < 2f
π
4
,即
4π,即 g(x)
<
,
cs푥
cs푥 cs
4
푥- 1
푥 + 1
1
4.解 (1)当 a=0 时,f(x)=
,x∈(0,+∞).
2
1
2
1
2
此时 f'(x)=
,于是 f'(1)= ,f(1)=0,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-0= (x-1),
(푥 + 1)2
即 x-2y-1=0.
(2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= +
푎
푥
2
푎푥2 + 2(푎 + 1)푥 + 푎
푥(푥 + 1)2
=
.
(푥 + 1)2
①
②
当 a≥0 时,f'(x)>0,所以函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当 a<0 时,令 g(x)=ax2+2(a+1)x+a,则 Δ=4(a+1)2-4a2=4(2a+1).
1
2
(ⅰ)当 a≤- 时,Δ≤0,所以 g(x)≤0,于是 f'(x)≤0,所以函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减.
1
2
-(푎 + 1) +
2푎 + 1,x2=
(ⅱ)当-
1
푎
2
(푎 + 1)
-
> 0,可
푥
+
푥
=
-
(푎 + 1)-
2푎 + 1,x
2
푎
1
2
1
2
푎
,
푥
푥
=
1
>
0
1
2
得 0
2
当 0
1
2
1
2
当 x
1
2
1
2
1
2
1
2
综上所述,当 a≥0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增;当 a≤- 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-
-
(푎 + 1) + 2푎 + 1
-(푎 + 1)-
2푎 + 1,+∞ 上单调递减,在
-(푎 + 1) +
2푎 + 1,
<
a<0 时,函数 f(x)在 0,
,
푎
푎
푎
-
(푎 + 1)- 2푎 + 1
上单调递增.
푎
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