苏科版七年级数学下册同步精品讲义 10.5 用二元一次方程组解决问题（学生版）

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第10章 二元一次方程组 10.5 用二元一次方程组解决问题 目标导航 知识精讲 知识点 用二元一次方程组解决问题 1.列方程组解应用题的基本思路： 列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等。 2.列二元一次方程组解应用题必须找出两个等量关系，列出两个方程。 3.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系； （2）设未知数：一般求什么，就设什么为； （3）找等量关系； （4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列方程组，求出未知数的值； （6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际； （7）答：写出答案。 4.列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【即学即练1】甲地某果蔬批发市场计划运输一批蔬菜至乙地出售，为保证果蔬新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为50千米/小时，B型车的平均速度为60千米/小时，从甲地到乙地B型车比A型车少用2小时． (1)请求出甲乙两地相距多少千米？ (2)已知A型车每辆可运3吨，B型车每辆可运2吨，若从甲地到乙地共需运送蔬菜15吨，则两种型号货车分别需要多少辆可恰好完成运输任务？有哪几种方案？（要求：每种型号货车至少配1辆） 【答案】(1)甲乙两地相距60千米； (2)共有2种租车方案，方案1：租用1辆A型车，6辆B型车可恰好完成运输任务；方案2：租用3辆A型车，3辆B型车可恰好完成运输任务． 【分析】（1）设A型车从甲地到乙地的时间为x小时，则B型车从甲地到乙地的时间为（x-2）小时，利用路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可； （2）根据一次运送蔬菜15吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案． 【解析】(1)解：设A型车从甲地到乙地的时间为x小时，则B型车从甲地到乙地的时间为（x-2）小时， 依题意得：50x=60（x-2）， 解得：x=12， 50x=60． 答：甲乙两地相距60千米； (2)解：设计划租用A型车m辆，B型车n辆， 依题意，得：3m+2n=15， ∴m=5-n． 又∵m，n均为正整数， ∴或， 答：共有2种租车方案，方案1：租用1辆A型车，6辆B型车可恰好完成运输任务；方案2：租用3辆A型车，3辆B型车可恰好完成运输任务． 【即学即练2】某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需要4吨A种原料和2吨B种原料，生产每件乙产品需要3吨A种原料和1吨B种原料．该厂现有A种原料120吨，B种原料50吨． (1)甲、乙两种产品各生产多少件，恰好使两种原料全部用完？ (2)在（1）的条件下，计划每件甲产品的售价为3万元，每件乙产品的售价为5万元，可全部售出．根据市场变化情况，每件甲产品实际售价比计划上涨a%，每件乙产品实际售价比计划下降10%，结果全部出售的总销售额比原计划增加了3.5万元，求a的值． 【答案】(1)甲生产15件，乙生产20件，恰好使两种原材料全部用完 (2) 【分析】（1）设甲生产x件，乙生产y件，根据题意得，，进行计算即可得； （2）用市场变化后的总销售额减去原计划的总销售额即可得． 【解析】（1）解：设甲生产x件，乙生产y件，根据题意得， 由②得，③ 将③代入①得： ， 将代入③得：， 解得 则甲生产15件，乙生产20件，恰好使两种原材料全部用完． （2）解：根据题意得， ． 能力拓展 考法 用二元一次方程组解决实际问题 【典例1】为缓解电力供需矛盾，促进能源绿色低碳发展，某市推行峰谷分时电价政策．峰谷分时电价为：峰时（8:00～22:00）每度电0.55元，谷时（22:00～次日8:00）每度电0.3元．小颖家10月份用电120度，缴纳电费61元． (1)求小颖家10月份，峰时、谷时各用电多少度？ (2)为响应节电政策，小颖11月份计划将20%的峰时用电转移至谷时，这样在她用电量保持不变的情况下能节省电费多少元？ 【答案】(1)小颖家10月份峰时用电100度，谷时用电20度 (2)在她用电量保持不变的情况下能节省电费5元． 【分析】（1）设小颖家10月份峰时用电x度，谷时用电y度，根据“10月份用电120度，缴纳电费61元”列出二元一次方程组求解即可； （2）计算出变化后的电费，用61相减即可． 【解析】（1）设小颖家10月份峰时用电x度，谷时用电y度，根据题意得， ?+?=1200.55?+0.3?=61 解得， 答：小颖家10月份峰时用电100度，谷时用电20度 （2） = =5（元） 答：在她用电量保持不变的情况下能节省电费5元． 【典例2】若m是一个两位数，与它相邻的11的整数倍的数为它的“邻居数”，与它最接近的“邻居数”为“最佳邻居数”，m的“最佳邻居数”记作n，令； 若m为一个三位数，它的“邻居数”则为111的整数倍，依次类推． 例如：50的“邻居数”为44与55，，， ∵，∴55为50的“最佳邻居数”，∴， 再如：492的“邻居数”为444和555，，， ∵，∴444是492的“最佳邻居数”． (1)求和的值； (2)若p为一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，且．求p的值． 【答案】(1)， (2)p的值为81． 【分析】（1）根据“最佳邻居数”的定义计算即可； （2）先确定的范围，再分类讨论，确定“最佳邻居数”，根据题意列出方程求解即可． 【解析】（1）解：∵83的邻居数为77和88， ∴，． ∵， ∴88是83的最佳邻居数， ∴． ∵268的邻居数为222和333， ∴，． ∵， ∴222是268的最佳邻居数． ∴． （2）解：∵，且，， ∴必大于34， ∴不会在300与333之间，． 情况1，当的最佳邻居数为333时，， ∴， ∴． ∵，，且为整数， ∴． 情况2，当的最佳邻居数为444时，， ∴， ∴． ∵，，且为整数此方程无解． 综上所述，p的值为81． 分层提分 题组A 基础过关练 1．学校计划用200元钱购买、两种奖品（两种都要买），种每个15元，种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】A 【分析】设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为非负整数求出解即可得． 【解析】解：设购买了A种奖品x个，B种奖品y个， 根据题意得：， 化简整理得：，得， ∵x，y为非负整数， ∴，，， ∴购买方案为： 方案1：购买了A种奖品0个，B种奖品8个； 方案2：购买了A种奖品5个，B种奖品5个； 方案3：购买了A种奖品10个，B种奖品2个； ∵两种奖品都要买， ∴方案1不符合题意，舍去， 综上可得：有两种购买方案． 故选：A． 2．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设每块小长方形地砖的长为xcm,宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长= 1个长+3个宽，②一个长+一个宽= 80cm，根据等量关系列出方程组即可． 【解析】解：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，根据题意，得 故选：C． 3．《九章算术》中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各买得多少？设醇酒买得x斗，行酒买得y斗，则可列二元一次方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设醇酒买得x斗，行酒买得y斗，根据“今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒”列出方程组． 【解析】解：由题意得：， 故选：D． 4．有支队名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队人，每支排球队人，每名运动员只能参加一项比赛．设篮球队有支参赛，排球队有参赛，则下面所列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设篮球队有支参赛，排球队有参赛，根据“支队名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队人，每支排球队人，”即可列出方程组． 【解析】解：设篮球队有支参赛，排球队有参赛，根据题意得： ， 故选：C． 5．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五：人出七，余三：问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【解析】解：设合伙人数为人．羊价为元， 依题意，得：． 故选：B． 6．某地响应国家号召，实施退耕还林政策．退耕还林之前，该地的林地面积和耕地面积共有180km2．退耕还林之后，该地的耕地面积是林地面积的30%．设退耕还林之后该地的耕地面积为xkm2，林地面积为ykm2，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设耕地面积x平方千米，林地面积为y平方千米，根据该地的林地面积和耕地面积共有180km2，退耕还林之后，该地的耕地面积是林地面积的30%列出方程即可. 【解析】解：设耕地面积x平方千米，林地面积为y平方千米， 根据题意列方程组. 故选B． 7．根据条件“比x的一半大3的数等于y的2倍”中的数量关系列出方程为 _____． 【答案】x+3＝2y 【分析】根据题中比x的一半大3的数表示为：，y的2倍表示为：，列出方程即可得． 【解析】解：比x的一半大3的数表示为：，y的2倍表示为：， 综合可得：， 故答案为：． 8．用16元钱买了80分、120分的两种邮票共17枚，则买了80分的邮票________枚，120分的邮票________枚． 【答案】 11 6 【分析】设购买80分的邮票x枚，购买120分的邮票y枚，根据题意列方程组得：，解方程组即可求解． 【解析】解：设购买80分的邮票x枚，购买120分的邮票y枚，根据题意列方程组得： ， 由得：， 代入可得：， 整理可得：， 解得：， 所以． 故答案为：11、6． 9．一铁路大桥长1800米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全离开桥共用分钟，整列火车完全在桥上的时间为分钟，则火车的速度为________米/秒． 【答案】20 【分析】由题意列出二元一次方程组求解即可． 【解析】设火车的速度是x米/秒，火车长为y米，根据题意得： ，解得：x=20，y=200． 故答案为： 20． 10．在一次数学知识竞赛中，共有20道题，规定：答错或不答一道题扣分相同，当答题结束时，A同学答对14道题，得分为58分；B同学答对11道题，得分为37分．请问答对一道题得几分，答错或不答一道题扣几分． 【答案】答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分． 【分析】设答对一道题得x分，答错或不答一道题扣y分．根据A同学答对14道题，得分为58分；B同学答对11道题，得分为37分．列出方程组即可求解． 【解析】解：设答对一道题得x分，答错或不答一道题扣y分． 据题意得： 解这个方程组得 答：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分． 11．列方程解应用题：2021年3月28日10时，随着洛阳地铁号线首发列车缓缓始离牡丹广场站，标志着洛阳地铁号线正式开通运营，古都洛阳正式迈入“地铁时代”，成为中西部地区首个开通地铁的非省会城市．已知号线采用按里程分段计价的票制，其中全程最高票价为元，学生可享受半价．周日，七年级某班师生共人从始发站“红山”乘地铁至终点站“杨湾”，感受“地铁速度”，其中学生均购半价票，单程共付车票费用元．求他们购买全价票与半价票各多少张？ 【答案】购买全价票张，半价票张． 【分析】可设购买全价票张，半价票张，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【解析】解：购买全价票张，半价票张，根据题意得： 解得： 答：购买全价票张，半价票张． 12．某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． （1）求大、小两种垃圾桶的单价； （2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？ 【答案】（1）大垃圾桶单价为180元，小垃圾桶的单价为60元；（2）2880． 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可． （2）根据第（1）问求得的大小垃圾桶的单价计算即可． 【解析】（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元， 由题意列方程得， 解得， 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元． （2）． 答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元． 13．某工厂计划招聘两个工种的工人共120人，两个工种的工人月工资分别为3200元和4000元．若该工厂每月支付工人的工资为440000元，那么两个工种的工人各招聘多少人？设招聘工种的工人人，招聘工种的工人人， （Ⅰ）根据题意填空：根据题意，列方程组得 （Ⅱ）完成对本题的解答： 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析． 【分析】（Ⅰ）根据“聘两个工种的工人共120人”和“该工厂每月支付工人的工资为440000元”建立方程组即可； （Ⅱ）利用加减消元法解二元一次方程组即可得． 【解析】解：（Ⅰ）由题意，列方程组为； （Ⅱ）上面的方程组整理得：， 解得：，且符合题意， 答：招聘工种的工人50人，招聘工种的工人70人． 题组B 能力提升练 1．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺！设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可列出等量关系：绳长=竿长+5尺，竿长=绳长的一半+5尺，据此列方程即可． 【解析】解：设绳索长x尺，竿长y尺，则 故选：A． 2．某校九年级学生到礼堂开会，若每条长凳坐5人，则少8条长凳；若每条长凳坐6人，则又多余2条长凳．若设学生人数为，长凳数为，由题意列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设学生人数为x，长凳数为y，然后根据若每条长凳坐5人，则少8条长凳；若每条长凳坐6人，则又多余2条长凳，列出方程即可． 【解析】解：设学生人数为x，长凳数为y， 由题意得：， 故选B． 3．甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程是动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，则动车平均每小时比快车平均每小时多行驶的路程为（ ） A．330千米 B．170千米 C．160千米 D．150千米 【答案】C 【分析】设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米，根据“一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇，且快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，求出动车与快车平均每小时行驶的路程即可解答． 【解析】解：设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米， 依题意得： ， 解得： ， ， 故选：C． 4．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”设绳子长为x尺，木条长为y尺，则根据题意所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设绳子长为x尺，木条长为y尺，则根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，”即可列出方程． 【解析】解：设绳子长为x尺，木条长为y尺，根据题意得： ． 故选：B． 5．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别列出方程即可得出答案． 【解析】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为： ． 故选：D． 6．某船顺流航行的速度为a，逆流航行的速度为b，则水流速度为（ ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】顺流航行的速度等于船在静水中的速度加上水流的速度，逆流航行的速度等于船在静水中的速度减去水流的速度，利用两个公式列方程组，再解方程组即可得到答案. 【解析】解：设水流的速度为 船在静水中航行的速度为 则 ①-②得： 所以水流的速度为： 故选： 7．一篮水果分给一群小孩，若每人分8个，则差3个水果；若每人分7个，则多4个水果．设小孩有人，水果有个．则所列方程组应为______________． 【答案】 【分析】由题意可得两条等量关系：人数乘以8－水果数＝3，人数乘以7－水果数＝-4，根据两条等量关系列出方程组即可． 【解析】解：由若每人分8个，则差3个水果可得等量关系：人数乘以8－水果数＝3， 则可列方程：， 由若每人分7个，则多4个水果可得等量关系：人数乘以7－水果数＝-4， 则可列方程：， 故答案为：． 8．已知点A，B是数轴上原点两侧的两个整数点，分别表示整数a，b，若a＋b＝﹣28，且AO＝5BO（O为数轴上原点），则a﹣b的值等于______． 【答案】 【分析】根据题意可知为整数，根据点A，B是数轴上原点两侧的两个整数点，AO＝5BO可得，代入a＋b＝﹣28，解方程求解即可 【解析】解：∵a＋b＝﹣28，点A，B是数轴上原点两侧的两个整数点，且AO＝5BO ∴ 解得 故答案为： 9．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”这首诗的意思是说：“如果一间客房住七个人，那么就剩下七个人安排不下；如果一间客房住九个人，那么就空出一间客房．”问，现有客房多少间？房客多少人？设现有客房x间，房客y人，请你列出二元一次方程组：_____． 【答案】 【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可． 【解析】解：设该店有客房x间，房客y人； 根据题意得：， 故答案为：． 10．某校初一年级两个班的学生要到航天科普教育基地进行社会大课堂活动，其中初一（1）班有40多人，初一（2）班有50多人，教育基地门票价格如下： 原计划两班都以班为单位分别购票，则一共应付1106元．请回答下列问题： （1）初一（2）班有多少人？ （2）你作为组织者如何购票最省钱？比原计划省多少钱？ 【答案】（1）初一（2）班共有53人或59人；（2）两个一起买票更省钱，比原计划节省298元或290元 【分析】（1）设一班人有x人，则二班有y人,根据两班分别购票的费用为1136元建立方程，求出其解； （2）根据表格中的数据和（1）中结果，可知两个班一起购买最省钱，从而可以求得省多少钱． 【解析】解：（1）设初一（1）班有x人，初一（2）班有y人， 可得：， 化简为：且，， 根据方程代入试算可得： 当初一（1）班有48人时， ， ； 当初一（1）班有43人时， ， ， ； 所以，初一（2）班共有53人或59人； （2）两个班一起买票更省钱， 根据题意及表中数据可得，两个班级合起来超过100人，每张票的价格为8元， ①， ； ②， ． ∴这样比原计划节省298元或290元． 11．甲、乙两件服装的进价共500元，商店老板将甲种服装按的利润定价，乙种服装按的利润定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按九折出售，这样商店老板共获利157元．求甲、乙两件服装的进价各是多少元？ 【答案】甲服装的进价是300元，乙服装的进价是200元． 【分析】设甲服装的进价是x元，乙服装的进价是y元，利用甲乙两件服装的成本共500元，以及结合利润与打折与进价与标价的关系得出等式求出即可． 【解析】解：设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元， 根据题意可得：， 解得：． 答：甲服装的进价是300元，乙服装的进价是200元． 12．已知：用3辆型车和1辆型车载满货物一次可运货13吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．根据以上信息，解答下列问题． （1）1辆型车和1辆型车载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）某物流公司现有货物若干吨要运输，计划同时租用型车6辆，型车8辆，一次运完，且恰好每辆车都满载货物，请求出该物流公司有多少吨货物要运输？ 【答案】（1）1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨（2）该物流公司有50吨货物要运输 【分析】（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，则1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据题意可得出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据货物质量＝6辆A型车的满载量＋8辆B型车的满载量，代入数据即可得出结论． 【解析】解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，则1辆B型车载满货物一次可运货y吨， 根据题意得：， 解得：， 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨． （2）该批货物的质量为3×6＋4×8＝50（吨）． 答：该物流公司有50吨货物要运输． 13．某次篮球联赛部分积分如下： 据表格提供的信息解答下列问题： （1）胜一场、负一场各积多少分？ （2）某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）胜一场积分，负一场积分；（2）不能，见解析 【分析】（1）设胜一场积分，负一场积分，根据A、B两队的得分情况列方程组，求解； （2）设胜场数是，则负场数是，由“胜场总积分等于负场总积分”，列出方程求解并判断． 【解析】解：（1）设胜一场积分，负一场积分 依题意得， 解得 答：胜一场积分，负一场积分． （2）不能 设胜场数是，则负场数是． 若胜场总积分等于负场总积分，依题意可得，解得． 必须为整数， 胜场总积分不能等于负场总积分． 题组C 培优拔尖练 1．在某场CBA比赛中，某位运动员的技术统计如下表所示： 注：①表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球； ②总得分＝两分球得分+三分球得分+罚球得分． 根据以上信息，本场比赛中该运动员投中两分球和三分球各（　　）个． A．5，6 B．6，5 C．4，7 D．7，4 【答案】B 【分析】设本场比赛中该运动员投中两分球x个，三分球y个，根据投中次数结合总分，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解析】解：设本场比赛中该运动员投中两分球x个，三分球y个， 根据题意得：， 解得：． 答：设本场比赛中该运动员投中两分球6个，三分球5个． 故选：B． 2．如图，长方形的宽为，长为，，第一次分割出一个最大的正方形，第二次在剩下的长方形中再分割出一个最大的正方形，依次下去恰好能把这个长方形分成四个正方形，，，，并且无剩余，则与应满足的关系是（ ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据长方形的宽为a，长为b进行分割，第一次分割出边长a的正方形，第二次分割出边长（b-a）的正方形，并进行分类讨论，画出几何图形，利用边长的关系即可得出a、b的关系． 【解析】解：①如图： ∵AB=AE=a，AD=BC=b， ED=EI=IG=GF=b-a， ∴a=3（b-a）， ∴4a=3b， ∴ ②如图： ∵AB=AF=BE=a，AD=BC=b， ∴EI=IC=2a-b， ∴b=a+2a-b+2a-b， ∴ 综上所述：或 故选：B． 3．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒）1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒斗，斗酒斗，可列二元一次方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设能买醇酒斗，行酒斗，利用总价单价数量，结合用30钱共买2斗酒，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【解析】解：设能买醇酒斗，行酒斗． 买2斗酒， ； 醇酒1斗，价格50钱；行酒1斗，价格10钱，且共花费30钱， ． 联立两方程组成方程组． 故选：B． 4．把一根20m长的钢管截成2m长和3m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中2m长的钢管有a根，则a的值可能有（ ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】设3m长的钢管有b根，根据钢管的总长度为20m，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出结论． 【解析】设2m长的钢管有a根，3m长的钢管有b根， ∵钢管长20m，且没有余料， ∴2a+3b=20， ∴b=， ∵a，b均为正整数， ∴，，， ∴a的值可能有1、4、7，共3种， 故选：B． 5．育才中学初一年级某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了184元购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则所列方程组正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据花了184元购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件8元，乙种奖品每件6元，列出方程组即可． 【解析】解：根据题意得： ， 故选：B． 6．疫情期间，铁路、公路等部门担负着物资运输的重要任务，运输360吨疫情物资，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440吨疫情物资，装载了8节火车车厢和10辆汽车，则10节火车车厢和20辆汽车能运输多少吨疫情物资？（ ）．A．720 B．860 C．1100 D．580 【答案】D 【分析】设1节火车车厢和1辆汽车分别运吨物资，根据题意列二元一次方程组，再将方程组的解代入即可求得． 【解析】设1节火车车厢和1辆汽车分别运吨物资，根据题意得： ， 解得， ． 故选D． 7．为积极响应教育部对中小学生实行“五项管理”之读物管理，某书店购进了大量的文史类、科普类、生活类读物，每类读物进价分别是12元，10元，8元．同类读物的标价相同，且科普类和生活类读物的标价一样，该书店对这三类读物全部打6折销售．若每类读物的销量相同，则书店不亏不赚，此时生活类读物利润率为．若文史类、科普类、生活类销量之比是，则书店销售这三类读物的总利润率为_____．（利润率） 【答案】 【分析】设文史类、科普类、生活类读物的标价分别为元，元，元，则实际的售价分别为：元，元，元，根据每类读物的销量相同且都为，则书店不亏不赚，而生活类读物利润率为．列方程组，再解方程组求解的值，再计算当文史类、科普类、生活类销量之比是时的利润率即可. 【解析】解：因为科普类和生活类读物的标价一样， 设文史类、科普类、生活类读物的标价分别为元，元，元， 则实际的售价分别为：元，元，元， 当每类读物的销量相同且都为，则书店不亏不赚，而生活类读物利润率为． 解得： 当文史类、科普类、生活类销量之比是，设文史类、科普类、生活类销量分别为： 则书店销售这三类读物的总利润率为： 故答案为： 8．假设渝北某商场地下停车场有5个出入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满，2021年五一节期间，由于商场人数增多，早晨7点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨7点开始经过___小时车库恰好停满． 【答案】 【分析】设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，车位总数为a，然后根据题意可列方程组进行求解． 【解析】解：设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，车位总数为a，由题意得： ， 解得：， 则（小时）； 故答案为． 9．甲、乙、丙三人到某单人小火锅就餐，该店共有种配菜可以选择，每种配菜都有大盘菜、中盘菜、小盘菜这三种分量，价格分别为元、元和元，，、都为正整数．每个人都选择了所有种配菜，而且对于每一种配菜，三个人在分量上的选择都各个相同，结账时，甲乙两人都花费了元且两个在大盘菜的花费上各不相同，而丙共花费了元，那么丙在大盘菜上花费_________元． 【答案】21 【分析】由题意，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了，所以应是每一种菜品的总价的整数倍，即，根据题意求出整数解，推出，，或，，，设丙选了大盘菜份，中盘菜份，分两种情形分别构建方程求解即可． 【解析】解：由题意，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了，所以应是每一种菜品的总价的整数倍， 即， ，、都为正整数， 可知：，，或，， 设丙选了大盘菜份，中盘菜份． 由题意， ， ，（舍弃不合题意）或，（舍弃不合题意）， 或， ， ，， 故答案为：21． 10．春节临近，坚果和炒货都进入销售旺季，某批发商去年12月售出一批开心果和夏威夷果，其中开心果的售价为60元/千克，夏威夷果的售价为50元/千克，开心果的销量比夏威夷果的销量多500千克，总销售额为85000元． (1)该批发商去年12月开心果和夏威夷果的销量分别为多少千克？ (2)由于供不应求，该批发商开始调整价格，今年1月开心果销售价格在去年12月基础上增长了2a%，销量减少了100千克；今年1月夏威夷果销售价格在去年12月基础上增加了元，销量下降了10%，最终今年每月总销售额比去年12月总销售额多了5900元，求a的值． 【答案】(1)该批发商去年12月开心果和夏威夷果的销量分别为1000千克,500千克； (2)a=10． 【分析】（1）设该批发商去年12月开心果的销量为x千克，夏威夷果的销量分别为y千克，根据等量关系开心果的销量比夏威夷果的销量多500千克，总销售额为85000元．列方程组，解方程组即可； （2）根据开心果涨价后销售价格×减少后销量+夏威夷果涨价后的销售价格×降低10%后的销量=12月份销售额+5900，列方程，然后解方程即可． 【解析】(1)解：设该批发商去年12月开心果的销量为x千克，夏威夷果的销量分别为y千克 根据题意，得， 解得， 答该批发商去年12月开心果和夏威夷果的销量分别为1000千克,500千克； (2)解：， 整理得76500+1440a=90900， 解得：a=10， 经检验a=10是原方程的根，并符合题意． 11．风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做3天、再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板应付两队工钱共7200元．若先请甲施工队单独做9天、再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板应付两队工钱共7600元． (1)甲、乙两施工队工作一天，风味美饭店老板应各付多少钱？ (2)若装修完后，风味美饭店马上投入使用，每天可盈利300元，现有三种方案：甲队单独做：②乙队单独做；③甲、乙两队同时做，你认为哪一种施工方案更有利于饭店老板？请你说明理由． 【答案】(1)甲施工队工作一天饭店应付400元，乙施工队工作一天饭店应付250元． (2)安排甲、乙两个装修施工队同时施工更有利于饭店 【分析】（1）设甲施工队工作一天饭店应付x元，乙施工队工作一天饭店应付y元，根据“若先请甲施工队单独做3天、再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板应付两队工钱共7200元．若先请甲施工队单独做9天、再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板应付两队工钱共7600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程施工队，解之即可得出结论； （2）设甲施工队单独完成工程需要a天，乙施工队单独完成工程需要b天，根据题意列方程组求出两施工队单独完成工程的天数，根据总费用=每天需支付的费用×工作时间，可分别求出单独请甲施工队和单独请乙施工队施工所需费用，分单独请甲施工队施工、单独请乙施工队施工和请甲、乙两施工队合做施工三种情况考虑，分别求出三种情况下损失的钱数，比较后即可得出结论． 【解析】(1)设甲施工队工作一天饭店应付x元，乙施工队工作一天饭店应付y元， 依题意，得： ， 解得：． 答：甲施工队工作一天饭店应付400元，乙施工队工作一天饭店应付250元． (2)设甲施工队单独完成工程需要a天，乙施工队单独完成工程需要b天，根据题意得， 解得， 经检验， ∴是方程组的解， 单独请甲施工队需要的费用为400×21=8400（元）； 单独请乙施工队需要的费用为250×28=7000（元）． 同做：（天） 合做需要的费用为（元） 甲乙合做比乙单独做早完工（28-12）=16（天） 16天饭店收益：16×300=4800（元） 7800-4800=3000（元），即相对于乙单独做甲乙合做只花3000元； 甲单独做比乙单独做早完工：28-21=7（天） 300×7=2100（元）， 8400-2100=6300（元），即相对于乙单独做甲乙合做只花6300元； ∵3000＜6300＜7000， ∴甲、乙合做花费最少． 答：安排甲、乙两个装修施工队同时施工更有利于饭店 12．对任意一个三位数（，，，a，b，c为整数），如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位数上的数字，则称M为“万象数”，现将“万象数”M的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个数N，并规定，我们称新数为M的“格致数”．例如154是一个“万象数”，将其个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个，，所以154的“格致数”为387． (1)填空：当时，______；当时，______； (2)求证：对任意的“万象数”M，其“格致数”都能被9整除； (3)已知某“万象数”M的“格致数”为，既是72的倍数又是完全平方数，求出所有满足条件的“万象数”M．（完全平方数：如，，，，……，我们称0、1、4、9、16……叫完全平方数） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或. 【分析】（1）根据新定义分别求解即可； （2）设“万象数”为 则其为 则再计算其“格致数”，再利用乘法的分配律进行变形即可证明结论； （3）由是的倍数，可得是的倍数，结合的范围可得 从而得到或或或或 再求解方程符合条件的解，可得的值，结合是完全平方数，从而可得答案. 【解析】(1)解：由新定义可得： 当时， 故答案为： (2)解：设“万象数”为 则其为 则 而 所以其“格致数” 所以其“格致数”都能被9整除. (3)解：是的倍数， 是的倍数， 是的倍数， ，，，a，b，c为整数， 或或或或 或或或或或 而， 的值为：或或或或或 是完全平方数， 的值为：或. 课程标准课标解读能利用方程组解决实际问题1.掌握列方程组解决实际问题的步骤； 2.掌握常见的实际问题关系式。购票张数1～50张51～100张100张以上每张票的价格12元10元8元队名比赛场次胜场负场积分技术上场时间（分钟）出手投篮（次）投中（次）罚球得分（分）篮板（个）防攻（次）个人总得分（分）数据38271163433