人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程教案

这是一份人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程教案，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点分析，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

1．知识与技能
理解一元二次方程的概念；掌握一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念；了解一元二次方程根的概念；应用一元二次方程概念解决有关问题。
2.过程与方法
通过设置问题，建立方程解决相关的实际问题，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义，使学生感受一元二次方程是重要的数学模型；将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念，学生能够准确的说出方程的各项及系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件；了解一元二次方程根的概念，并能灵活应用根的概念解决含有参数的方程问题。
3.情感态度与价值观
通过生活中的实例学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情，提高学生数学建模的能力；从数学符号的角度，使学生体会、概括出数学模型的简洁和必要；对二次项系数的讨论，提升学生的分类讨论思想；借助等式、方程的根，进一步理解整体代换的思想，加强学生的数学思维能力和数学符号语言的应用能力。
二、教学重难点分析
本课的教学重点是一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念，了解亿元人次方程根的概念，并用这些概念解决问题。
本课的教学难点是通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念；以及使用根的概念解决有关综合问题。
三、教学过程设计
1．复习旧知
什么是方程？什么是一元一次方程？什么叫做方程的解?
【设计意图】通过提问一元一次方程的概念，对一元二次方程概念的形成奠定基础。
2.创设情境，引入新知
教师展示PPT中的图片，请同学们阅读问题，并回答：
5m
问题1.某幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
18m2
设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为__________,长表示为________,则方程列为_______________ ，整理得_________________.
8m
提出问题：这个方程属于我们学过的某一类方程吗？
师生活动:学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名．
【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识．
问题2.A
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
B
C
E
D
如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙__________,根据题意，可得方程：______________ ,整理得_________________.
问题3．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应邀请多少个队参赛？
教师引导学生思考并回答以下几个问题：
全部比赛共有______场．
若设应邀请个队参赛，则每个队要与其他____个队各赛一场，全部比赛共有______场．
由此，我们可以列出方程______________，化简得________________．
提出问题：（1）这些方程是几元几次方程？
师生活动:学生将实际问题中的语言转化成数学的符号语言，体会运算关系，寻找等量关系，学习建模．将列得的方程化简整理，判断出方程的次数．
【设计意图】在建模的过程中不仅加强学生的数学思维能力，而且对二次项产生的根源将更加明晰，加深对一元二次方程的理解．让学生回答方程的元与次，一是让他们体会统一成一般形式的必要性，为概念的形成做铺垫，分解教学的难点；二是让他们明确教学的主线，从被动学习走向主动学习．
（2）这三个方程都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？这三个方程有什么共同特点呢？
师生活动:观察本课得出的一些方程，思考它们的共性，同学们尝试给出一元二次方程的定义，并且概括出一元二次方程的一般形式．
引入新知：
（1）一元二次方程的概念：
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的一般形式是．其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项（a≠0）．
【设计意图】让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比，概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升．
提出问题：为什么a≠0？{（小组讨论）
通过对a的分类讨论，加深方程概念的理解。再次和一元一次方程进行区分.
3.例题练习
例题1 下列方程中哪些是一元二次方程？

答案：（1）、（3）、（4）、（7）、（8）
【设计意图】追问：有二次项的一元方程就是一元二次方程吗？帮助学生进一步巩固概念，深化对一元、二次的认识．
师生共同活动，教师说两个例子，其他让学生回答，增加课堂的活跃性。同时加强学生对不同形式的一元二次方程的辨别，需要注意复杂形式的方程要先化简再判断，使学生对概念有进一步的了解和巩固.
例题2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？
ax2-x=2x2； (2)(a-1)x ∣ a ∣ +1 -2x-7=0.
答案：（1）a≠2时,原方程是一元二次方程.
（2）当a=-1时时,原方程是一元二次方程.
【设计意图】在形式比较复杂的方程面前，通过辨析方程的元、次、项看清方程的本质，深化理解.
例题3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
师生活动:将方程去括号得：，移项，合并同类项得：，其中二次项是，二次项系数是3；一次项是，一次项系数是，常数项是．教师应及时分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．
练一练：（课本原题）
【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程概念的掌握情况．
引入方程的根的概念：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根（又叫做解）.
例题4 下面哪些数是方程 x2 – 4x +3 = 0 的解?
-2 ,0 ,1,2,3 ,4.
答案：1和3
【设计意图】以特例引入了解一元二次方程根的概念.
练一练:1.下列哪些数是方程x2＋x-12=0的根？
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4
答案：-4和3.
2.已知a是方程x2+2x-2=0的一个实数根,求- 3a2-6a+ 2 019的值.
答案：2013
方法总结：已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
4．归纳小结，反思提高
请学生总结今天这节课所学内容，通过对比之前所学其他方程，谈对一元二次方程概念的认识，反思学习过程中的典型错误．
5．布置作业:当堂作业1-5题
一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
(只列方程，并将结果化为一般式)
3.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
4.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少：
(1) 2x2=3x-1；(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0.
5.已知关于x的一元二次方程x2-ax+a=0的一个根是2，求a的值.