人教A版高中数学必修第一册第3章3-1-2第1课时函数的表示法课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第3章3-1-2第1课时函数的表示法课时学案，共16页。

3.1.2　函数的表示法第1课时　函数的表示法1．掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(直观想象、数学运算)2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(数学运算)(1)某高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时．若该高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．(2)如图是某国人口出生率变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：问题：根据初中学过的知识，说出问题(1)(2)(3)分别是用什么法表示函数的？知识点　函数的表示法理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示． (　　)(2)任何一个函数都可以用图象法表示． (　　)(3)函数的图象一定是其定义域上的一条连续不断的曲线． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．已知函数f (x)由下表给出，则f (3)＝________．3　[∵当21或x<－1)．[解]　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①．(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②实线部分． 类型3　函数解析式的求法　换元法(配凑法)求函数解析式【例3】　已知f (x＋1)＝x－2x，求f (x)．[解]　法一(换元法)：令t＝x＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．法二(配凑法)：f (x＋1)＝x＋2x＋1－4x－4＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，因为x＋1≥1，所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．　用待定系数法求函数解析式【例4】　已知f (x)是一次函数，且f (f (x))＝16x－25，求f (x)．[解]　设f (x)＝kx＋b(k≠0)，则f (f (x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，∴k2＝16， kb+b＝-25，∴k＝4，b＝-5或k＝-4，b＝253， ∴f (x)＝4x－5或f (x)＝－4x＋253．　方程组法(消元法)求函数解析式【例5】　已知函数f (x)对于任意的x都有f (x)－2f (－x)＝1＋2x，求f (x)．思路导引：欲求f (x)，必须消去已知方程中的f (－x)，不难想到再寻找一个方程，可由x与－x的关系，用－x去替换已知式中的x，便可得另一个方程，然后联立解之．[解]　由题意，在f (x)－2f (－x)＝1＋2x中，以－x 代替x可得f (－x)－2f (x)＝1－2x，联立可得fx-2f-x＝1+2x，f-x-2fx＝1-2x，消去f (－x)可得f (x)＝23x－1．　求函数解析式的4种常用方法(1)待定系数法：若已知f (x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(2)换元法：对于形如f (g(x))的解析式求f (x)，设t＝g(x)，解出x，代入f (g(x))，求f (t)的解析式即可．(3)配凑法：对f (g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个变量之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．[跟进训练]3．(1)已知函数f (x)是二次函数，且f (x＋1)＋f (x－1)＝2x2－4x，求f (x)的解析式；(2)若2f 1x＋f (x)＝x(x≠0)，求f (x)的解析式．[解]　(1)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f (x＋1)＋f (x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，所以2a＝2， 2b＝-4， 2a+2c＝0，所以a＝1， b＝-2，c＝-1，所以f (x)＝x2－2x－1．(2)f (x)＋2f 1x＝x，令x＝1x，得f 1x＋2f (x)＝1x．于是得关于f (x)与f 1x的方程组fx+2f1x＝x，f1x+2fx＝1x．解得f (x)＝23x－x3(x≠0)．1．由下表给出函数y＝f (x)，则f (f (1))等于(　　)A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．5B　[由题意可知，f (1)＝4，f (4)＝2，∴f (f (1))＝f (4)＝2．故选B．]2．已知函数f (x＋1)＝3x＋2，则f (x)的解析式是(　　)A．f (x)＝3x－1 B．f (x)＝3x＋1C．f (x)＝3x＋2 D．f (x)＝3x＋4A　[令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f (t)＝3(t－1)＋2＝3t－1．∴f (x)＝3x－1．故选A．]3．f (x)的图象如图所示，则f (x)的定义域为______，值域为________．[－2，4]∪[5，8]　[－4，3]　[由函数的图象可知，f (x)的定义域为[－2，4]∪[5，8]，f (x)的值域为[－2，3]∪[－4，2.7]，即[－4，3]．]4．已知二次函数f (x)的图象经过点(－3，2)，顶点是(－2，3)，则函数f (x)的解析式为________．f (x)＝－(x＋2)2＋3　[由题意可设f (x)＝a(x＋2)2＋3，又f (－3)＝2，∴a(－3＋2)2＋3＝2，∴a＝－1．∴f (x)＝－(x＋2)2＋3．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．函数的常用表示方法有哪三种？[提示]　列表法、解析法和图象法．2．函数的图象一定是一条光滑的曲线吗？[提示]　不一定，函数的图象有可能是一些离散的点．3．求函数解析式的常用方法有哪些？[提示]　(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)解方程组法(或消元法)．课时分层作业(十八)　函数的表示法一、选择题1．(2022·福建省厦门第六中学月考)已知函数y＝f (x) 的对应关系如下表所示，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则f (g(2)＋1)的值为(　　)A．3　　　B．0　　　C．1　　　D．2A　[由函数y＝g(x)的图象可知，g(2)＝1，∴g(2)＋1＝2，由函数y＝f (x)的对应关系表可得，f (g(2)＋1)＝f (2)＝3．故选A．]2．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　)A　　　　　　　　　　　BC　　　　　　　　　　　DD　[结合题意可知，该学生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0．故选D．]3．如果f 1x＝x1-x，则当x≠0，1时，f (x)等于(　　)A．1x B．1x-1C．11-x D．1x－1B　[令1x＝t，则x＝1t，代入f 1x＝x1-x，则有f (t)＝1t1-1t＝1t-1，故选B．]4．若f (x)是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，则f (x)＝(　　)A．3x＋2 B．3x－2C．2x＋3 D．2x－3B　[设f (x)＝ax＋b(a≠0)，由题设有22a+b-3a+b＝5， 20·a+b--a+b＝1．解得a＝3， b＝-2．故选B．]5．(多选)已知f (2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是(　　)A．f (3)＝9 B．f (－3)＝4C．f (x)＝x2 D．f (x)＝(x＋1)2BD　[令t＝2x－1，则x＝t+12，∴f (t)＝4t+122＝(t＋1)2．∴f (3)＝16，f (－3)＝4，f (x)＝(x＋1)2．故选BD．]二、填空题6．(2022·江苏盐城中学月考)已知f 12x-1＝2x＋3，若f (t)＝4，则t＝________．－34　[令12x－1＝m，则x＝2m＋2，所以f (m)＝2(2m＋2)＋3＝4m＋7，因为f (t)＝4，所以4t＋7＝4，解得t＝－34．]7．(2022·广东中山模拟)已知函数f (x)和g(x)分别由下表给出：则g(f (2))＝________，不等式f (g(x))>8的解集为________．2　{3，5，6}　[由表得f (2)＝4 ，g(4)＝2 ，所以g(f (2))＝g(4)＝2 ；当f (x)>8时，x∈{3，4，5} ．由g(x)＝3 得x＝3 ，由g(x)＝4得x＝5 ，由g(x)＝5 得x＝6 ．所以f (g(x))>8 的解集为{3，5，6}．]8．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的表达式为________，自变量x满足的条件是________．y＝28x　{x|x>0}　[由题意可知正方形的边长为x4．∴2x4＝2y，即y＝28x，其中x>0．]三、解答题9．(1)已知f (x)是一次函数，且满足2f (x＋3)－f (x－2)＝2x＋21，求f (x)的解析式；(2)已知f x-1x＝x2＋1x2＋1，求f (x)的解析式．[解]　(1)设f (x)＝ax＋b(a≠0)，则2f (x＋3)－f (x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，所以a＝2，b＝5，所以f (x)＝2x＋5．(2)因为f x-1x＝x-1x2＋2＋1＝x-1x2＋3，所以f (x)＝x2＋3．10．(2022·浙江义乌市青岩书院月考)已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有f (x)＋f (y)＝f (x＋y)，若f (1)＝－1，则f (3)＝(　　)A．－3　　　B．－2　　　C．－1　　　D．0A　[由题意得，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝－3．故选A．]11．(多选)(2022·广东广州铁一中学月考)若函数f (1－2x)＝1-x2x2(x≠0)，则(　　)A．f 12＝15B．f (2)＝－34C．f (x)＝4x-12－1(x≠0)D．f 1x＝4x2x-12－1(x≠0且x≠1)AD　[令1－2x＝t(t≠1)，则x＝1-t2，所以f (t)＝1-1-t221-t22＝4t-12－1，则f (x)＝4x-12－1(x≠1)，故C错误；f 12＝15，故A正确；f (2)＝3，故B错误；f 1x＝41x-12－1＝4x2x-12－1(x≠0且x≠1)，故D正确．故选AD．]12．(多选)矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，下列正确的是(　　)A．l＝2x＋20x(x>0)B．y＝10x(x>0)C．l＝2d2+20(d>0)D．d＝x2+100x2(x>0)ABD　[对于A，因为矩形的面积为10，矩形的长为x，宽为y，所以xy＝10，得y＝10x，所以矩形的周长为l＝2x＋20x(x>0)，所以A正确，对于B，由选项A，可知y＝10x(x>0)，所以B正确，对于C，因为矩形的面积为10，对角线为d，长为x，宽为y，所以x2＋y2＝d2≥2xy＝20，当且仅当x＝y＝10时等号成立，所以x2＋y2＋2xy＝d2＋20，(x＋y)2＝d2＋20，因为x＋y>0，所以x＋y＝d2+20，所以矩形的周长为l＝2d2+20(d≥25)，所以C错误，对于D，由选项C可知x2＋y2＝d2，xy＝10，所以d2＝x2＋100x2，因为d>0，所以d＝x2+100x2(x>0)，所以D正确，故选ABD．]13．(2022·江苏怀仁中学月考)已知函数f (x－1)＝x2－4x，则f (2x＋1)＝________．4x2－4　[令t＝x－1，t∈R，∴x＝t＋1 ，故由f (x－1)＝x2－4x，可得f (t)＝(t＋1)2－4(t＋1)＝t2－2t－3．所以f (2x＋1)＝(2x＋1)2－2(2x＋1)－3＝4x2－4．]14．画出二次函数f (x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小；(2)求函数f (x)的值域．[解]　f (x)＝－(x－1)2＋4的图象如图所示：(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (1)>f (0)>f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x)的最大值为f (1)＝4，则函数f (x)的值域为(－∞，4]．15．已知函数f (x)对任意实数a，b，都有f (ab)＝f (a)＋f (b)成立．(1)求f (0)与f (1)的值；(2)求证：f 1x＝－f (x)；(3)若f (2)＝p，f (3)＝q(p，q均为常数)，求f (36)的值．[解]　(1)令a＝b＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，解得f (0)＝0；令a＝1，b＝0，得f (0)＝f (1)＋f (0)，解得f (1)＝0．(2)证明：令a＝1x，b＝x，得f (1)＝f 1x＋f (x)＝0，∴f 1x＝－f (x)．(3)令a＝b＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2p，令a＝b＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q．令a＝4，b＝9，得f (36)＝f (4)＋f (9)＝2p＋2q．污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01x1≤x<222