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北师大版九年级下册6 利用三角函数测高精品练习
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这是一份北师大版九年级下册6 利用三角函数测高精品练习，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45∘角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC的长为m，则大树AB的高为 ( )
A. m(csα−sinα)B. m(sinα−csα)C. m(csα−tanα)D. msinα−mcsα
2.已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为
( )
A. 5sinα；B. 5sinα；C. 5csα；D. 5csα．
3.如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为60°，斜坡AD的长为5米，坡度i=3：4，BD长为6米，则古塔BC的高度为( )
A. 9 3米
B. 10 3米
C. (3+10 3)米
D. (4+9 3)米
4.在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的
( )
A. 北偏东20°方向上B. 北偏西20°方向上C. 北偏西30°方向上D. 北偏西40°方向上
5.如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两棵树之间的水平距离)为5m，若在坡比为i=1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为( )
A. 2.5mB. 5mC. 29mD. 10m
6.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为( )
A. 20海里B. 10 3海里C. 20 2海里D. 30海里
7.如图大坝的演断面，斜坡AB的坡比i=1：2，背水坡CD的坡比i=1：1，若AB的长度为6 5米，则斜坡CD的长度为( )
A. 6米B. 6 2米C. 6 3米D. 3 10米
8.如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度AD，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°和∠EAC=30°，且D、B、C在同一水平线上.已知桥BC=30米，则无人机的飞行高度AD=( )
A. 15米B. 15 3米C. (15 3−15)米D. (15 3+15)米
9.如图，一艘海轮位干灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时灯塔P位于海轮的什么位置？( )
A. 北偏西45°方向，距离海轮40海里处
B. 南偏东45°方向，距离海轮40海里处
C. 北偏西45°方向，距离海轮40 2海里处
D. 南偏东45°方向，距离海轮40 2海里处
10.如图，车库宽AB的长为3米，一辆宽为1.8米(即MN=1.8米)的汽车正直停入车库(MN//AB)，车门CD长为1.2米，当左侧车门CD接触到墙壁时，车门与车身的夹角∠CDE为45°，此时右侧车门开至最大的宽度FG的长为( )
A. 35 3米B. 35米C. 45米D. (65−35 2)米
11.如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m.则自动扶梯的垂直高度BD约为m(保留两位小数)( )
A. 3.9B. 3.7C. 3.5D. 3.3
12.为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习.如图，架在消防车上的云梯AB可伸缩，也可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m.若∠ABD=α，则此时云梯顶端A离地面的髙度AE的长是( )
A. 9sinα+2B. 9tanα+2C. 9csα+2D. 9tanα+2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，某建筑物矗立于水平地面上，在A处测得AC=12 m，∠BAC=30°，在D处测得CD=3 m，∠CDE=45°，则BE的长为________m.(结果取整数．参考数据： 3≈1.73)
14.如图，一条笔直铁路MN和一条笔直公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼，OA=200米，已知火车行驶时，周围200米以内都会受到噪声的影响，若火车在铁路MN上沿ON方向以每秒20米的速度行驶，那么居民楼受噪声影响的时间为______秒．(不考虑火车长度，结果保留小数点后一位，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
15.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为120m，那么该建筑物的高度BC约为______m(结果保留整数， 3≈1.732)．
16.如图，无人机在离地面20 3m的点D处，测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼顶部点C的俯角为45°，已知操控者A和教学楼BC之间的水平距离为80m，教学楼BC的高度是______ m.
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
图1是一盏可调节台灯，图2为其平面示意图，固定底座OA与水平面OE垂直，AB为固定支撑杆，BC为可绕着点B旋转的调节杆．若AB=30 cm，BC=35 cm，OA=8 cm，∠OAB=143°，∠ABC=80°，求台灯灯体C到水平面OE的距离．(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 27°≈0.45，cs 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)
18.(本小题8分)
如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从点O竖直上升到点A时，测得点A到点R的距离为40 m，点R的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到点B，测得点R的俯角为36.9°，求无人机从点A到点B的上升高度AB(精确到0.1 m)．
(参考数据：sin 24.2°≈0.41，cs 24.2°≈0.91，tan 24.2°≈0.45，sin 36.9°≈0.60，cs 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75)
19.(本小题8分)
如图，五一劳动节的清晨，小明到大连人民广场参加升旗仪式，在距旗杆33.6 m的D处，测得旗杆顶部A的仰角约为37°，已知小明的身高CD为1.7 m，求旗杆AB的高度．(结果取整数．参考数据：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
20.(本小题8分)
图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”.“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC=38°，∠BAD=53°，AB=18 m.求“龙”字雕塑CD的高度．(B,C,D三点共线，BD⊥AB.结果精确到0.1 m.参考数据：sin 38°≈0.62，cs 38°≈0.79，tan 38°≈0.78，sin 53°≈0.80，cs 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
21.(本小题8分)
综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7m，∠DCE=90°．
独立思考：
(1)这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
深入探究：
(2)消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上(云梯长度不改变)，AA′=4m，那么它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB′的长度．
问题解决：
(3)在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员.经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的15，则云梯和消防员相对安全.在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24.3m高的墙头去救援被困人员？
22.(本小题8分)
2022年11月9日是我国第31个“全国消防宣传日”，该年“119消防宣传月”活动的主题是“落实消防责任，防范安全风险”.为落实该主题，济南市消防大队到建东小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC可伸缩(15m≤AC≤26m)，且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE(90°≤∠CAE≤150°)，转动点A距离地面BD的高度AE为3m．
(1)当起重臂AC长度为20m，张角∠CAE=127°，求云梯消防车最高点C距离地面BD的高度CF；
(2)已知该小区层高为2.8m，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由．
(结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75， 3≈1.73)
23.(本小题8分)
如图，在港口A处的正东方向有两个相距6 km的观测点B，C.一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B，C处分别测得∠ABD=45°，∠C=37°.求轮船航行的距离AD(参考数据：sin 26°≈0.44，cs 26°≈0.90，tan 26°≈0.49，sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)．
24.(本小题8分)
如图，在港口A处的正东方向有两个相距8km的观测点B、C.一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD=45°、∠C=37°.求轮船航行的距离AD.(参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75.)
25.(本小题8分)
在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点D、E均在点C的正北方向且CE=600米，点B在点C的正西方向，且BC=200 3米，点B在点A的南偏东60°方向且AB=400米，点D在点A的东北方向.(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732， 6≈2.449)
(1)求道路AD的长度(精确到个位)；
(2)若甲从A点出发沿A—D—E的路径去点E，与此同时乙从点B出发，沿B—A—E的路径去点E，其速度为40米/分钟.若两人同时到达点E，请比较谁的速度更快？快多少？(精确到十分位)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，∴∠BCD=α，∠ACD=45∘.在Rt△CDB中，CD=m⋅csα，BD=m⋅sinα，在Rt△CDA中，AD=CD×tan45∘=m×csα×tan45∘=mcsα，∴AB=AD−BD=m⋅csα−m⋅sinα=m(csα−sinα).故选A．
2.【答案】A
【解析】解：如图：BC为飞机离地面的高度，
所以在Rt△ABC中，∠BAC=α，BC=5，
则AB=BCsin∠BAC=5sinα，
故选：A．
已知直角三角形的一个锐角和锐角所对的直角边，求斜边，运用锐角的三角比定义解答．
此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助俯角构造直角三角形．
3.【答案】C
【解析】解：如图，作AE⊥BC，AF⊥BD，垂足分别为E，F，则四边形AEBF是矩形，则AE=FB，
∵斜坡AD，i=3：4，设AF=3x，DF=4x，
∴AD=5x，
∵AD=5，则x=1，
∴AF=3，DF=4，
∵BD长为6，
∴AE=FB=DF+BD=4+6=10，
∵∠CAE=60°，
∴CE=AE×tan∠CAE=10 3，
∴BC=BE+CE=10 3+3，
即古塔BC的高度为(3+10 3)米，
故选：C．
作AE⊥BC，AF⊥BD，由i=3：4，可设AF=3x，DF=4x，结合AD=5，利用勾股定理可求得x的值，解Rt△AEC即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角，坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
4.【答案】B
【解析】解：如图，
∵AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°，
又∵B点在A的北偏东70°方向，
∴∠1=90°−70°=20°，
∴∠2=∠1=20°，
即C点在B的北偏西20°的方向上．
故选B．
由AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米得AC2=AB2+BC2，根据勾股定理的逆定理得到∠ABC=90°，再利用平行线的性质和互余的性质得到∠1，求得∠2．
本题考查了解直角三角形有关方向角的问题：在每点处画上东南西北，然后利用平行线的性质和解直角三角形求角．也考查了勾股定理的逆定理．
5.【答案】C
【解析】解：∵水平距离为5m，坡比为i=1：2.5，
∴铅直高度为5÷2.5=2(m)．
根据勾股定理可得：
坡面相邻两株树间的坡面距离为 52+22= 29(m)．
故选：C．
利用坡度先求得垂直距离，根据勾股定理求得坡面距离．
此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解决本题的关键是对坡度坡角的理解掌握情况．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题．解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形．如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．
【解答】
解：如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，
∴∠DAB=15°，
∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．
又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，
∴∠CBA=45°．
∴在直角△ABC中，sin∠ABC=ACBC=40×12BC= 22，
∴BC=20 2海里．
故选C．
7.【答案】B
【解析】解：分别过B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，
∴四边形BEFC为矩形，
斜坡AB的坡比i=1：2，即BEAE=12，不妨设BE=x，则AE=2x，
在Rt△ABE中根据勾股定理：BE2+AE2=AB2，x2+(2x)2=(6 5)2，
解得x=6或x=−6(不合题意，舍去)，
又∵背水坡CD的坡比i=1：1，
∴CF=DF=6，
∴在Rt△CFD中根据勾股定理得：CD= CF2+DF2= 62+62=6 2，
故选：B．
分别过B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，四边形BEFC为矩形，根据斜坡AB的坡比为i=1：2，结合勾股定理求出BE的长度，可得CF、DF的长度，再根据勾股定理求得答案．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握坡比的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵AE//CD，∠EAB=60°，∠EAC=30°，
∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，
在Rt△ACD和Rt△ABD中，
∵tan∠CAD=CDAD，tan∠BAD=BDAD，
∴CD=AD·tan∠60°= 3AD(米)，BD=AD·tan∠30°= 33AD(米)，
∴BC=CD−BD=2 33AD=30(米)，
∴AD=15 3(米)．
答：无人机的飞行高度AD为15 3米．
故选：B．
由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD= 3AD米、BD= 33AD米，再结合BC=30米即可求出AD的长度．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：作PC⊥AB于C点，
∵A在P的北偏东30°方向，
∴∠EPA=30°，
∴∠APC=90°−∠EPA=90°−30°=60°，
又∵B在P的南偏东45°方向上，
∴∠FPB=45°，灯塔P位于海轮的北偏西45°方向上，
∴∠BPC=90°−∠FPB=90°−45°=45°，
∴∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=80(海里)，
在Rt△APC中，∠PAC=90°−∠APC=90°−60°=30°，
∴PC=12AP=12×80=40(海里)，
在Rt△PCB中，∠BPC=45°，
∴三角形为等腰直角三角形，
∴PC=BC=40(海里)，
∴PB= PC2+PB2= 402+402=40 2(海里)．
故选：C．
过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中，通过30°的直角三角形，计算出PC的长，再根据等腰直角三角形，通过勾股定理即可求出PB．
本题考查方位角有关的计算以及用勾股定理求航海问题，解决本题的关键是构建直角三角形进行计算．
10.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查解直角三角形的应用，关键是根据锐角三角函数得出CO解答．
过C作CO⊥DE于O，根据锐角三角函数得出CO，进而解答即可．
【解答】
解：如图所示，过C作CO⊥DE于O，
∵∠CDE=45°，CD=1.2米，
∴CO=CD⋅sin∠CDE=3 25米，
∵MN//AB，
∴右侧车门开至最大的宽度FG的长为FG=AB−MN−CO=3−1.8−3 25=65−35 2(米)．
11.【答案】C
【解析】解：∵∠BAC=30°，∠BCD=60°，
∴∠CBA=30°，
∴AC=BC，
∵AC=4m，
∴BC=4m，
∴sin∠BCD=BDBC，
∴BD=sin∠BCD×BC= 32×4=2 3m，
∵ 3≈1.732，
∴BD=2 3≈2×1.732≈3.464≈3.5(m)，
故选：C．
根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得到AC=BC，再根据三角函数的定义即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，锐角三角函数，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：在直角三角形ABD中，tanα=ADBD，
∴AD=BD⋅tanα=9tanα，
根据题意可得：DE=BC=2，
∴AE=AD+DE=9⋅tanα+2；
故选：B．
根据∠ABD的正切可得AD=BD⋅tanα=9tanα，而DE=BC=2，进而即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：∵AC=12m，∠BAC=30°，
在Rt△ABC中，
tan∠BAC=BCAC= 33，
∴BC= 33×AC= 33×12=4 3，
∵CD=3m，∠CDE=45°，
∴∠CED=45°，
∴CD=CD=3，
∵BE=BC−CE=4 3−3≈3.92≈4．
故答案为：4．
根据解直角三角形，得出BC、CD的长，解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数是解题的关键．
14.【答案】17.3
【解析】解：如图，过点A作AC⊥MN于C，以点A为圆心，以200米为半径画圆，则⊙A交MN于点O，设另一个交点为B，连接OB，
当火车行驶到点O时，开始影响居民楼A，当驶离点B时，结束影响居民楼A，
∵OA=200米，∠AOB=30°，
∴AC=100米
∴OC= OA2−AC2=100 3(米)，
∵AC⊥OB，
∴OB=2OC=200 3(米)，
∴影响所持续的时间为200 3÷20=10 3≈17.3(秒)，
故答案为：17.3．
画出相应的图形，根据垂径定理、勾股定理求出OB的长度，再根据速度、时间、路程的关系进行计算即可．
本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理以及速度、时间、路程的关系是正确解答的关键．
15.【答案】328
【解析】解：如图，∵在Rt△ABD中，AD=120，∠BAD=45°，
∴BD=AD=120(m)，
∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴CD=AD⋅tan60°=120 3(m)，
∴BC=BD+CD=120 3+120≈328(m)
答：该建筑物的高度BC约为328米．
故答案为：328．
在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD⋅tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD⋅tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．
此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
16.【答案】(20 3−20)
【解析】解：过点A作AE⊥DF，垂足为E，延长BC交FD于点G，
由题意得：AE=BG=20 3m，EG=AB=80m，BG⊥EG，
在Rt△AED中，∠ADE=30°，
∴DE=AEtan30∘=20 3 33=60(m)，
∴DG=EG−DE=80−60=20(m)，
在Rt△DCG中，∠GDC=45°，
∴CG=DG⋅tan45°=20(m)，
∴BC=BG−CG=(20 3−20)m，
∴教学楼BC的高度是(20 3−20)m，
故答案为：(20 3−20)．
过点A作AE⊥DF，垂足为E，延长BC交FD于点G，根据题意可得：AE=BG=20 3m，EG=AB=80m，BG⊥EG，然后在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出DG的长，再在Rt△DCG中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：如图，过点C作CM⊥OE于点M，过点B作BN⊥CM于点N，延长OA交BN于点P.∵∠OAB=143°，∴∠BAP=180°−∠OAB=37°.易得∠APB=90°．
在Rt△BAP中，AB=30 cm， cs∠BAP=APAB ，∴AP=AB×cs 37°≈30×0.80=24(cm)，∴OP=OA+AP=8+24=32(cm).∵BN⊥CM，CM⊥OE，OA⊥OE，∴∠MNP=∠OMN=∠POM=90°，∴四边形POMN为矩形，∴MN=OP=32 cm，∠APN=90°.∵∠BAP=37°，∴∠ABP=90°−∠BAP=53°.∵∠ABC=80°，∴∠CBN=∠ABC−∠ABP=27°. 在Rt△CBN中，BC=35 cm， sin∠CBN=CNBC ，∴CN=BC×sin 27°≈35×0.45=15.75(cm).∴CM=MN+CN=32+15.75≈47.8(cm). 答：台灯灯体C到水平面OE的距离约为47.8 cm．
【解析】略
18.【答案】解：依题意，∠ARO=24．2°，∠BRO=36.9°，AR=40m，
在Rt△AOR中，∠ARO=24．2°，
∴AO=AR·sin∠ARO=40sin 24．2°，RO=AR·cs∠ARO=40cs24．2°，
在Rt△BOR中，OB=OR·tan∠BRO=40cs 24．2°·tan36.9°，
∴AB=BO−AO
=40cs 24．2°·tan 36.9°−40sin 24．2°
≈40×0.91×0.75−40×0.41
≈10.9m
答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米m．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用有关知识，在Rt△AOR中，求得AO，OR，在Rt△BOR中，求得BO，根据AB=BO−AO，即可求解．
19.【答案】解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E.
由题意知，CD=1.7 m，DB=33.6 m，∠ACE=37°，∠B=∠D=90°．
∵CE⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠B=∠D=90°．
∴四边形CDBE是矩形，
∴BE=CD=1.7m，CE=DB=33.6m.
在Rt△AEC中，∵ tan∠ACE=AECE ，∠ACE=37°，
∴AE=CE·tan∠ACE=33.6×tan 37°≈33.6×0.75=25.2(m)．
∴AB=AE+BE=25.2+1.7≈27(m).
答：旗杆AB的高度约为27m．
【解析】本题主要考查的是解直角三角形的应用的有关知识，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，先证出四边形CDBE是矩形，进而得到BE=CD=1.7m，CE=DB=33.6m，然后解直角三角形求解即可．
20.【答案】解：在Rt△ABC中，AB=18 m，∠BAC=38°，
∴BC=AB·tan 38°≈0.78×18=14.04(m).
在Rt△ABD中，AB=18 m，∠BAD=53°，
∴BD=AB·tan 53°≈18×1.33=23.94(m)．
∴CD=BD−BC=23.94−14.04=9.9(m).
答：“龙”字雕塑CD的高度约为9.9 m．
【解析】略
21.【答案】解：(1)在Rt△ACB中，
∴AC= AB2−BC2= 252−72=24m，
答：这架云梯顶端距地面的距离AC有24m．
(2)云梯的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′不是4m.理由如下：
由(1)可知AC=24m，
∴A′C=AC−AA′=24−4=20m．
在Rt△A′CB′中，
∴B′C= A′B′2−A′C2= 252−202=15m，
∴BB′=CB′−BC=15−7=8m．
(3)若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的15，
则能够到达墙面的最大高度为 252−(15×25)2= 600m．
∵24.32=590.49<600，
∴24.3< 600，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24.3m高的墙头去救援被困人员．
【解析】(1)由图可以看出梯子墙地可围成一个直角三角形，即梯子为斜边，将梯子底部到墙的距离线段对应为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段对应为另一个直角边，所以梯子顶端到地的距离为252−72=242，所以梯子顶端到地为24米；
(2)求出BB′的长度即可；
(3)先求出梯子能够到达墙面的最大高度，再与24.3比较即可．
本题考查勾股定理和解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键．
22.【答案】解：(1)如图，过点C作CF⊥BD于F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，
则AE=FG=3m，∠EAG=∠AGC=90∘，
∵∠CAE=127∘，
∴∠CAG=∠CAE−∠EAG=37∘，
在Rt△AGC中，AC=20m，
∴CG=ACsin37∘=12(m)，
∴CF=CG+GF=12+3=15(m)，
∴云梯消防车最高点C距离地面的高度CF为15m;
(2)该消防车能有效救援10层．
理由：当∠CAE=150∘，AC=26m时，能达到最高高度，
∵∠EAG=90∘，
∴∠CAG=∠CAE−∠EAG=60∘，
在Rt△CAG中，CG=ACsin60∘=13 3m，
∴CF=CG+FG=13 3+3≈25.49m
∵25.49÷2.8≈9.1，
∴该消防车能有效救援10层．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
(1)过点A作AG⊥CF，垂足为M，根据题意可得AE=GF=3m，∠EAG=90°，从而求出CG的长，然后在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出∠CAG的度数，进而求得CF的长即可；
(2)当∠CAE=150°，AC=26m时，在Rt△CAG中，利用锐角三角函数定义求出CG的长，从而求出CF的长，进行比较即可解答．
23.【答案】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
在Rt△DCH中，∠C=37°，
∴CH=DHtan37∘，
在Rt△DBH中，∠DBH=45°，
∴BH=DHtan45∘，
∵BC=CH−BH，
∴DHtan37∘−DHtan45∘=6，
解得DH≈18 km，
在Rt△DAH中，∠ADH=26°，
∴AD=DHcs26∘≈20 km．
答：轮船航行的距离AD约为20km．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
过点D作DH⊥AC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD．
24.【答案】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
在Rt△DCH中，∠C=37°，
∴CH=DHtan37∘，
在Rt△DBH中，∠DBH=45∘，
∴BH=DHtan45∘，
∵BC=CH−BH，
∴DHtan37∘−DHtan45∘=8km，
解得DH=24km，
在Rt△DAH中，∠ADH=26∘，
∴AD=DHcs26∘≈803km．
答：轮船航行的距离AD约为803km．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．过点D作DH⊥AC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD．
25.【答案】解：(1)过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，
由题意得：
AF=CG，AG=CF，
在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=400米，
∴AF=AB⋅cs60°=400×12=200(米)，
BF=AB⋅sin60°=400× 32=200 3(米)，
∴CG=AF=200米，
∵BC=200 3米，
∴CF=BF+BC=200 3+200 3=400 3(米)，
∴AG=CF=400 3米，
在Rt△ADG中，∠DAG=90°−45°=45°，
∴AD=AGcs45∘=400 3 22=400 6≈980(米)，
∴道路AD的长度约为980米；
(2)∵CE=600米，CG=200米，
∴EG=CE−CG=400(米)，
在Rt△AGE中，AG=400 3米，
∴AE= AG2+GE2= (400 3)2+4002=800(米)，
在Rt△ADG中，∠DAG=45°，
∴DG=AG⋅tan45°=400 3(米)，
∴甲的路程=AD+DE=AD+DG−EG=(400 6+400 3−400)米，
乙的路程=AB+AE=400+800=1200(米)，
∵乙的速度为40米/分钟，
∴乙所用的时间=120040=30(分钟)，
∴甲所用的时间也是30分钟，
∴甲的速度=400 6+400 3−40030≈42.4(米/分钟)，
∴42.4−40=2.4(米/分钟)，
∴若两人同时到达点E，甲的速度更快，快2.4米/分钟．
【解析】(1)过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，根据题意可得：AF=CG，AG=CF，然后在Rt△AFB中，利用锐角三角函数的定义求出AF，BF的长，从而求出CF的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答；
(2)利用(1)的结论可求出EG的长，再在Rt△AGE中，利用勾股定理可求出AE的长，然后在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45∘角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC的长为m，则大树AB的高为 ( )
A. m(csα−sinα)B. m(sinα−csα)C. m(csα−tanα)D. msinα−mcsα
2.已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为
( )
A. 5sinα；B. 5sinα；C. 5csα；D. 5csα．
3.如图，考古队在A处测得古塔BC顶端C的仰角为60°，斜坡AD的长为5米，坡度i=3：4，BD长为6米，则古塔BC的高度为( )
A. 9 3米
B. 10 3米
C. (3+10 3)米
D. (4+9 3)米
4.在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的
( )
A. 北偏东20°方向上B. 北偏西20°方向上C. 北偏西30°方向上D. 北偏西40°方向上
5.如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两棵树之间的水平距离)为5m，若在坡比为i=1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为( )
A. 2.5mB. 5mC. 29mD. 10m
6.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为( )
A. 20海里B. 10 3海里C. 20 2海里D. 30海里
7.如图大坝的演断面，斜坡AB的坡比i=1：2，背水坡CD的坡比i=1：1，若AB的长度为6 5米，则斜坡CD的长度为( )
A. 6米B. 6 2米C. 6 3米D. 3 10米
8.如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度AD，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°和∠EAC=30°，且D、B、C在同一水平线上.已知桥BC=30米，则无人机的飞行高度AD=( )
A. 15米B. 15 3米C. (15 3−15)米D. (15 3+15)米
9.如图，一艘海轮位干灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时灯塔P位于海轮的什么位置？( )
A. 北偏西45°方向，距离海轮40海里处
B. 南偏东45°方向，距离海轮40海里处
C. 北偏西45°方向，距离海轮40 2海里处
D. 南偏东45°方向，距离海轮40 2海里处
10.如图，车库宽AB的长为3米，一辆宽为1.8米(即MN=1.8米)的汽车正直停入车库(MN//AB)，车门CD长为1.2米，当左侧车门CD接触到墙壁时，车门与车身的夹角∠CDE为45°，此时右侧车门开至最大的宽度FG的长为( )
A. 35 3米B. 35米C. 45米D. (65−35 2)米
11.如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m.则自动扶梯的垂直高度BD约为m(保留两位小数)( )
A. 3.9B. 3.7C. 3.5D. 3.3
12.为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习.如图，架在消防车上的云梯AB可伸缩，也可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m.若∠ABD=α，则此时云梯顶端A离地面的髙度AE的长是( )
A. 9sinα+2B. 9tanα+2C. 9csα+2D. 9tanα+2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，某建筑物矗立于水平地面上，在A处测得AC=12 m，∠BAC=30°，在D处测得CD=3 m，∠CDE=45°，则BE的长为________m.(结果取整数．参考数据： 3≈1.73)
14.如图，一条笔直铁路MN和一条笔直公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼，OA=200米，已知火车行驶时，周围200米以内都会受到噪声的影响，若火车在铁路MN上沿ON方向以每秒20米的速度行驶，那么居民楼受噪声影响的时间为______秒．(不考虑火车长度，结果保留小数点后一位，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
15.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为120m，那么该建筑物的高度BC约为______m(结果保留整数， 3≈1.732)．
16.如图，无人机在离地面20 3m的点D处，测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼顶部点C的俯角为45°，已知操控者A和教学楼BC之间的水平距离为80m，教学楼BC的高度是______ m.
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8分)
图1是一盏可调节台灯，图2为其平面示意图，固定底座OA与水平面OE垂直，AB为固定支撑杆，BC为可绕着点B旋转的调节杆．若AB=30 cm，BC=35 cm，OA=8 cm，∠OAB=143°，∠ABC=80°，求台灯灯体C到水平面OE的距离．(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 27°≈0.45，cs 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)
18.(本小题8分)
如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从点O竖直上升到点A时，测得点A到点R的距离为40 m，点R的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到点B，测得点R的俯角为36.9°，求无人机从点A到点B的上升高度AB(精确到0.1 m)．
(参考数据：sin 24.2°≈0.41，cs 24.2°≈0.91，tan 24.2°≈0.45，sin 36.9°≈0.60，cs 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75)
19.(本小题8分)
如图，五一劳动节的清晨，小明到大连人民广场参加升旗仪式，在距旗杆33.6 m的D处，测得旗杆顶部A的仰角约为37°，已知小明的身高CD为1.7 m，求旗杆AB的高度．(结果取整数．参考数据：sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
20.(本小题8分)
图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”.“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC=38°，∠BAD=53°，AB=18 m.求“龙”字雕塑CD的高度．(B,C,D三点共线，BD⊥AB.结果精确到0.1 m.参考数据：sin 38°≈0.62，cs 38°≈0.79，tan 38°≈0.78，sin 53°≈0.80，cs 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)
21.(本小题8分)
综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7m，∠DCE=90°．
独立思考：
(1)这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？
深入探究：
(2)消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上(云梯长度不改变)，AA′=4m，那么它的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB′的长度．
问题解决：
(3)在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员.经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的15，则云梯和消防员相对安全.在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24.3m高的墙头去救援被困人员？
22.(本小题8分)
2022年11月9日是我国第31个“全国消防宣传日”，该年“119消防宣传月”活动的主题是“落实消防责任，防范安全风险”.为落实该主题，济南市消防大队到建东小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC可伸缩(15m≤AC≤26m)，且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE(90°≤∠CAE≤150°)，转动点A距离地面BD的高度AE为3m．
(1)当起重臂AC长度为20m，张角∠CAE=127°，求云梯消防车最高点C距离地面BD的高度CF；
(2)已知该小区层高为2.8m，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由．
(结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75， 3≈1.73)
23.(本小题8分)
如图，在港口A处的正东方向有两个相距6 km的观测点B，C.一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B，C处分别测得∠ABD=45°，∠C=37°.求轮船航行的距离AD(参考数据：sin 26°≈0.44，cs 26°≈0.90，tan 26°≈0.49，sin 37°≈0.60，cs 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)．
24.(本小题8分)
如图，在港口A处的正东方向有两个相距8km的观测点B、C.一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD=45°、∠C=37°.求轮船航行的距离AD.(参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75.)
25.(本小题8分)
在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点D、E均在点C的正北方向且CE=600米，点B在点C的正西方向，且BC=200 3米，点B在点A的南偏东60°方向且AB=400米，点D在点A的东北方向.(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732， 6≈2.449)
(1)求道路AD的长度(精确到个位)；
(2)若甲从A点出发沿A—D—E的路径去点E，与此同时乙从点B出发，沿B—A—E的路径去点E，其速度为40米/分钟.若两人同时到达点E，请比较谁的速度更快？快多少？(精确到十分位)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，∴∠BCD=α，∠ACD=45∘.在Rt△CDB中，CD=m⋅csα，BD=m⋅sinα，在Rt△CDA中，AD=CD×tan45∘=m×csα×tan45∘=mcsα，∴AB=AD−BD=m⋅csα−m⋅sinα=m(csα−sinα).故选A．
2.【答案】A
【解析】解：如图：BC为飞机离地面的高度，
所以在Rt△ABC中，∠BAC=α，BC=5，
则AB=BCsin∠BAC=5sinα，
故选：A．
已知直角三角形的一个锐角和锐角所对的直角边，求斜边，运用锐角的三角比定义解答．
此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助俯角构造直角三角形．
3.【答案】C
【解析】解：如图，作AE⊥BC，AF⊥BD，垂足分别为E，F，则四边形AEBF是矩形，则AE=FB，
∵斜坡AD，i=3：4，设AF=3x，DF=4x，
∴AD=5x，
∵AD=5，则x=1，
∴AF=3，DF=4，
∵BD长为6，
∴AE=FB=DF+BD=4+6=10，
∵∠CAE=60°，
∴CE=AE×tan∠CAE=10 3，
∴BC=BE+CE=10 3+3，
即古塔BC的高度为(3+10 3)米，
故选：C．
作AE⊥BC，AF⊥BD，由i=3：4，可设AF=3x，DF=4x，结合AD=5，利用勾股定理可求得x的值，解Rt△AEC即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角，坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
4.【答案】B
【解析】解：如图，
∵AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°，
又∵B点在A的北偏东70°方向，
∴∠1=90°−70°=20°，
∴∠2=∠1=20°，
即C点在B的北偏西20°的方向上．
故选B．
由AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米得AC2=AB2+BC2，根据勾股定理的逆定理得到∠ABC=90°，再利用平行线的性质和互余的性质得到∠1，求得∠2．
本题考查了解直角三角形有关方向角的问题：在每点处画上东南西北，然后利用平行线的性质和解直角三角形求角．也考查了勾股定理的逆定理．
5.【答案】C
【解析】解：∵水平距离为5m，坡比为i=1：2.5，
∴铅直高度为5÷2.5=2(m)．
根据勾股定理可得：
坡面相邻两株树间的坡面距离为 52+22= 29(m)．
故选：C．
利用坡度先求得垂直距离，根据勾股定理求得坡面距离．
此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解决本题的关键是对坡度坡角的理解掌握情况．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题．解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形．如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．
【解答】
解：如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，
∴∠DAB=15°，
∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．
又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，
∴∠CBA=45°．
∴在直角△ABC中，sin∠ABC=ACBC=40×12BC= 22，
∴BC=20 2海里．
故选C．
7.【答案】B
【解析】解：分别过B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，
∴四边形BEFC为矩形，
斜坡AB的坡比i=1：2，即BEAE=12，不妨设BE=x，则AE=2x，
在Rt△ABE中根据勾股定理：BE2+AE2=AB2，x2+(2x)2=(6 5)2，
解得x=6或x=−6(不合题意，舍去)，
又∵背水坡CD的坡比i=1：1，
∴CF=DF=6，
∴在Rt△CFD中根据勾股定理得：CD= CF2+DF2= 62+62=6 2，
故选：B．
分别过B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，四边形BEFC为矩形，根据斜坡AB的坡比为i=1：2，结合勾股定理求出BE的长度，可得CF、DF的长度，再根据勾股定理求得答案．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握坡比的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵AE//CD，∠EAB=60°，∠EAC=30°，
∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，
在Rt△ACD和Rt△ABD中，
∵tan∠CAD=CDAD，tan∠BAD=BDAD，
∴CD=AD·tan∠60°= 3AD(米)，BD=AD·tan∠30°= 33AD(米)，
∴BC=CD−BD=2 33AD=30(米)，
∴AD=15 3(米)．
答：无人机的飞行高度AD为15 3米．
故选：B．
由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD= 3AD米、BD= 33AD米，再结合BC=30米即可求出AD的长度．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：作PC⊥AB于C点，
∵A在P的北偏东30°方向，
∴∠EPA=30°，
∴∠APC=90°−∠EPA=90°−30°=60°，
又∵B在P的南偏东45°方向上，
∴∠FPB=45°，灯塔P位于海轮的北偏西45°方向上，
∴∠BPC=90°−∠FPB=90°−45°=45°，
∴∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=80(海里)，
在Rt△APC中，∠PAC=90°−∠APC=90°−60°=30°，
∴PC=12AP=12×80=40(海里)，
在Rt△PCB中，∠BPC=45°，
∴三角形为等腰直角三角形，
∴PC=BC=40(海里)，
∴PB= PC2+PB2= 402+402=40 2(海里)．
故选：C．
过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中，通过30°的直角三角形，计算出PC的长，再根据等腰直角三角形，通过勾股定理即可求出PB．
本题考查方位角有关的计算以及用勾股定理求航海问题，解决本题的关键是构建直角三角形进行计算．
10.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查解直角三角形的应用，关键是根据锐角三角函数得出CO解答．
过C作CO⊥DE于O，根据锐角三角函数得出CO，进而解答即可．
【解答】
解：如图所示，过C作CO⊥DE于O，
∵∠CDE=45°，CD=1.2米，
∴CO=CD⋅sin∠CDE=3 25米，
∵MN//AB，
∴右侧车门开至最大的宽度FG的长为FG=AB−MN−CO=3−1.8−3 25=65−35 2(米)．
11.【答案】C
【解析】解：∵∠BAC=30°，∠BCD=60°，
∴∠CBA=30°，
∴AC=BC，
∵AC=4m，
∴BC=4m，
∴sin∠BCD=BDBC，
∴BD=sin∠BCD×BC= 32×4=2 3m，
∵ 3≈1.732，
∴BD=2 3≈2×1.732≈3.464≈3.5(m)，
故选：C．
根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得到AC=BC，再根据三角函数的定义即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，锐角三角函数，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：在直角三角形ABD中，tanα=ADBD，
∴AD=BD⋅tanα=9tanα，
根据题意可得：DE=BC=2，
∴AE=AD+DE=9⋅tanα+2；
故选：B．
根据∠ABD的正切可得AD=BD⋅tanα=9tanα，而DE=BC=2，进而即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：∵AC=12m，∠BAC=30°，
在Rt△ABC中，
tan∠BAC=BCAC= 33，
∴BC= 33×AC= 33×12=4 3，
∵CD=3m，∠CDE=45°，
∴∠CED=45°，
∴CD=CD=3，
∵BE=BC−CE=4 3−3≈3.92≈4．
故答案为：4．
根据解直角三角形，得出BC、CD的长，解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数是解题的关键．
14.【答案】17.3
【解析】解：如图，过点A作AC⊥MN于C，以点A为圆心，以200米为半径画圆，则⊙A交MN于点O，设另一个交点为B，连接OB，
当火车行驶到点O时，开始影响居民楼A，当驶离点B时，结束影响居民楼A，
∵OA=200米，∠AOB=30°，
∴AC=100米
∴OC= OA2−AC2=100 3(米)，
∵AC⊥OB，
∴OB=2OC=200 3(米)，
∴影响所持续的时间为200 3÷20=10 3≈17.3(秒)，
故答案为：17.3．
画出相应的图形，根据垂径定理、勾股定理求出OB的长度，再根据速度、时间、路程的关系进行计算即可．
本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理以及速度、时间、路程的关系是正确解答的关键．
15.【答案】328
【解析】解：如图，∵在Rt△ABD中，AD=120，∠BAD=45°，
∴BD=AD=120(m)，
∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴CD=AD⋅tan60°=120 3(m)，
∴BC=BD+CD=120 3+120≈328(m)
答：该建筑物的高度BC约为328米．
故答案为：328．
在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD⋅tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD⋅tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．
此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
16.【答案】(20 3−20)
【解析】解：过点A作AE⊥DF，垂足为E，延长BC交FD于点G，
由题意得：AE=BG=20 3m，EG=AB=80m，BG⊥EG，
在Rt△AED中，∠ADE=30°，
∴DE=AEtan30∘=20 3 33=60(m)，
∴DG=EG−DE=80−60=20(m)，
在Rt△DCG中，∠GDC=45°，
∴CG=DG⋅tan45°=20(m)，
∴BC=BG−CG=(20 3−20)m，
∴教学楼BC的高度是(20 3−20)m，
故答案为：(20 3−20)．
过点A作AE⊥DF，垂足为E，延长BC交FD于点G，根据题意可得：AE=BG=20 3m，EG=AB=80m，BG⊥EG，然后在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而求出DG的长，再在Rt△DCG中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：如图，过点C作CM⊥OE于点M，过点B作BN⊥CM于点N，延长OA交BN于点P.∵∠OAB=143°，∴∠BAP=180°−∠OAB=37°.易得∠APB=90°．
在Rt△BAP中，AB=30 cm， cs∠BAP=APAB ，∴AP=AB×cs 37°≈30×0.80=24(cm)，∴OP=OA+AP=8+24=32(cm).∵BN⊥CM，CM⊥OE，OA⊥OE，∴∠MNP=∠OMN=∠POM=90°，∴四边形POMN为矩形，∴MN=OP=32 cm，∠APN=90°.∵∠BAP=37°，∴∠ABP=90°−∠BAP=53°.∵∠ABC=80°，∴∠CBN=∠ABC−∠ABP=27°. 在Rt△CBN中，BC=35 cm， sin∠CBN=CNBC ，∴CN=BC×sin 27°≈35×0.45=15.75(cm).∴CM=MN+CN=32+15.75≈47.8(cm). 答：台灯灯体C到水平面OE的距离约为47.8 cm．
【解析】略
18.【答案】解：依题意，∠ARO=24．2°，∠BRO=36.9°，AR=40m，
在Rt△AOR中，∠ARO=24．2°，
∴AO=AR·sin∠ARO=40sin 24．2°，RO=AR·cs∠ARO=40cs24．2°，
在Rt△BOR中，OB=OR·tan∠BRO=40cs 24．2°·tan36.9°，
∴AB=BO−AO
=40cs 24．2°·tan 36.9°−40sin 24．2°
≈40×0.91×0.75−40×0.41
≈10.9m
答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米m．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用有关知识，在Rt△AOR中，求得AO，OR，在Rt△BOR中，求得BO，根据AB=BO−AO，即可求解．
19.【答案】解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E.
由题意知，CD=1.7 m，DB=33.6 m，∠ACE=37°，∠B=∠D=90°．
∵CE⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠B=∠D=90°．
∴四边形CDBE是矩形，
∴BE=CD=1.7m，CE=DB=33.6m.
在Rt△AEC中，∵ tan∠ACE=AECE ，∠ACE=37°，
∴AE=CE·tan∠ACE=33.6×tan 37°≈33.6×0.75=25.2(m)．
∴AB=AE+BE=25.2+1.7≈27(m).
答：旗杆AB的高度约为27m．
【解析】本题主要考查的是解直角三角形的应用的有关知识，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，先证出四边形CDBE是矩形，进而得到BE=CD=1.7m，CE=DB=33.6m，然后解直角三角形求解即可．
20.【答案】解：在Rt△ABC中，AB=18 m，∠BAC=38°，
∴BC=AB·tan 38°≈0.78×18=14.04(m).
在Rt△ABD中，AB=18 m，∠BAD=53°，
∴BD=AB·tan 53°≈18×1.33=23.94(m)．
∴CD=BD−BC=23.94−14.04=9.9(m).
答：“龙”字雕塑CD的高度约为9.9 m．
【解析】略
21.【答案】解：(1)在Rt△ACB中，
∴AC= AB2−BC2= 252−72=24m，
答：这架云梯顶端距地面的距离AC有24m．
(2)云梯的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′不是4m.理由如下：
由(1)可知AC=24m，
∴A′C=AC−AA′=24−4=20m．
在Rt△A′CB′中，
∴B′C= A′B′2−A′C2= 252−202=15m，
∴BB′=CB′−BC=15−7=8m．
(3)若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的15，
则能够到达墙面的最大高度为 252−(15×25)2= 600m．
∵24.32=590.49<600，
∴24.3< 600，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24.3m高的墙头去救援被困人员．
【解析】(1)由图可以看出梯子墙地可围成一个直角三角形，即梯子为斜边，将梯子底部到墙的距离线段对应为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段对应为另一个直角边，所以梯子顶端到地的距离为252−72=242，所以梯子顶端到地为24米；
(2)求出BB′的长度即可；
(3)先求出梯子能够到达墙面的最大高度，再与24.3比较即可．
本题考查勾股定理和解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键．
22.【答案】解：(1)如图，过点C作CF⊥BD于F，过点A作AG⊥CF，垂足为G，
则AE=FG=3m，∠EAG=∠AGC=90∘，
∵∠CAE=127∘，
∴∠CAG=∠CAE−∠EAG=37∘，
在Rt△AGC中，AC=20m，
∴CG=ACsin37∘=12(m)，
∴CF=CG+GF=12+3=15(m)，
∴云梯消防车最高点C距离地面的高度CF为15m;
(2)该消防车能有效救援10层．
理由：当∠CAE=150∘，AC=26m时，能达到最高高度，
∵∠EAG=90∘，
∴∠CAG=∠CAE−∠EAG=60∘，
在Rt△CAG中，CG=ACsin60∘=13 3m，
∴CF=CG+FG=13 3+3≈25.49m
∵25.49÷2.8≈9.1，
∴该消防车能有效救援10层．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
(1)过点A作AG⊥CF，垂足为M，根据题意可得AE=GF=3m，∠EAG=90°，从而求出CG的长，然后在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出∠CAG的度数，进而求得CF的长即可；
(2)当∠CAE=150°，AC=26m时，在Rt△CAG中，利用锐角三角函数定义求出CG的长，从而求出CF的长，进行比较即可解答．
23.【答案】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
在Rt△DCH中，∠C=37°，
∴CH=DHtan37∘，
在Rt△DBH中，∠DBH=45°，
∴BH=DHtan45∘，
∵BC=CH−BH，
∴DHtan37∘−DHtan45∘=6，
解得DH≈18 km，
在Rt△DAH中，∠ADH=26°，
∴AD=DHcs26∘≈20 km．
答：轮船航行的距离AD约为20km．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
过点D作DH⊥AC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD．
24.【答案】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
在Rt△DCH中，∠C=37°，
∴CH=DHtan37∘，
在Rt△DBH中，∠DBH=45∘，
∴BH=DHtan45∘，
∵BC=CH−BH，
∴DHtan37∘−DHtan45∘=8km，
解得DH=24km，
在Rt△DAH中，∠ADH=26∘，
∴AD=DHcs26∘≈803km．
答：轮船航行的距离AD约为803km．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．过点D作DH⊥AC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD．
25.【答案】解：(1)过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，
由题意得：
AF=CG，AG=CF，
在Rt△AFB中，∠BAF=60°，AB=400米，
∴AF=AB⋅cs60°=400×12=200(米)，
BF=AB⋅sin60°=400× 32=200 3(米)，
∴CG=AF=200米，
∵BC=200 3米，
∴CF=BF+BC=200 3+200 3=400 3(米)，
∴AG=CF=400 3米，
在Rt△ADG中，∠DAG=90°−45°=45°，
∴AD=AGcs45∘=400 3 22=400 6≈980(米)，
∴道路AD的长度约为980米；
(2)∵CE=600米，CG=200米，
∴EG=CE−CG=400(米)，
在Rt△AGE中，AG=400 3米，
∴AE= AG2+GE2= (400 3)2+4002=800(米)，
在Rt△ADG中，∠DAG=45°，
∴DG=AG⋅tan45°=400 3(米)，
∴甲的路程=AD+DE=AD+DG−EG=(400 6+400 3−400)米，
乙的路程=AB+AE=400+800=1200(米)，
∵乙的速度为40米/分钟，
∴乙所用的时间=120040=30(分钟)，
∴甲所用的时间也是30分钟，
∴甲的速度=400 6+400 3−40030≈42.4(米/分钟)，
∴42.4−40=2.4(米/分钟)，
∴若两人同时到达点E，甲的速度更快，快2.4米/分钟．
【解析】(1)过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，过点A作AG⊥DC，垂足为G，根据题意可得：AF=CG，AG=CF，然后在Rt△AFB中，利用锐角三角函数的定义求出AF，BF的长，从而求出CF的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答；
(2)利用(1)的结论可求出EG的长，再在Rt△AGE中，利用勾股定理可求出AE的长，然后在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
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