2023-2024学年广东省梅州市蕉岭县三校高一上学期10月联考数学试题(含解析）

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这是一份2023-2024学年广东省梅州市蕉岭县三校高一上学期10月联考数学试题(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x−1A. −1,2B. 0,1
C. −∞,−1∪2,+∞D. 0,1
2.命题“∃x0≥2,x02≥πx0”的否定是
A. ∃x0<2,x02≥πx0B. ∃x0<2,x02<πx0
C. ∀x≥2,x2≤πxD. ∀x≥2,x2<πx
3.若A=x2−2x，B=−6x−4，则A，B的大小关系是( )
A. A≤BB. A≥BC. A=BD. 与x的值有关
4.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.设a>0,b>0,a+2b=2，则1a+1b的最小值为
( )
A. 2 2+32B. 2 2+3C. 2+32D. 2+3
6.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x130的解集为
( )
A. x−12C. xx3或x<2D. x−37.已知函数f(x)=1 mx2+2mx+1的定义域是R，则m的取值范围是
( )
A. 08.如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A−B−C−M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f(x)的图象的形状大致是( )
A. B.
C. D.
9.设M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数的是
( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共15分。在每小题有多项符合题目要求）
10.对实数a，b，c，d，下列命题中正确的是
( )
A. 若aB. 若a>b，cb−d
C. 若1≤a≤4，−2≤b≤1，则0≤a−b≤6
D. 若a>1，则a+1a的最小值是2
11.如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是
( )
A. y=x+f(x)B. y=xf(x)C. y=x2+f(x)D. y=x2f(x)
12.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f(−x)=f(x)；②∀x1，x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，f(x1)−f(x2)x1−x2<0；③f(−1)=0.则下列选项成立的是( )
A. f(3)>f(4)
B. 若f(m−1)3
C. 若xf(x)>0，则x∈(−1,1)
D. ∃m∈R，使得f(x)≤m
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数y= 9−x2x的定义域是______．
14.设集合A=x∈N|y=12x+3∈N，则集合A的子集个数为________
15.已知函数fx=x3−1,x≤2,fx−3,x>2,则f8=___________．
16.设函数fx=ax2−2x+c，不等式fx>0的解集为−∞,−1∪3,+∞，若对任意x∈−1,2,fx≤m2−4恒成立，则实数m的取值范围为__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A=x|2≤x≤6,B=x|3x−7≥8−2x．
(1)求A∩B ，∁R(A∩B)；
(2)若C=x|a−418.(本小题12分)
解关于x的不等式x2−a+3x+3a<0，a∈R．
19.(本小题12分)
已知全集U=R，集合A=xx−5x−2≤0，B=xa−1(1)当a=2时，求∁UA∩∁UB；
(2)若x∈A是x∈B 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知x，y都是正数．
(1)若2x+3y=3，求xy的最大值；
(2)若1x−y+12y=2，且x>y，求x+y的最小值．
21.(本小题12分)
某厂家拟在2023年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=4−km+1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(此处每件产品年平均成本按8+16xx元来计算)．
(1)将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题12分)
已知函数fx=ax+bx2+1是定义在−1,1上的奇函数，且f12=45．
(1)求函数fx的解析式；
(2)判断当x∈−1,1时，函数fx的单调性，并用定义证明；
(3)若ft2−1<−ft恒成立，求t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据集合的交运算法则可直接得到结果．
解：因为 A=x−1所以 A∩B={x|0≤x<1} ，
故选： B.
2.【答案】D
【解析】【分析】本题考查特称命题与全称命题的关系，属于基础题．
根据特称命题的否定是全称命题，得出选项．
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“ ∃x0≥2,x02≥πx0 ”的否定是 ∀x≥2,x2<πx ，
故选D．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查作差法比较大小，考查运算能力，属于基础题．
运用作差法，结合完全平方公式，即可得到所求结论．
【解答】
解：由A−B=x2−2x−(−6x−4)=x2+4x+4=(x+2)2≥0，
则A≥B，
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了充分、必要、充要条件的判断，属于基础题．
由a>1⇒a2>a，而a2>a⇒a<0或a> 1，即可得出答案．
【解答】解：易知a>1⇒a2>a，而a2>a⇔a<0或a> 1，
所以“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，
故选A．
5.【答案】A
【解析】【分析】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
由 a+2b=2 得 12a+2b=1 ，再根据基本不等式“1”的用法求解即可．
解：因为 a>0,b>0,a+2b=2 ，
所以 12a+2b=1 ， 2ba>0,ab>0
所以 1a+1b=121a+1ba+2b=123+2ba+ab≥123+2 2 ，
当且仅当 2ba=ab ，即 a= 22− 2 ， b=2− 2 时等号成立，
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】根据不等式 ax2+bx+c>0 的解集，可得 13,12 是方程 ax2+bx+c=0 的根，得到 a,b.c 的关系，再解 cx2+bx+a>0 可得答案．
解：不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 x13可得 13,12 是方程 ax2+bx+c=0 的根，
所以 a<0 ，且 a9+b3+c=0a4+b2+c=0 ，解得 b=−5ca=6c ，
由不等式 cx2+bx+a>0 可得 cx2−5cx+6c>0 ，
由 a<0 得 c<0 ，
所以 x2−5x+6<0 ，解得 2则不等式 cx2+bx+a>0 的解集为 x2故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】根据给定条件，建立恒成立的不等式，再分类讨论求解作答．
解：依题意， ∀x∈R ，不等式 mx2+2mx+1>0 恒成立，
当 m=0 时， mx2+2mx+1=1>0 恒成立，则 m=0 ，
当 m≠0 时，有 m>0Δ=4m2−4m<0 ，解得 0所以 m 的取值范围是 0≤m<1 ．
故选：C
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，属基础题．
【解答】解：根据题意得f(x)=12x 0分段函数图象分段画即可，
故选A．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的概念以及函数的图象，属基础题．
【解答】
解：A.图象不满足条件，因为0≤x≤1，所以不正确；
B.因为对于集合M中的每一个x值，在集合N中都有1个y值与之对应，满足函数的定义，所以正确；
C.因为0≤y≤3，所以不正确；
D.当x∈(0,2]，在集合N中有2个y值与之对应，不满足函数的定义，所以不正确．
故选B．
10.【答案】BC
【解析】【分析】利用不等式的性质，对ABC三个选项逐一分析判断即可判断出正误；选项D，利用基本不等式即可判断出正误．
解：选项A，当 c=0 ， ac2=bc2 ，故选项A错误；
选项B，因为 a>b ， c−d ，由不等式性质知， a−c>b−d ，故选项B正确；
选项C， 1≤a≤4 ， −2≤b≤1 ，所以 −1≤−b≤2 ，由不等式性质知， 0≤a−b≤6 ，故选项C正确；
选项D，因为 a>1 ， a+1a≥2 a⋅1a=2 ，当且仅当 a=1 时取等号，所以等号取不到，选项D错误．
故选：BC．
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查函数得奇偶性，属于中档题．
可根据函数的奇偶性定义逐一检验解答．
【解答】
解：对于A：令gx=x+fx，
则g−x=−x+f−x=−x−fx=−gx，
所以函数gx为奇函数，所以A正确；
对于B：令gx=xfx，
则g−x=−x·f−x=−x−fx=x·fx=gx，
所以函数gx为偶函数，所以B错误；
对于C，g(−x)=(−x)2+f(−x)=x2−f(x)，
所以y=x2+f(x)为非奇非偶函数，所以C错误；
对于D，g(−x)=(−x)2f(−x)=−x2f(x)=−g(x)，
所以y=x2f(x)是奇函数，所以D正确．
故选AD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查抽象函数及函数的单调性与奇偶性相关知识，属于中档题．
利用偶函数、函数单调性的定义，结合题目条件得函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，即可判断选项A，B;利用题目条件作出函数f(x)的示意图，即可判断选项C;再结合函数的最值，对D进行判断，从而得结论．
【解答】
解：因为函数f(x)是定义在R上的函数，
所以由①：∀x∈R，f−x=fx得函数f(x)为偶函数，
又因为由②知：∀x1，x2∈0,+∞，当x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，
因此∀x1，x2∈0,+∞，x10，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，
对于A、因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，
因此f(4)对于B、因为定义在R上的偶函数f(x)图象连续且在(0,+∞)上单调递减，
若fm−12，解得m<−1或m>3，因此B正确；
对于C、因为f(−1)=0，函数f(x)为偶函数，所以f(1)=0，
因为函数f(x)为偶函数，图象连续，在(0,+∞)单调递减，
所以可作函数f(x)的示意图如下：
所以由xf(x)>0得x<−1或0对于D、由C知：f(0)是函数f(x)的最大值，
因此∀x∈R，∃m=f(0)∈R，使得f(x)⩽m，因此D正确．
故选ABD．
13.【答案】[−3,0)∪(0,3]
【解析】【分析】根据题意列出不等式组，求解即可．
解：由题意可得 x≠09−x2≥0 ，解得 −3≤x≤3 且 x≠0 ，
所以函数的定义域为 [−3,0)∪(0,3] ．
故答案为： [−3,0)∪(0,3]
14.【答案】16
【解析】【分析】
本题考查集合的求法，考查集合的子集个数的求法．
化简集合A，进而能求出集合A的子集的个数．
【解答】
解：∵集合A=x∈N|y=12x+3∈N={0,1,3,9}，
∴列举法表示集合A={0,1,3,9}，
集合A的子集有24=16个．
故答案为16．
15.【答案】7
【解析】【分析】代入即可求解．
解： f8=f5=f2=23−1=7 ．
故答案为：7
16.【答案】(−∞,−2]∪[2,+∞)
【解析】【分析】先根据不等式的解集求得 a=1,c=−3 ，得到 fx=x2−2x−3 ，再把对任意 x∈−1,2 ， fx≤m2−4 恒成立，结合二次函数的性质，转化为 m2−4≥0 恒成立，即可求解．
解：由函数 fx=ax2−2x+c ，且不等式 fx>0 的解集为 −∞,−1∪3,+∞ ，
即 −1,3 是方程 ax2−2x+c=0 两个实数根，
可得 −1+3=2a−1×3=ca ，解得 a=1,c=−3 ，所以 fx=x2−2x−3 ，
又由 fx=x2−2x−3=(x−1)2−4 ，且 x∈−1,2 ，
当 x=−1 时，函数 fx 取得最大值，最大值为 fxmax=0 ，
因为对任意 x∈−1,2,fx≤m2−4 恒成立，即 m2−4≥0 恒成立，
解得 m≤−2 或 m≥2 ，所以实数 m 的取值范围为 (−∞,−2]∪[2,+∞) ．
故答案为： (−∞,−2]∪[2,+∞) ．
17.【答案】解：(1)3x−7≥8−2x,5x≥15,x≥3 ，所以 B=x|x≥3 ，
所以 A∩B=3,6,∁R(A∩B)−∞,3∪6,+∞ ．
(2)由于 C=x|a−4所以 a−4<2a+4≥6⇒2≤a<6 ，
所以 a 的取值范围是 2,6 ．

【解析】【分析】(1)解不等式求得集合 B ，由此求得 A∩B ，进而求得 ∁R(A∩B) ．
(2)根据 A 是 C 的子集列不等式组，由此求得 a 的取值范围．
18.【答案】解：x2−a+3x+3a=(x−3)(x−a)<0 ，
当 a<3 时，由 (x−3)(x−a)<0 得： a当 a=3 时，不等式 (x−3)(x−a)<0 无解；
当 a>3 时，由 (x−3)(x−a)<0 得： 3综上所述：当 a<3 时，不等式解集为 (a,3) ；
当 a=3 时，不等式解集为 ⌀ ；
当 a>3 时，不等式解集为 (3,a) ．

【解析】【分析】将不等式化为 (x−3)(x−a)<0 ，再分类讨论 a 的范围即可求解．
19.【答案】解：(1)因为 A=xx−5x−2≤0=x2因为全集 U=R ，则 ∁UA=xx≤2 或 x>5 ， ∁UB=xx≤1 或 x≥3 ，
因此， ∁UA∩∁UB=xx≤1 或 x>5 ．
(2)易知集合 B=xa−1因为 x∈A 是 x∈B 的必要不充分条件，则 B Ü A ，所以， a−1≥2a+1≤5 ，解得 3≤a≤4 ．
因此，实数 a 的取值范围是 a3≤a≤4 ．

【解析】【分析】(1)当 a=2 时，求出集合 A 、 B ，利用补集和交集的定义可求得集合 ∁UA∩∁UB ；
(2)分析可知， B ⫋ A ，利用集合的包含关系可得出关于实数 a 的不等式组，由此可解得实数 a 的取值范围．
20.【答案】解：(1)因为x，y都是正数，则 2x+3y≥2 2x⋅3y=2 6xy ，即 2 6xy≤3 ，
解得： xy≤38 ，当且仅当 2x=3y ，即 x=34y=12 时取等号，
所以 xy 的最大值为 38 ．
(2)由x，y都是正数，且 x>y ，由 1x−y+12y=2 可得：
x+y=x−y+2y=12(x−y+2y)(1x−y+12y)=12(2+2yx−y+x−y2y)
≥12×(2+2 2yx−y⋅x−y2y)=2 ，
当且仅当 2yx−y=x−y2y ，即 x=3y=1 时等号成立，
所以 x+y 的最小值为 2 ．

【解析】【分析】(1)直接利用基本不等式 2x+3y≥2 2x⋅3y=2 6xy 即可求得最值；
(2)利用 x+y=x−y+2y=12(x−y+2y)(1x−y+12y) ，展开后直接利用基本不等式求出结果．
21.【答案】解：(1)由题意知，当 m=0 时， x=2 (万件)，
则 2=4−k ，解得 k=2 ，∴ x=4−2m+1 ，
所以每件产品的销售价格为 1.5×8+16xx (元)，
∴2020年的利润 y=1.5x×8+16xx−8−16x−m=36−16m+1−mm≥0 ；
(2)∵当 m≥0 时， m+1>0 ，
∴ 16m+1+m+1≥2 16=8 ，
当且仅当 16m+1=m+1 即 m=3 时等号成立．
∴ y≤−8+37=29 ，
即 m=3 万元时， ymax=29 (万元)，
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．

【解析】【分析】(1)根据 m=0 ， x=2 求出 k ，从而可求出 x ，再根据利润公式求函数关系式即可；
(2)根据(1)中结论，再结合基本不等式即可得解．
22.【答案】解：(1)函数 fx=ax+bx2+1 是定义在 −1,1 上的奇函数，则 f0=b=0 ，
f12=12a14+1=45 ，解得 a=2 ，故 fx=2xx2+1 ，
x∈−1,1 时， f−x=−2xx2+1=−fx ，函数为奇函数，
综上所述： fx=2xx2+1 ．
(2)当 x∈−1,1 时，函数 fx 单调递增，
设 −1−10 ， x2−x1>0 ， 1−x1x2>0 ，
故 fx2−fx1>0 ，即 fx2>fx1 ，
故 fx 在 −1,1 上单调递增．
(3)ft2−1<−ft ，即 ft2−1fx 在 −1,1 上单调递增，故 t2−1<−t−1
【解析】【分析】(1)根据奇函数得到 f0=b=0 ，再根据 f12=45 计算得到答案．
(2)确定函数单调递增，设 −1fx1 得到证明．
(3)变换得到 ft2−1

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