人教版九年级数学上册 24.28 正多边形与圆（基础篇）（专项练习）

这是一份人教版九年级数学上册 24.28 正多边形与圆（基础篇）（专项练习），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．8
2．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（ ）
A．72°B．60°C．48°D．36°
4．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6B．12C．24D．48
5．如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，则∠CAD 与∠B的关系是( )
A．∠CAD=2∠BB．∠CAD+∠B =120°
C．∠CAD+∠B =180°D．无法确定
6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72°B．70°C．60°D．45°
7．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mmB．C．D．4mm
8．有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）
A．淇淇说的对，且的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，就得65°
C．嘉嘉求的结果不对，应得50°
D．两人都不对，应有3个不同值
9．设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ）
A．50°B．65°C．115°D．130°
二、填空题
11．如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正______边形．
12．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝32°，则∠B+∠E＝_____°．
13．如图，四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为_________．
14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为______cm．
15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝________．
16．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为_______．
17．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 cm．
18．六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．
三、解答题
19．如图，是的内接正五边形．求证：.

20．已知正六边形内接于，图中阴影部分的面积为，则的半径为多少？

21．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．
（1）证明：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数．
22．完成下表中有关正多边形的计算：
23．如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1) 在图1中的边上求作点，使；
(2) 在图2中的边上求作点，使．
24．如图，已知．
求作：的内接等边．
小丽同学的作法及证明过程如下：
作法：①作直径；
②作半径的垂直平分线，垂足为，交于两点；
③连接，．
所以即为的内接等边三角形．
∵在中，垂直平分
∴，
∵
∴（①）
∵
∴为等边三角形
∴
∴（②）
∴为的内接等边三角形．
（1）在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是 ； ．
（2）请你再给出一种作图方法．（尺规作图，保留作图痕迹）
参考答案
1．C
【分析】
如图（见分析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得．
解：如图，由题意得：，
是等边三角形，
，
则这个正多边形的边数为，
故选：C．
【点拨】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键．
2．C
【分析】
根据题意，内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则正n边形的中心角为 ，由 可得结果．
解： 内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，
正n边形的中心角为，
，
n的值为6，
故选：C．
【点拨】本题考查了正n边形中心角的定义，熟记并理解正n边形中心角的定义是解决本题的关键．
3．A
【分析】
根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为，
故选：A．
【点拨】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式： 是解题的关键．
4．C
【分析】
根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．
解：连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°
∴n＝360°÷15°＝24．
故选：C．
【点拨】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．
5．C
【分析】
还原点A折叠前的位置，然后利用圆的内接四边形对角互补的性质得到结论．
解：如图，点为点A折叠前的位置，
∵折叠，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
故选：C．

【点拨】本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质．
6．A
【分析】
由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B，的度数即可解决问题．
解：在正五边形ABCDE中，
∠B=∠BCD=×（5-2）×180=108°，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=（180°-108°）=36°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=108°-36°=72°．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．
7．D
【分析】
如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
解：连接CF与AD交于点O，
∵为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形的边长为4mm，
故选：D．

【点拨】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
8．A
【分析】
直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°−65°＝115°．

故选：A．
【点拨】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
9．C
【分析】
将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．
解：
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，
由B中关系可得：，解得，则，
所以C错误，D正确；
故选：C．
【点拨】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形．
10．C
【分析】
先根据圆周角定理求出的度数，再根据圆的内接四边形对角互补的性质求出结果．
解：∵，
∴，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴，
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质．
11．六
【分析】
根据题意可得，进而证明是等边三角形，得到，即可证明出这个多边形是正六边形．
解：如图，连接OB，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴这个多边形是正六边形．
故答案为：六．
【点拨】此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出．
12．212
【分析】
连接CE，先根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC＝180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED＝∠CAD＝32°，然后求解即可．
解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，
∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AEC＝180°，
∵∠CED＝∠CAD＝32°，
∴∠B+∠E＝∠B+∠AEC +∠CED =180°+32°＝212°．
故答案为：212．

【点拨】本题考查圆内接四边形的性质以及圆周角定理．作出辅助线，构造出圆内接四边形是解题的关键．
13．12
【分析】
连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算即可得到n的值．
解：连接OA、OD、OF，如图，

∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n==12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．
【点拨】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
14．12
【分析】
连接OC，OD，证出△COD是等边三角形即可求得答案．
解：∵多边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COD＝360°×＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∵OC长为2cm，
∴CD＝2cm，
∴正六形ABCDEF的周长为2×6＝12（cm），
故答案为：12．
【点拨】本题考查的是正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质是本题的关键．
15．36°##36度
【分析】
连接OC、OD，求出∠COD的度数，再根据圆周角定理解答即可．
解：连接OC、OD，
正五边形ABCDE内接于⊙O，
，
，
故答案为：36°．
【点拨】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，准确作出辅助线并熟练掌握知识点是解题的关键．
16．10
【分析】
连接AO,BO，根据圆周角定理得到∠AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．
解：如图，连接AO,BO，
∴∠AOB=2∠ADB=36°
∴这个正多边形的边数为=10
故答案为：10．

【点拨】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
17．
【分析】
圆心为A，设半径为R，大正方形边长是2x，根据图形可得AE=BC=x，CE=2x，EF=DF=4，利用勾股定理列出方程求解，然后代入勾股定理计算即可得出结果．
解：如图所示，圆心为A，设半径为R，大正方形边长是2x

∵正方形的两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，
∴AE=BC=x，CE=2x，
∵小正方形的面积为16cm2，
∴小正方形的边长为EF=DF=4，
由勾股定理得：
，
即，
解得：x=4，
，
故答案为：．
【点拨】题目主要考查圆的基本性质及勾股定理解三角形，正方形的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
18．．
【分析】
由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．
解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，

在正六边形ABCDEF中，
∵直角三角板的最短边为1，
∴正六边形ABCDEF为1，
∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，
∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120︒，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，
∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒，
∴BG=DI= FH=，
∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =，
∴AC =AE = CE =，
∴由勾股定理得：AI=，
∴S=，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用．
19．证明见分析
【分析】
根据正五边形的性质求出，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．
证明：∵是正五边形，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点拨】本题考查的是正多边形和圆，熟知正五边形的性质是解答此题的关键．
20．半径
【分析】
先根据三角形的面积求出它的边长，再根据正多边形与圆的关系即可求出．
解：连接DO并延长，交BF于点G．
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴阴影部分为正三角形，
设边长是a，则FG=a，DG=a，
则面积是a×a=，即=，
解得a=4，
则DG=BD•sin60°=4×=6
∴半径OD=DG=6×=4．
【点拨】本题考查正多边形和圆，熟知正六边形的性质，得出阴影部分三角形的边长是解题的关键．
21．（1）详见分析；（2）110°．
【分析】
（1）连接AD，利用直径所对的圆周角为直角，可得AD⊥BC，再根据CD＝BD，故AD垂直平分BC，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得：AB＝AC，再根据等边对等角和同弧所对的圆周角相等即可得到∠E＝∠C；
（2）根据内接四边形的性质：四边形的外角等于它的内对角，可得∠CFD＝∠E＝55°，再利用外角的性质即可求出∠BDF.
（1）证明：连接AD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C；
（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°﹣∠E，
∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝55°，
由（1）得：∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝55°+55°＝110°．
【点拨】此题考查的是(1)直径所对的圆周角是直角、垂直平分线的性质和同弧所对的圆周角相等；（2）内接四边形的性质.
22．填表见分析．
【分析】首先根据题意画出图形，然后利用勾股定理等知识进行逐一求解即可．
解：如图（1）所示：中心角，内角∠A=60°
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴周长为：，面积为；
如图（2）所示：中心角， 内角∠A=90°
由题意可得△BOC和△OBE都是等腰直角三角形，
∵边心距为1
∴，
∴边长为2，半径为 ，
∴周长为8，面积为4；
如图（3）所示：内角为120°，中心角，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOM=30°，AM=BM，
∴AO=2AM
∵边心距为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴半径为2，边长为2，
∴周长为12，面积，
故答案为：
【点拨】本题主要考查了正多边形和圆，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．【分析】
（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求作；
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可．
(1)连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．
(2)在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
【点拨】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．
24．（1）垂直平分线的性质；同弧所对圆周角相等；（2）见分析
【分析】
（1）根据前面的证明条件以及结论可以求得所用的推理依据；
（2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以此点为圆心，继续画圆弧，以此类推，将圆周六等分，连接不相邻的两个交点即可．
解：（1），，∴为的垂直平分线，因此，理论依据为：垂直平分线的性质；
和都是弦所对的圆周角，因此，理论依据为：同弧所对的圆周角相等；
（2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以点为圆心，保持半径不变，继续画圆弧，交圆于点，以此类推，依次得到点，则即为所求，如下图：
【点拨】此题考查了圆的有关性质，涉及了同弧所对的圆周角相等，熟练掌握并应用圆的有关性质是解题的关键．正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
1
6
正多边形边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
1
6