人教版九年级数学上册 24.27 正多边形与圆（知识讲解）

这是一份人教版九年级数学上册 24.27 正多边形与圆（知识讲解），共22页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，阅读理解，类比探究，拓展应用等内容，欢迎下载使用。

1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；
3.会进行正多边形的有关计算.
【要点梳理】
知识点一、四点共圆
性质：圆内接四边形对角互补，任何一个外角等于其内对角。
判定四点共圆常用的方法有：
1、对角互补的四边形，四点共圆；
2、外角等于内对角的四边形，四点共圆；
3、同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆；
4、到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆。
知识点二、正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．
特别说明：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
知识点三、正多边形的重要元素
1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形
正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
2.正多边形的有关概念
(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
3.正多边形的有关计算
(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；
(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；
(3)正ｎ边形每个外角的度数是.
特别说明：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.
知识点四、正多边形的性质
1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
特别说明：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.
知识点五、正多边形的画法
1.用量角器等分圆
由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.
2.用尺规等分圆
对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.
①正四、八边形。

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。
②正六、三、十二边形的作法。

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。
特别说明：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.
【典型例题】
类型一、已知圆内接四边形求角度
1．如图，的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点M，N．
（1）当∠M=∠N=42°时，求∠A的度数；
（2）若，且，请你用含有、的代数式表示∠A的度数．
【答案】（1）∠A=48°；（2）∠A=90°．
【分析】
（1）先由题意得∠ADC=∠ABC，再据圆内接四边形性质得∠ADC+∠ABC=180°，得∠ABM=90°，由直角三角形两锐角互余可求出∠A度数；
（2）先证∠MDC+∠NBC=180°，再证∠MCD+∠NCB=180°-（α+β），再证∠BCD+∠NCM==180°+（α+β），再证∠BCD=90°+，最后由∠A+∠BCD=180°，可得∠A=90°．
解：（1）在△CDM与△CBN中，∵∠M=∠N=42°，∠MCD=∠NCB，
∴∠CDM=∠CBN，
∴180°-∠CDM=180°-∠CBN，即∠ADC=∠ABC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=90°；
∵∠M =42°，
∴∠A=90°-∠M=48°；
（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠MDC+∠NBC=180°，
∵∠M+∠MDC+∠MCD=180°，∠N+∠NCB+∠NBC=180°，
∴∠M+∠N+∠MCD+∠NCB=180°，
又，
∴∠MCD+∠NCB=180°-（α+β），
∴∠BCD+∠NCM=360°-（∠MCD+∠NCB）=180°+（α+β），
∵∠BCD=∠NCM，
∴∠BCD=90°+，
∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=90°-；
【点拨】此题考查：1．三角形内角和定理；2．圆内接四边形定理．其关键是运用相关定理结合图形对角进行运算．
【变式1】已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．
（1）求∠A、∠B的度数；
（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）60°、90°；（2）
【分析】
(1)根据圆内接四边形的性质求出∠A、∠B的度数；
(2)连接AC，根据勾股定理求出AC，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到AD＝CD，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案．
解：（1）设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，
解得，x＝30°，
∴∠A、∠B分别为60°、90°；
（2）连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC为圆的直径，AC＝＝5，△ABC的面积＝×3×4＝6，∠D＝90°，
∵点D为的中点，
∴AD＝CD＝AC＝，
∴△ADC的面积＝，
∴四边形ABCD的面积＝6+＝．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行解题．
【变式2】如图，是的外接圆，．点D在上，连结AD，BD，延长CD至点E．
求证：AD平分．
【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据圆内接四边形的性质和平角的定义可得，根据圆周角定理可得，进而可得结论．
解：∵，
∴，
∵是的外接圆，点D在上，
∴，
∵，
∴，
∵∠ACB和∠ADB是所对圆周角，
∴，
∴，
∴AD平分．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的内接四边形的对角互补；熟练掌握相关性质和定理是解题关键．
类型二、求四边形外接圆的直径
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2,∠ADB=45°. 求⊙O半径的长.

【答案】.
【分析】根据圆周角定理得∠ABC=90°，∠ACB=∠ADB=45°，然后在Rt△ABC利用勾股定理计算即可．
解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠ADB=45°，
∴∠ACB=∠ADB=45°，
∴BC=AB=2，
∴AC=，
∴⊙O半径的长为：.
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【变式1】如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD平分∠ACB．
求AC与BD的长； (2) 求四边形ADBC的面积．

【答案】(1)5cm；(2)49cm2．
【分析】
（1）根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，根据勾股定理计算即可；
（2）根据三角形的面积公式计算．
解：(1)∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC= =6（cm），
∵CD平分∠ACB，
∴BD=AD= AB= （cm）；
四边形ADBC的面积
=△ABC的面积+△ADB的面积
= ×6×8+ ××
=49（cm2）．
【点拨】本题考查的知识点是圆周角定理以及勾股定理．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
【变式2】如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，A F⊥CD．
(1) 求证：A、E、C、F四点共圆；
(2) 设线段 BD与(1)中的圆交于M、N．求证：BM = ND

【分析】
（1）只要证明A、E、C、F四点所构成的四边形的对角互补，则该四点共圆；
（2）连接AC交BD于O，易得O是该圆的圆心，OM＝ON，所以可得BM＝ND．
解：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∴A、E、C、F四点共圆；
（2）由（1）可知，圆的直径是AC，
连接AC交BD于O，
∵ABCD是平行四边形，
∴O为圆心，OB=OD，
∴OM=ON，
∴BM=ND.

【点拨】本题主要考查了四点共圆的判定及平行四边形的性质，难度不大，能够灵活运用所学知识进行推理是解题关键．
类型三、求正多边形的中心角
3．如图，点是正方形，的中心．

（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接求证：．
【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解；
（2）根据题意证明即可求解．
解： 如图所示，点即为所求．

连接
由得：
是正方形中心，
在和中，
．
【点拨】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质．
【变式1】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．
（1）求∠AED的度数；
（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．

【答案】（1）∠AED=120°；（2）12.
【分析】
（1）如图，连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°；
（2）如图，连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得；
解：（1）如图，连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
（2）连接OA，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，
∴．

【变式2】如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____
【答案】（1）；（2），；（3）．
【分析】
（1）如图（见分析），先根据圆内接正三角形的性质可得，再根据圆内接正三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得；
（2）如图（见分析），先根据圆内接正方形的性质可得，再根据（1）同样的方法可得；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角，再根据（1）同样的方法可得；
（3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得．
解：（1）如图，连接OB、OC，则，
是内接正三角形，
中心角，
∵点O是内接正三角形ABC的内心，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；

（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是内接正方形，
中心角，
同（1）的方法可证：；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是内接正五边形，
中心角，
同（1）的方法可证：，
故答案为：，；
（3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是，
的度数与正方形边数的关系是，
的度数与正五边形边数的关系是，
归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是，
故答案为：．
【点拨】本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题关键．
类型四、由正多边形中心角求边数
4．如图，正方形内接于，为上的一点，连接，．

（1）求的度数；
（2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值．
【答案】（1）45°；（2）8
【分析】
(1)连接，，由正方形内接于，可求中心角．．
(2)连接，，由正方形内接于，可求．由点为的中点，可求,可得，利用周角除以一个中心角即可求解
解：（1）连接，，
∵正方形内接于，
∴．
∴；
（2）连接，，
∵正方形内接于，
∴．
∵点为的中点，
∴，
∴∠COP=∠BOP，
∵∠COP+∠BOP=∠COB=90°，
∴，
∴．
【点拨】本题考查圆内接正方形的性质，圆周角定理，圆内接正n边形的中心角，掌握圆内接正方形的性质，圆周角定理，圆内接正n边形的中心角，利用周角除以正n边形的中心角求边数是解题关键．
【变式】【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．
【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．
【答案】【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6
【分析】类比探究：通过证明可得，则
． 拓展应用：通过证明可得，则
．
解：类比探究：如图2，
∵为正方形的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴．
拓展应用：如图3，
∵为正六边形EF的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴．
∵四边形面积为，
∴正六边形的面积为6．
【点拨】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．
类型五、正多边形和圆
5.如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．

求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．
【答案】(1)证明见分析(2)
【分析】
（1）如图，连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到结论；
（2）如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根据勾股定理得到OGr，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
(1)证明：如图，连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴EF＝ED＝CD＝BC，
∴，
∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，
∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；
(2)解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，
设⊙O的半径为r，

∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，
∴∠EOG＝30°，
∴EGr，
∴OGr，
∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2，
∵⊙O的面积＝πr2，
∴．
【点拨】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式1】如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．

【答案】
【分析】连接OB，OG⊥CB于G，证明△COB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形＝6S△OBC求得答案．
解：如下图所示，连接OB，设OG⊥CB于G，

∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠COB＝60°，OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC＝OB＝6cm，
即⊙O的半径R＝6cm，
∵OC＝OB＝6，OG⊥CB，
∴，
在Rt△COG中，（cm），
∴（cm2）．
【点拨】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是掌握正六边形的相关知识．
【变式2】如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，求正方形ABCD的边长和边心距．

【答案】边长为，边心距为
【分析】过点O作OE⊥BC，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出∠BOC=90°，∠OBC=45°，然后在Rt△OBE中，根据勾股定理求出OE、BE即可．
解：过点O作OE⊥BC，垂足为E，

∵正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，
∴∠BOC==90°，∠OBC=45°，OB=OC=6，
∴BE=OE．
在Rt△OBE中，∠BEO=90°，由勾股定理可得
∵OE2+BE2=OB2,
∴OE2+BE2=36,
∴OE= BE=，
∴BC=2BE=，
即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形每个中心角都等于．
类型六、尺规作图-正多边形
6．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法）
【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形．
解：如图，正方形ABCD为所作．
∵BD垂直平分AC，AC为的直径，
∴BD为的直径，
∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，
∴四边形ABCD是的内接正方形．

【点拨】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．
【变式1】如图所示的是以O为圆心的圆，上有一点A，请用尺规作图法，求作的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】直接作出直径AC，再过点O作AC的垂线，进而得出答案；
解：如图所示：正方形ABCD即为所求；
【点拨】此题主要考查了圆内接正方形的作图，正确掌握正方形的性质是解题关键．
【变式2】已知：射线
求作：，使得点在射线上，，．
作法：如图，①在射线上取一点，以为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点；②以为圆心，为半径作弧，在射线上方交⊙于点；③连接，．则即为所求的三角形．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
∵ 为⊙的直径，
∴__________．
∵，
∴等边三角形．
∴．
∵点，都在⊙上，
∴．（ ）（填推理的依据）
∴．
即为所求的三角形．
【答案】（1）见分析；（2）90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【分析】
（1）以点C为圆心，OC长为半径画弧线，交圆于一点即为点D，连接AD，补全图形即可；
（2）证明：连接．由为⊙的直径，得到90．证明等边三角形，得到，由此得到即为所求的三角形．
解：（1）补全的图形如图所示：

（2）证明：连接．
∵ 为⊙的直径，
∴90．
∵，
∴等边三角形．
∴．
∵点，都在⊙上，
∴．（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）（填推理的依据）
∴．
即为所求的三角形．
故答案为：90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
．
【点拨】此题考查尺规作图，等边三角形的判定及性质，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，熟记各定理是解题的关键．