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【精品奥数】五年级上册数学思维训练讲义-第十四讲 组合图形的面积（一） 人教版（含答案）
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这是一份【精品奥数】五年级上册数学思维训练讲义-第十四讲 组合图形的面积（一） 人教版（含答案），共6页。试卷主要包含了知识要点，精讲精练等内容，欢迎下载使用。
等腰三角形面积
今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？
赏析：圭田就是等腰三角形。最早的文字记载见于《九章算术》“方田”章。“圭田术曰：半广以乘正从。”也就是说，三角形的面积等于高与底边边长乘积的一半。刘徽注称：“半广者，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。”即如图根据“出入相补”原理、采用“以盈补虚”的方法将三角形化为与之等积的长方形，再利用“方田术”计算其面积。
解答：根据三角形的面积 =底×高÷2得出：
12×21÷2
=252÷2
=126（步）
可见我们的古人与我们现在研究平面图形面积的方法类似，都是利用转化思想，把三角形和梯形转化成我们熟悉的长方形再进行面积计算。不同的是《九章算术》中记载的是特殊的三角形即直角三角形，特殊的梯形即直角梯形，今天我们已在此基础上把它们推广到了普通的三角形与梯形。
第二部分：奥数小练
一、知识要点
在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点：
1.两个三角形等底、等高，其面积相等；
2.两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；
3.两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。
二、精讲精练
【例题1】 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）
【思路导航】按照一般解法，首先要求出梯形的面积，然后减去空白部分的面积即得所求面积。其实，只要连接AC，显然三角形AEC与三角形DEC同底等高其面积相等，这样，我们把两个阴影部分合成了一个三角形ABC。面积是：6×3÷2=9平方厘米。
练习一：
1.求下图（1）中阴影部分的面积。
2.求图（2）中阴影部分的面积。（单位：厘米）
3.下图（3）的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。
图（1） 图（2） 图（3）
【例题2】 下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）的面积。
【思路导航】三角形ADC的面积是10×15÷2=75，而三角形ABC的高是三角形BCD高的15÷10=1.5倍，它们都以BC为边为底，所以，三角形ABC的面积是三角形BCD的1.5倍。阴影部分的面积是：7.5÷（1＋1.5）×1.5=45。
练习二：
1.下图（1）中，三角形ABC的面积是36平方厘米，三角形ABE与三角形AEC的面积相等，如果AB=9厘米，FB=FE，求三角形AFE的面积。
图（1） 图（2） 图（3）
2.图（2）中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
3.图（3）中三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求阴影部分的面积（ADFC不是正方形）。
【例题3】 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
【思路导航】1.因为三角形ABD与三角形ACD等底等高，所以面积相等。因此，三角形ABO的面积和三角形DOC的面积相等，也是6平方厘米。
2.因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的2倍，所以BO的长度是OD的2倍，即三角形ABO的面积也是三角形AOD的2倍。所以，三角形AOD的面积是6÷2=3平方厘米。
练习三：
1.如下图，图（1）中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
2.下图（2）的梯形ABCD中，下底是上底的2倍，E是AB的中点。那么梯形ABCD的面积是三角形BDE面积的多少倍？
3.下图（3）梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？
图（1） 图（2） 图（3）
【例题4】 在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
【思路导航】（1）因为CE=3AE，所以，三角形ADC的面积是三角形ADE面积的4倍，是20×（1＋3）=80平方厘米；
（2）又因为DC=2BD，所以，三角形ABD的面积是三角形ADC面积的一半，是80÷2=40平方厘米。因此，三角形ABC的面积是80＋40=120平方厘米。
练习四：
1.把下图（1）三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“＞”、“＜”或“=”。
甲的面积（ ）乙的面积。
2.如图（2），在三角形ABC中，D是BC的中点，E、F是AC的三等分点。已知三角形的面积是108平方厘米，求三角形CDE的面积。
3.下图（3）中，BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2厘米，F是AE的中点，三角形ABC的BC边上的高是4厘米，阴影面积是多少平方厘米？
图（1） 图（2） 图（3）
【例题5】 边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的正三角形面积的多少倍？
【思路导航】题中的已知条件不能计算出两种三角形的面积，我们可以用边长是3厘米的正三角形拼一个边长是9厘米的正三角形，从而看出它们之间的倍数关系。从下图中可以看出：边长9厘米的正三角形是边长3厘米的正三角形面积的9倍。
练习五：
1.边长是8厘米的正三角形的面积是边长为2厘米的正三角形面积的多少倍？
2.一个梯形与一个三角形等高，梯形下底的长是上底的2倍，梯形上底的长又是三角形底长的2倍。这个梯形的面积是三角形面积的多少倍？
3.有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面积是36平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？
第三部分：数学史话
计算田地面积
求面积的方法，最初很可能是工匠在铺设方砖地面的时候学会的。他们发现：一块地面，如果是三砖长、三砖宽，需要铺九块砖（3×3）；另一块地面，三砖长、五转宽，就需要铺十五块砖（3×5）。这样，计算正方形和长方形的面积，只需用长乘以宽就行了。但是问题在于，不是所有的土地都是正方形或者长方形。有些土地，好像哪儿都是边，哪儿都有角，形状很不规则，把它们分成若干个三角形倒是方便的。在兰德纸草中有19个关于土地面积和谷仓容积的计算问题，表明当时的埃及人已经会正确计算矩形、三角形和梯形的面积。
参考答案：
练习一：
1.125平方厘米
2.560平方厘米
3.3871平方米
练习二：
1.10平方厘米
2.30平方厘米
3.48平方厘米
练习三：
1.18平方厘米
2.3倍
3.20平方厘米
练习四：
1.=
2.18平方厘米
3.4平方厘米
练习五：
1.16倍
2.6倍
第一个正方形的面积：18平方厘米
第一个正方形的面积：16平方厘米
等腰三角形面积
今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？
赏析：圭田就是等腰三角形。最早的文字记载见于《九章算术》“方田”章。“圭田术曰：半广以乘正从。”也就是说，三角形的面积等于高与底边边长乘积的一半。刘徽注称：“半广者，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。”即如图根据“出入相补”原理、采用“以盈补虚”的方法将三角形化为与之等积的长方形，再利用“方田术”计算其面积。
解答：根据三角形的面积 =底×高÷2得出：
12×21÷2
=252÷2
=126（步）
可见我们的古人与我们现在研究平面图形面积的方法类似，都是利用转化思想，把三角形和梯形转化成我们熟悉的长方形再进行面积计算。不同的是《九章算术》中记载的是特殊的三角形即直角三角形，特殊的梯形即直角梯形，今天我们已在此基础上把它们推广到了普通的三角形与梯形。
第二部分：奥数小练
一、知识要点
在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点：
1.两个三角形等底、等高，其面积相等；
2.两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；
3.两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。
二、精讲精练
【例题1】 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）
【思路导航】按照一般解法，首先要求出梯形的面积，然后减去空白部分的面积即得所求面积。其实，只要连接AC，显然三角形AEC与三角形DEC同底等高其面积相等，这样，我们把两个阴影部分合成了一个三角形ABC。面积是：6×3÷2=9平方厘米。
练习一：
1.求下图（1）中阴影部分的面积。
2.求图（2）中阴影部分的面积。（单位：厘米）
3.下图（3）的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。
图（1） 图（2） 图（3）
【例题2】 下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）的面积。
【思路导航】三角形ADC的面积是10×15÷2=75，而三角形ABC的高是三角形BCD高的15÷10=1.5倍，它们都以BC为边为底，所以，三角形ABC的面积是三角形BCD的1.5倍。阴影部分的面积是：7.5÷（1＋1.5）×1.5=45。
练习二：
1.下图（1）中，三角形ABC的面积是36平方厘米，三角形ABE与三角形AEC的面积相等，如果AB=9厘米，FB=FE，求三角形AFE的面积。
图（1） 图（2） 图（3）
2.图（2）中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
3.图（3）中三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求阴影部分的面积（ADFC不是正方形）。
【例题3】 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）
【思路导航】1.因为三角形ABD与三角形ACD等底等高，所以面积相等。因此，三角形ABO的面积和三角形DOC的面积相等，也是6平方厘米。
2.因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的2倍，所以BO的长度是OD的2倍，即三角形ABO的面积也是三角形AOD的2倍。所以，三角形AOD的面积是6÷2=3平方厘米。
练习三：
1.如下图，图（1）中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
2.下图（2）的梯形ABCD中，下底是上底的2倍，E是AB的中点。那么梯形ABCD的面积是三角形BDE面积的多少倍？
3.下图（3）梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？
图（1） 图（2） 图（3）
【例题4】 在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
【思路导航】（1）因为CE=3AE，所以，三角形ADC的面积是三角形ADE面积的4倍，是20×（1＋3）=80平方厘米；
（2）又因为DC=2BD，所以，三角形ABD的面积是三角形ADC面积的一半，是80÷2=40平方厘米。因此，三角形ABC的面积是80＋40=120平方厘米。
练习四：
1.把下图（1）三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“＞”、“＜”或“=”。
甲的面积（ ）乙的面积。
2.如图（2），在三角形ABC中，D是BC的中点，E、F是AC的三等分点。已知三角形的面积是108平方厘米，求三角形CDE的面积。
3.下图（3）中，BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2厘米，F是AE的中点，三角形ABC的BC边上的高是4厘米，阴影面积是多少平方厘米？
图（1） 图（2） 图（3）
【例题5】 边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的正三角形面积的多少倍？
【思路导航】题中的已知条件不能计算出两种三角形的面积，我们可以用边长是3厘米的正三角形拼一个边长是9厘米的正三角形，从而看出它们之间的倍数关系。从下图中可以看出：边长9厘米的正三角形是边长3厘米的正三角形面积的9倍。
练习五：
1.边长是8厘米的正三角形的面积是边长为2厘米的正三角形面积的多少倍？
2.一个梯形与一个三角形等高，梯形下底的长是上底的2倍，梯形上底的长又是三角形底长的2倍。这个梯形的面积是三角形面积的多少倍？
3.有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面积是36平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？
第三部分：数学史话
计算田地面积
求面积的方法，最初很可能是工匠在铺设方砖地面的时候学会的。他们发现：一块地面，如果是三砖长、三砖宽，需要铺九块砖（3×3）；另一块地面，三砖长、五转宽，就需要铺十五块砖（3×5）。这样，计算正方形和长方形的面积，只需用长乘以宽就行了。但是问题在于，不是所有的土地都是正方形或者长方形。有些土地，好像哪儿都是边，哪儿都有角，形状很不规则，把它们分成若干个三角形倒是方便的。在兰德纸草中有19个关于土地面积和谷仓容积的计算问题，表明当时的埃及人已经会正确计算矩形、三角形和梯形的面积。
参考答案：
练习一：
1.125平方厘米
2.560平方厘米
3.3871平方米
练习二：
1.10平方厘米
2.30平方厘米
3.48平方厘米
练习三：
1.18平方厘米
2.3倍
3.20平方厘米
练习四：
1.=
2.18平方厘米
3.4平方厘米
练习五：
1.16倍
2.6倍
第一个正方形的面积：18平方厘米
第一个正方形的面积：16平方厘米
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