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2023-2024学年河北省保定市第一中学高一上学期第一次阶段考试数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年河北省保定市第一中学高一上学期第一次阶段考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】由题意，，所以.
故选：D
2．命题“，”的否定为（ ）
A．B．
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题“，”为存在量词命题，
其否定为：，.
故选：C
3．已知， ， 则是的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充要也不必要条件
【答案】A
【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】因为，所以，是的充分而不必要条件.
故选：A.
4．已知集合满足，则集合的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】利用列举法，求得集合的所有可能，由此确定正确选项.
【详解】由于集合满足，所以集合的可能取值为，共种可能.
故选：B
【点睛】本小题主要考查子集和真子集的概念，属于基础题.
5．下列图象中，表示定义域、值域均为的函数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念辨析求解.
【详解】对于图1，由函数图象可知函数的值域不是，故图1不满足；
对于图2，由函数图象可知函数的定义域不是，故图2不满足；
对于图3，由函数图象可知函数的定义域和值域为，故图3满足；
对于图4，不是函数图象，故图4不满足.
故选:A.
6．一元二次不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】.
故选：A
7．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数的定义域，可得，求出的范围，即可得到函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A.
8．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.
所以，即实数a的最小值为.
故选：D.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，可得，所以，所以A正确；
对于B中，若，，
则，
所以，所以B不正确；
对于C中，若，则，
所以C正确；
对于D中，若，则，
所以D正确．
故选：ACD.
10．下列说法中，错误的是（ ）
A．“x，y中至少有一个小于零”是“”的充要条件
B．已知，则“”是“且”的充要条件
C．“”是“或”的充要条件
D．若集合A是全集U的子集，则
【答案】AC
【分析】利用举特例及推理的方式逐一分析各选项即可判断作答.
【详解】对于A，当，时，满足x，y中至少有一个小于零，但无法推出，A说法错误；
对于B，若，则；若，则，即“”是“且”的充要条件，B说法正确；
对于C，当时，满足或，但此时，即无法推出，C说法错误；
对于D，若集合是全集的子集，则，即命题“”与“”是等价命题，D说法正确.
故选：AC
11．下列选项中的函数是同一个函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据相等函数的定义，定义域相同且解析式一致即可判断；
【详解】解：对于A：定义域为，定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；
对于B：，两函数的定义域相同均为，且解析式一致，故是同一函数，故B正确；
对于C：定义域为，定义域为，两函数的定义域相同且解析式一致，故是同一函数，故C正确；
对于D：定义域为，但是
定义域为，两函数虽然定义域相同，但是解析式不一致，故不是同一函数，故D错误；
故选：BC
12．用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，，若，则实数的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】先分析，又由，分析易得或3，即方程有1个根或3个根，分析方程的根的情况，可得可取的值，即可得答案．
【详解】根据题意，已知，，则，
又由，则或3，
即方程有1个根或3个根；
若，则必有或，
若，则或，
当时，，，符合题意；
当时，对应的根为0和；
故①需有两等根且根不为0和，
当△时，，
，此时，，，，符合题意；
，此时，，，，符合题意；
②当是的根时，解得；
，此时，，，，符合题意；
，此时，1，，，符合题意；
综合可得：可取的值为0，，，
故选：ABD
【点睛】本题考查集合的表示方法，关键是依据的意义，分析集合B中元素的个数，进而分析方程的根的情况．
三、填空题
13．函数的零点为 .
【答案】和
【分析】解方程，即可得出函数的零点.
【详解】令，得，解得或.
因此，函数的零点为和.
故答案为和.
【点睛】本题考查函数零点的求解，熟悉函数零点的定义是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
14．已知，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可得到结果
【详解】解：因为，所以，
由于，，所以，
所以的取值范围是
故答案为：
15．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由函数定义域为，分类讨论是否为0，即可得到实数的取值范围.
【详解】解：由题意，
在中，定义域为，
当时，，符合题意；
当时，
，
解得：，
综上，.
故答案为：.
16．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】先根据分式不等式求出，设条件对应的集合为，条件对应的集合为，由p是q的充分条件，可得，进而可得出答案.
【详解】由，得，解得，
设，
因为p是q的充分条件，所以，
所以，解得，
所以实数k的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合或或，全集.
(1)求，，；
(2)求.
【答案】(1),或，
(2)，
【分析】对集合分别求出其补集，再根据题意进行集合间的基本运算从而可求得结果.
【详解】（1），或，
，或，;
（2），则，
，或，
.
18．已知函数的定义域为集合.
（1）集合;
（2）若集合,求并写出它的所有子集.
【答案】（1）（2），，，，.
【分析】（1）因为,函数定义域应满足:,即可求得答案;
（2）化简,根据交集定义,即可求得答案;
【详解】（1）
函数定义域应满足:,
解得:
函数的定义域.
（2）化简
又由（1）得
,
的子集为:,,,.
【点睛】本题主要考查了求函数定义域和求集合的子集,解题关键是掌握常见函数定义域的求法和子集定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
19．已知集合，.
(1)若“命题：，”是真命题，求的取值范围.
(2)“命题：，”是假命题，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题是真命题得，再根据集合关系求解即可；
（2）由命题是假命题得，再分和两种情况讨论，从而可得答案.
【详解】（1）解：因为命题是真命题，所以，
当时，，解得，
当时，则，解得，
综上m的取值范围为；
（2）解：因为“命题：，”是假命题，所以，
当时，，解得，
当时，则或，解得，
综上的取值范围为.
五、应用题
20．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元
【分析】（1）根据题意列方程即可.
（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.
【详解】（1）由题意知，当时，（万件），
则，解得，∴．
所以每件产品的销售价格为（元），
∴2020年的利润．
（2）∵当时，，
∴，
当且仅当即时等号成立．
∴，
即万元时，（万元）．
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
六、解答题
21．（1）求函数的最小值；
（2）若正数x，y满足，求的最小值；
（3）解关于x的不等式.
【答案】（1）；（2）5；（3）答案见解析.
【分析】（1）利用配凑法，结合基本不等式求出函数最小值即得.
（2）变形给定等式，再利用基本不等式中“1”的妙用求解即得.
（3）解含参数的一元二次不等式即可.
【详解】（1）当时，，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，函数取得最小值.
（2）由，，得，
于是，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值5.
（3），不等式，
当，即时，原不等式恒成立，
当或时，解得或，
所以当时，原不等式的解集为R；
当或时，原不等式的解集为.
22．已知二次函数（为实数）
(1)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；
(3)对，时，恒成立，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）依题意可得，即对，恒成立，参变分离可得对恒成立，令，则，再利用基本不等式计算可得；
（2）依题意可得对恒成立，即对恒成立，结合一次函数的性质得到不等式组，解得即可；
（3）依题意可得，即可得到，从而，再利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）时，，即，
，恒成立，即恒成立，恒成立，
，对恒成立，．
令，则，
则，
当且仅当，即，此时时取，
所以实数的取值范围时．
（2）时，，即，
，恒成立，即对恒成立，
对恒成立．
，，
所以实数的取值范围是．
（3）对，时，恒成立，，则．
，当且仅当且，即时取等号，
所以最小值是．
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据交集的知识求得正确答案.
【详解】由题意，，所以.
故选：D
2．命题“，”的否定为（ ）
A．B．
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题“，”为存在量词命题，
其否定为：，.
故选：C
3．已知， ， 则是的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充要也不必要条件
【答案】A
【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】因为，所以，是的充分而不必要条件.
故选：A.
4．已知集合满足，则集合的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】利用列举法，求得集合的所有可能，由此确定正确选项.
【详解】由于集合满足，所以集合的可能取值为，共种可能.
故选：B
【点睛】本小题主要考查子集和真子集的概念，属于基础题.
5．下列图象中，表示定义域、值域均为的函数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念辨析求解.
【详解】对于图1，由函数图象可知函数的值域不是，故图1不满足；
对于图2，由函数图象可知函数的定义域不是，故图2不满足；
对于图3，由函数图象可知函数的定义域和值域为，故图3满足；
对于图4，不是函数图象，故图4不满足.
故选:A.
6．一元二次不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】.
故选：A
7．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数的定义域，可得，求出的范围，即可得到函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A.
8．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.
【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.
所以，即实数a的最小值为.
故选：D.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，可得，所以，所以A正确；
对于B中，若，，
则，
所以，所以B不正确；
对于C中，若，则，
所以C正确；
对于D中，若，则，
所以D正确．
故选：ACD.
10．下列说法中，错误的是（ ）
A．“x，y中至少有一个小于零”是“”的充要条件
B．已知，则“”是“且”的充要条件
C．“”是“或”的充要条件
D．若集合A是全集U的子集，则
【答案】AC
【分析】利用举特例及推理的方式逐一分析各选项即可判断作答.
【详解】对于A，当，时，满足x，y中至少有一个小于零，但无法推出，A说法错误；
对于B，若，则；若，则，即“”是“且”的充要条件，B说法正确；
对于C，当时，满足或，但此时，即无法推出，C说法错误；
对于D，若集合是全集的子集，则，即命题“”与“”是等价命题，D说法正确.
故选：AC
11．下列选项中的函数是同一个函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据相等函数的定义，定义域相同且解析式一致即可判断；
【详解】解：对于A：定义域为，定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；
对于B：，两函数的定义域相同均为，且解析式一致，故是同一函数，故B正确；
对于C：定义域为，定义域为，两函数的定义域相同且解析式一致，故是同一函数，故C正确；
对于D：定义域为，但是
定义域为，两函数虽然定义域相同，但是解析式不一致，故不是同一函数，故D错误；
故选：BC
12．用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，，若，则实数的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】先分析，又由，分析易得或3，即方程有1个根或3个根，分析方程的根的情况，可得可取的值，即可得答案．
【详解】根据题意，已知，，则，
又由，则或3，
即方程有1个根或3个根；
若，则必有或，
若，则或，
当时，，，符合题意；
当时，对应的根为0和；
故①需有两等根且根不为0和，
当△时，，
，此时，，，，符合题意；
，此时，，，，符合题意；
②当是的根时，解得；
，此时，，，，符合题意；
，此时，1，，，符合题意；
综合可得：可取的值为0，，，
故选：ABD
【点睛】本题考查集合的表示方法，关键是依据的意义，分析集合B中元素的个数，进而分析方程的根的情况．
三、填空题
13．函数的零点为 .
【答案】和
【分析】解方程，即可得出函数的零点.
【详解】令，得，解得或.
因此，函数的零点为和.
故答案为和.
【点睛】本题考查函数零点的求解，熟悉函数零点的定义是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
14．已知，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可得到结果
【详解】解：因为，所以，
由于，，所以，
所以的取值范围是
故答案为：
15．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由函数定义域为，分类讨论是否为0，即可得到实数的取值范围.
【详解】解：由题意，
在中，定义域为，
当时，，符合题意；
当时，
，
解得：，
综上，.
故答案为：.
16．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】先根据分式不等式求出，设条件对应的集合为，条件对应的集合为，由p是q的充分条件，可得，进而可得出答案.
【详解】由，得，解得，
设，
因为p是q的充分条件，所以，
所以，解得，
所以实数k的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合或或，全集.
(1)求，，；
(2)求.
【答案】(1),或，
(2)，
【分析】对集合分别求出其补集，再根据题意进行集合间的基本运算从而可求得结果.
【详解】（1），或，
，或，;
（2），则，
，或，
.
18．已知函数的定义域为集合.
（1）集合;
（2）若集合,求并写出它的所有子集.
【答案】（1）（2），，，，.
【分析】（1）因为,函数定义域应满足:,即可求得答案;
（2）化简,根据交集定义,即可求得答案;
【详解】（1）
函数定义域应满足:,
解得:
函数的定义域.
（2）化简
又由（1）得
,
的子集为:,,,.
【点睛】本题主要考查了求函数定义域和求集合的子集,解题关键是掌握常见函数定义域的求法和子集定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
19．已知集合，.
(1)若“命题：，”是真命题，求的取值范围.
(2)“命题：，”是假命题，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由命题是真命题得，再根据集合关系求解即可；
（2）由命题是假命题得，再分和两种情况讨论，从而可得答案.
【详解】（1）解：因为命题是真命题，所以，
当时，，解得，
当时，则，解得，
综上m的取值范围为；
（2）解：因为“命题：，”是假命题，所以，
当时，，解得，
当时，则或，解得，
综上的取值范围为.
五、应用题
20．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元
【分析】（1）根据题意列方程即可.
（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.
【详解】（1）由题意知，当时，（万件），
则，解得，∴．
所以每件产品的销售价格为（元），
∴2020年的利润．
（2）∵当时，，
∴，
当且仅当即时等号成立．
∴，
即万元时，（万元）．
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
六、解答题
21．（1）求函数的最小值；
（2）若正数x，y满足，求的最小值；
（3）解关于x的不等式.
【答案】（1）；（2）5；（3）答案见解析.
【分析】（1）利用配凑法，结合基本不等式求出函数最小值即得.
（2）变形给定等式，再利用基本不等式中“1”的妙用求解即得.
（3）解含参数的一元二次不等式即可.
【详解】（1）当时，，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，函数取得最小值.
（2）由，，得，
于是，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值5.
（3），不等式，
当，即时，原不等式恒成立，
当或时，解得或，
所以当时，原不等式的解集为R；
当或时，原不等式的解集为.
22．已知二次函数（为实数）
(1)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；
(3)对，时，恒成立，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）依题意可得，即对，恒成立，参变分离可得对恒成立，令，则，再利用基本不等式计算可得；
（2）依题意可得对恒成立，即对恒成立，结合一次函数的性质得到不等式组，解得即可；
（3）依题意可得，即可得到，从而，再利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）时，，即，
，恒成立，即恒成立，恒成立，
，对恒成立，．
令，则，
则，
当且仅当，即，此时时取，
所以实数的取值范围时．
（2）时，，即，
，恒成立，即对恒成立，
对恒成立．
，，
所以实数的取值范围是．
（3）对，时，恒成立，，则．
，当且仅当且，即时取等号，
所以最小值是．
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