浙教版九年级下册2.2 切线长定理精品巩固练习

这是一份浙教版九年级下册2.2 切线长定理精品巩固练习，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在△MBC中，∠B=90∘，∠C=60∘，MB=2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
2.如图，扇形OAB的圆心角为90°，点C，D是弧AB的三等分点，半径OC，OD分别与弦AB交于点E，F，下列说法错误的是( )
A. AE=EF=FBB. AC=CD=DB
C. EC=FDD. ∠DFB=75°
3.图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是 ( )
A. 甲先到B点B. 乙先到B点C. 甲、乙同时到B D. 无法确定
4.下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
5.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为
( )
A. 133
B. 92
C. 4313
D. 25
6.如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，使BD=OB，连接AD，若∠DAC=78°，则∠ADO=( )
A. 70°
B. 64°
C. 62°
D. 51°
7.如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长为( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
8.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D.若△PCD的周长为30，则PA的长为( )
A. 12B. 15C. 20D. 30
9.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线，交BC于点M，切点为N，则DM的长为( )
A. 133B. 92C. 4 133D. 2 5
10.以正方形ABCD的边AB为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE的周长为( )
A. 12B. 13C. 14D. 15
11.如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，C是AB上一点，过点C的切线分别交PA，PB于点M，N，若⊙O的半径为2，∠P=60∘，则△PMN的周长为
( )
A. 4B. 6C. 4 3D. 6 3
12.如图，一个菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿此菱形的四边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，这个圆共转了( )
A. 6圈
B. 5圈
C. 4.5圈
D. 4圈
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为 ．
14.如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC=118°，则∠AOD= ．
15.如图，菱形ABCD的边长为10，⊙O分别与AB、AD相切于E、F两点，且与BG相切于点G.若AO=5，且⊙O的半径为3，则BG的长为 ．
16.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E.若PO=13，AO=5，则△PCD的周长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB //CD，OB=6cm，OC=8cm.求：
(1)∠BOC的度数；
(2)BE+CG的长；
(3)⊙O的半径．
18.(本小题8.0分)
如图，AB、CD分别与半圆O切于点A、D，BC切⊙O于点E.若AB=4，CD=9，求⊙O的半径．
19.(本小题8.0分)
如图所示，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，求△ADE的面积．
20.(本小题8.0分)
如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P=60∘，PB=2cm．
(1)求证：△PAB是等边三角形．
(2)求AC的长．
21.(本小题8.0分)
如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的两条切线，A和B为切点，BC为直径．
(1)求证：AC//OP;
(2)若AC=2，cs∠C=13，求BC及PA的长．
22.(本小题8.0分)
如图，已知正方形ABCD的边长为3，以边AB为直径作⊙O，过点C作⊙O的切线交AD于点F，切点为E，连接BE，求△CDF的面积．
23.(本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，PA=PC．
(1)求证：CB//PO．
(2)若AB= 10，CB= 6，求PC的长．
24.(本小题8.0分)
已知矩形ABCD，AB=3，AD=6 3，点O是AD的中点，以AD为直径作圆，点A′是圆上的点．
(1)如图1，连接A′B，若A′B是圆O的切线，
①求证：AB=A′B;
②设A′O与BC交于点F，求OF的长．(2)若动点G从点B向C运动，连接OG，作四边形AOGB关于直线GO对称图形四边形A′OGB′，如图2.求点G在运动过程中线段A′B′扫过的面积．
25.(本小题8.0分)
如图，Rt△ABC中∠BCA= 90°，AE2=AD×AC，点D在AC边上，以CD为直径画⊙O与AB交于点E．
(1)求证AB是⊙O的切线；
(2)若AD=DO= 1，求BE的长度．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】略
2.【答案】A
【解析】解：∵点C，D是弧AB的三等分点，
∴AC=CD=DB
∴AC=CD=DB，∴选项B正确；
∵OA=OB，扇形OAB的圆心角为90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
由点C，D是弧AB的三等分点可知∠AOC=∠BOD=∠COD=30°，
∴∠OEF=∠OFE=45°+30°=75°，
∴OE=OF，
∵OC=OD，
∴OC−OE=OD−OF，即CE=DF，选项C正确；
在三角形DFB中，∠DFB=∠OFE=75°，故D正确；
在△AEO和△BFO中，AO=BO∠AOE=∠BOF=30°OE=OF,
∴△AEO≌△BFO(SAS)
∴AE=BF，
在△AOF中，∠AOC=∠COD=30°，若AO=OF，则AE=EF，而OA≠OF，
∴AE≠EF，
在△BOE中，∠BOD=∠COD=30°，若OB=OE，则BF=EF，而OB≠OE
∴BF≠EF，
∴AE=BF≠EF，故选项A错误；
故选：A．
由圆心角、弧、弦的关系可得AC=CD=DB，从而判断选项B；由已知先证明OAB=∠OBA=45°，
由点C，D是弧AB的三等分点可知∠AOC=∠BOD=∠COD=30°，然后利用三角形外角性质得到∠OEF=∠OFE，从而得到OE=OF，结合OC=OD，推出CE=DF，进而判断选项C；利用对顶角可知∠DFB=∠OFE=75°判断选项D；证明△AEO≌△BFO可知AE=BF，然后证明AE≠EF，BF≠EF，即可判断选项A，从而得结论．
本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰直角三角形，等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，难度适中．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆的认识，主要掌握弧长的计算公式.甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该是12π(AA1+A1A2+A2A3+A3B)=12π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点．
【解答】
解：12π(AA1+A1A2+A2A3+A3B)=12π×AB，
因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，
因此两个同时到B点．
故选C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了圆的相关概念．
利用圆的相关概念分别进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，故原说法错误，不符合题意；
⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，
故正确的有3个，
故选B．
5.【答案】A
【解析】解：如图，连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，OE=OF=ON=OG，
∴四边形AFOE和四边形FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，BC是⊙O的切线，AD是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5−2−MN=3−MN，DM=3+MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴(3+NM)2=(3−NM)2+42，
∴NM=43，
∴DM=3+43=133．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】解：连接OA，
∵AB、AC为⊙O的切线，
∴∠BAO=∠CAO，OB⊥AB，
∵BD=OB，
∴AB垂直平分OD，
∴AO=AD，△AOD为等腰三角形，
∴∠BAO=∠BAD，
∴∠CAO=∠BAO=∠BAD，
∵∠DAC=∠BAD+∠BAO+∠CAO=78°，
∴3∠BAD=78°，
∴∠BAD=26°，
∴∠ADO=90°−∠BAD=90°−26°=64°．
故选：B．
先根据切线长定理，由AB、AC为⊙O的切线得到∠BAO=∠CAO，根据切线的性质得OB⊥AB，加上BD=OB，则可判断△AOD为等腰三角形，于是根据等腰三角形的性质得∠BAO=∠BAD，即∠CAO=∠BAO=∠BAD，然后利用∠DAC=∠BAD+∠BAO+∠CAO=78°可计算出∠BAD=26°，再利用∠ADO=90°−∠BAD求解．
本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了切线长定理．
7.【答案】D
【解析】略
8.【答案】B
【解析】略
9.【答案】A
【解析】连接OE，OF，ON，OG.由条件可知，四边形AFOE、四边形FBGO都是正方形，所以AF=BF=AE=BG=2，所以DE=因为DM是⊙O的切线，所以DN=DE=3，MN=MG，所以CM=5−2−MN=3−MN.在Rt△DMC中，由勾股定理，得DM2=CD2+CM2，即(3+MN)2=(3−MN)2+42，所以MN=43.所以DM=DN+MN=133．
10.【答案】C
【解析】设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a．∵CE与半圆O相切于点F，∴AE=EF，BC=CF．∵EF+FC+CD+ED=12，∴AE+ED+CD+BC=12．∵AD=CD=BC=AB，∴正方形ABCD的边长为4.在Rt△CDE中，ED2+CD2=CE2，即(4−x)2+42=(4+x)2，解得x=1．∵AE+EF+FC+BC+AB=14，∴直角梯形ABCE的周长为14．
11.【答案】C
【解析】略
12.【答案】B
【解析】解：∵菱形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等
∴圆在菱形的边上转了4圈
∵圆在菱形的四个顶点处共转了360°，
∴圆在菱形的四个顶点处共转1圈
∴回到原出发位置时，这个圆共转了5圈．
故选：B．
分别得出圆在菱形的四条边上和四个顶点处转的圈数，再相加即可．
本题考查了圆与菱形的相关知识，分别算出在菱形的边上和在顶点处转的圈数，是解题的关键．
13.【答案】3
【解析】∵EA、EC都是圆O的切线，
∴EC=EA.同理FC=FB，PA=PB，
∴△PEF的周长=PF+PE+EF=PF+PE+EA+FB=PA+PB=2PA=6，
∴PA=3．
14.【答案】62°
【解析】∵圆O是四边形ABCD的内切圆，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠BCD，∠3=12∠BAD，∠4=12∠ADC．
∵∠1+∠2=180°−∠BOC=180°−118°=62°，
∴∠ABC+∠BCD=2(∠1+∠2)=2×62°=124°，
∴∠BAD+∠ADC=360°−(∠ABC+∠BCD)=360°−124°=236°，
∴∠3+∠4=12(∠BAD+∠ADC)=12×236∘=118∘，∴∠AOD=180°−(∠3+∠4)=180°−118°=62°．
15.【答案】6
【解析】解：连接EO．∵⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB．∴∠AEO=90∘．
∴AE= AO2−OE2=4．
∵AB=10，∴BE=6．
∵BG与⊙O相切于点G，∴BG=BE=6．
16.【答案】24
【解析】略
17.【答案】解：(1)根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB // CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°；
(2)由(1)知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC= OB2+OC2=10cm，
∴BE+CG=BC=10cm．
(3)连接OF；
∵OF⊥BC，
∴OF=OB·OCBC=6×810=4.8cm．

【解析】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算．
(1)根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；
(2)由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；
(3)三角形面积公式即可求得OF的长．
18.【答案】因为AB、CD、BC分别与半圆O相切于点A、D、E，
所以AB=BE.CD=CE，所以BC=AB+CD．
作BF⊥DC于点F．
在Rt△BFC中，CF=9−4=5，BC=9+4=13，
由勾股定理，得BF=12．
易证四边形ABFD是矩形，
所以AD=BF=12，则⊙O的半径为6．

【解析】见答案
19.【答案】设DE=xcm，则CE=(4−x)cm.由题意易知CD，AE，AB均为⊙O的切线，∴EF=CE=(4−x)cm，AF=AB=4cm，∴AE=AF+EF=(8−x)cm.在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，即(8−x)2=42+x2，解得x=3．∴S△ADE=12AD⋅DE=12×4×3=6(cm2).
【解析】见答案
20.【答案】【小题1】
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA=PB，又∵∠P=60∘，∴△PAB是等边三角形．
【小题2】
∵△PAB是等边三角形，∴PB=AB=2cm，∠PBA=60∘，∵BC是直径，PB是⊙O的切线，∴∠CAB=90∘，∠PBC=90∘，∴∠ABC=30∘，∴tan∠ABC=ACAB= 33，∴AC=2× 33=2 33(cm)．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
21.【答案】解：(1)连接AB交OP于F．
∵PA，PB是圆的切线，
∴PA=PB，
∵OA=OB
∴PO垂直平分AB．
∴∠OFB=90°．
∵BC是直径，
∴∠CAB=90°．
∴∠CAB=∠OFB．
∴AC//OP；
(2)∵∠CAB=90°
∴csC=13=ACBC
∵AC=2
∴BC=6
∴OB=3
∵AC//OP
∴∠POB=∠C
∴cs∠POB=csC=OBOP=13
∴OP=9
∴PB= 92−32=6 2
∴PA=6 2
【解析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
(1)连接AB交OP于F，想办法证明∠OFB=∠CAB=90°即可解决问题．
(2)先求出BC，OB，再得出cs∠POB=csC=OBOP=13，求出PB，即可解答．
22.【答案】解：设AF=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴DA⊥AB，
∴AD是圆的切线，同理BC是圆的切线，
∵CF是⊙O的切线，E为切点，
∴EF=AF=x，CE=BC=3，
∴FD=3−x，
∴CF=CE+EF=3+x．
∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2=CD2+DF2，
即(3+x)2=32+(3−x)2，
解得x=34，
∴DF=3−x=94，
∴S△CDF=12×3×94=278．
【解析】本题考查了切线的判定和性质、正方形的性质、勾股定理的运用以及三角形的面积公式，题目的综合性很强，难度中等．
设AF=x，由切线长定理可得EF=AF=x，CE=BC=3，则FD=3−x，CF=CE+EF=3+x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答案．
23.【答案】(1)证明：连接OC，如下图：
在△AOP和△COP中
AO=COPO=POPA=PC,
∴△AOP≌△COP(SSS)，
∴∠AOP=∠COP．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC．
∵∠AOC=∠OCB+∠OBC
∴∠AOP=∠COP=∠OCB=∠OBC，
∴CB // PO；
(2)解：连接AC，如下图．
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°．
∵AB = 10，CB = 6，
∴AC= AB2−BC2= 102−62=8，
OA=12AB=5．
∵△AOP≌△COP(SSS)，CB// PO，
∴∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC．
∵∠ACB=∠PCO，
∴△ACB∽△PCO
∴BCOC=ACPC．
∴PC=OA⋅ACBC=5×86=203．

【解析】本题考查了切线和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理和相似三角形的性质，平行线的判定.作出辅助线是解答关键．
(1)连接OC，易得△AOP≌△COP(SSS)，进而得到∠AOP=∠COP，结合OC=OB得到∠OCB=∠OBC，利用三角形的外角性质得到
∠AOP=∠COP=∠OCB=∠OBC，再利用平行线的判定求解；
(2)连接AC，根据AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，用勾股定理求出AC，利用(1)结论和已知证明△ACB∽△PCO，再根据相似三角形的性质求出PC的长．
24.【答案】解：(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAB =90°，
∴AB与圆O相切，
∵A′B是圆O的切线，
∴AB=A′B；
②连接BO，
∵AB=A′B，OA =OA′，OB =OB，
∴△A′BO≌△ABO，
∴∠OAB=∠OA′B =90°，∠AOB=∠A′OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC//AD，
∴∠AOB=∠CBO，
∴∠CBO =∠A′OB，
∴FB=FO，
在Rt△A′BF中，A′F2+A′B2= BF2，
即(3 3−OF)2+32=FO2，
解得OF=2 3；
(2)点G在运动过程中线段A′B′扫过的面积是240360×(BO2−AO2)π=23×32π=6π．
【解析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，切线长定理，扇形的面积以及勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
(1)①根据切线长定理直接可以得到AB=A′B；
②连接BO，先证明△A′BO≌△ABO，得到∠OAB=∠OA′B =90°，∠AOB=∠A′OB，然后证明FB=FO，根据勾股定理得到OF=2 3；
(2)根据扇形的面积直接得到答案．
25.【答案】解：(1)连接OE，
∵AE2= AD×AC，
∴AEAD=ACAE，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEC，
∴∠AED=∠ACE，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠ACE=∠AED，
∵CD是直径，
∴∠DEC=90°=∠DEO+∠OEC=∠DEO+∠AED=∠AEO，
∴AB是⊙O的切线；
(2)∵∠BCA=90°，CD是直径，
∴BC是⊙O的切线，
∴BE=BC，
∵AE2= AD×AC，AD=OD=1，
∴AE= 3，
设BE=BC=x，则AB=x+ 3，
∵AC2+BC2=AB2，
∴x+ 32=x2+32，
∴x= 3，
∴BE= 3．
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理，圆的有关知识，证明△ADE∽△AEC是本题的关键．
(1)连接OE，先证△ADE∽△AEC，推出∠AED=∠ACE，再证出∠AEO=90°，即可解答;
(2)根据切线长定理得出BE=BC，求出AE，设BE=BC=x，则AB=x+ 3，根据勾股定理得出方程，求出x即可．