2024届北京市第八中学高三上学期10月练习数学试题含解析

这是一份2024届北京市第八中学高三上学期10月练习数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分析出阴影部分为和的子集，从而选出正确答案.
【详解】题图中的阴影部分是的子集，不属于集合S，故属于集合S的补集，即是的子集，则阴影部分所表示的集合是
故选：C
2．复数，则对应点在第几象限（ ）
A．四B．三C．二D．一
【答案】D
【分析】利用复数运算求出复数，再根据共轭复数及几何意义即可判断选择.
【详解】因为，
则，
则对应的点，位于第一象限.
故选：D.
3．已知命题，.若为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可得命题p的否定为真命题，即可由此求解.
【详解】为假命题，
，为真命题，
故恒成立，
在的最小值为，
∴.
故选：A.
4．在△ABC中，csC=，AC=4，BC=3，则csB=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.
【详解】在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
5．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
6．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出的产品个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】根据题意，设至少应抽出个产品，由题设条件建立不等式，由此能求出结果.
【详解】解：要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，设至少抽出个产品，
则基本事件总数为，要使这3个次品全部被抽出的基本事件个数为，
由题设知：，
所以，即，
分别把A，B，C，D代入，得C，D均满足不等式，
因为求的最小值，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查概率的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理的进行等价转化.
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点，，且.设，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】利用已知条件表示出向量，通过，求出k，然后求出即可.
【详解】由题意，可得，则，
又由，可得，
则，解得，
即，所以.
故选：B.
8．在中，“”是“为钝角三角形”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先由诱导公式将正弦化余弦，利用余弦函数的单调性得到角或角为钝角，再举反例说明必要性不成立即可.
【详解】∵，且B必为锐角，
可得或，即角或角为钝角；
反之，当，时，
，而=，所以不成立，
所以“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件，
故选.
【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查了三角形形状的判定，考查诱导公式及三角函数的单调性，属于综合题．
9．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【解析】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为、、、，根据题意得出等式与不等式，利用不等式的基本性质可得出、、、的大小关系，进而可得出结论.
【详解】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为、、、，则，，，.
由于同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，则，①
同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，则，②
乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和，则，③
②①得，
②①得，
由③得，，所以，.
即阅读量最大的是丙.
故选：C.
【点睛】本题考查推理案例的问题，关键是将语句之间的关系转化为等式与不等式关系，考查推理能力，属于基础题．
10．设，若存在实数满足，且，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先画出函数的图象，利用函数的性质可知，，并且代入化简，利用二次函数求取值范围.
【详解】函数的图象如图所示，
，，，
，，，
，
又因为，所以.
故选：A．
二、填空题
11．已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k= .
【答案】
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．已知数列的前项和为，则
【答案】
【分析】求得，由此求得正确答案.
【详解】，
所以.
故答案为：
13．已知，，则 .
【答案】/
【分析】先根据二倍角公式化简方程求出余弦值，再结合同角三角函数关系根据角的范围求出正弦值.
【详解】,
,
.
故答案为: .
14．已知函数，，A，B，C是这两个函数图象的交点，若是等腰三角形，则面积的最小值为 .
【答案】
【分析】利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积．
【详解】，，画出两函数图象，如下：
当为如图所示的三个相邻的交点时，面积最小，
其中，
过点作⊥于点，
故，，
所以；
故答案为：
三、双空题
15．已知向量序列：满足如下条件：，且．若，则 ；中第 项最小．
【答案】 9 3
【分析】由可得，根据条件计算即可得的值；根据数量积与模的关系将转化为关于的函数求何时取得最小值即可.
【详解】因为，所以
累加得，所以，
则；
,
易知当时取得最小值，此时.
故答案为：9；3.
四、解答题
16．已知函数，的部分图象如图所示.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)设点B是图象上的y轴右侧的第一个最高点，点A是图象与x轴交点，求点A和点B的坐标.
【答案】(1);
(2)，
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得，由周期公式求得最小正周期，由可解得单调递增区间；
（2）分别令，求得点A和点B的坐标.
【详解】（1）化简可得,
由周期公式可得.
∴函数的最小正周期为，
由可解得，
∴函数的单调递增区间为，;
（2）令得，，
因为点B是图象上的y轴右侧的第一个最高点，
所以令得，
令得，，
由图知点A是图象上的y轴右侧与x轴的第二个交点，
所以令得，
故，.
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，然后解决下列问题：
(1)求角B和的面积；
(2)求AC边上的高线BD的长.
条件①：，；
条件②：，；
条件③：，.
【答案】(1)选②：，.
(2)
【分析】（1）选②：由正弦定理及三角恒等变换得，代入面积公式求解.
（2）由面积公式求高线BD的长
【详解】（1）选②：由及正弦定理得，
，
所以，
即，
因为，所以 ，
又因为，所以.
又，，所以，即，
故存在且唯一，
所以，
综上：，.
下面说明条件①③不满足的理由：
条件①：因为，所以，
由正弦定理得，所以，
又因为，所以.
又，，由余弦定理得，
所以，即，此方程有两解，
故满足条件的有两解，所以①不满足.
条件③：由得，即，不成立，
所以满足条件的不存在，所以③不满足.
（2）由（1）得，
所以.
18．如图，在三棱柱中，，D是线段AC的中点，且平面ABC.
(1)求证：平面平面；
(2)求证：平面；
(3)若，，求三棱柱的表面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由平面证得平面平面；
（2）连接，设，连接，由证得平面；
（3）证得四边形为菱形，求得其面积，证得，求得，作于，证得，求得，从而求得三棱柱的表面积.
【详解】（1）因为，所以，
根据题意，平面平面，所以，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）
连接，设，连接，
根据棱柱的性质可知，为的中点，
因为是的中点，
所以，
又因为平面平面，
所以平面。
（3）由（1）可知，平面，平面，所以，
又因为，平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以四边形为菱形，边长为2，
又因为平面，平面，所以，
又D为中点，所以，
，
由已知，所以 ，
由（1）可知，平面，平面，所以，
所以，
如图，作于，连接，
因为，，
所以 ，
又因为平面，平面，
所以，，
所以，
又面，所以面，
又面，所以，
所以，
所以，
所以三棱柱的表面积为 .
19．2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价.具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）
已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．
(1)如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；
(2)从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求的分布列和数学期望；
(3)小李乘坐地铁从A地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为公里，试写出的取值范围．（只需写出结论）
【答案】(1)
(2)分布列见解析；
(3)
【分析】（1）由票价统计图求票价小于5元的人数．从而利用古典概型即可得解；
（2）根据题意求得的可能取值，再分别计算其概率，从而得解；
（3）分别计算花费5元乘坐公共电汽车与地铁的公里数，从而得解.
【详解】（1）记事件A为“此人乘坐地铁的票价小于5元”，
由统计图知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20，
所以票价小于5元的有（人)
故120人中票价小于5元的概率是
故估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率．
（2）的所有可能取值为6，7，8，9，10.
根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为，，，即，，，
以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为，，．
所以，，
，，
，
所以随机变量的分布列为：
所以.
（3）乘公共电汽车方案的里程：10公里内（含)2元，10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含)；
则，即；
乘坐地铁的里程：12公里至22公里（含)5元，则；
综上，．
20．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若对恒成立，求a的取值范围；
(3)若，证明：．
【答案】(1) 时单调递增， 时，单调递减；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求导，根据导数的符号确定单调区间；
（2）运用参数分离的方法，构造函数求导，计算函数最大值即可；
（3）作图，根据函数图像确定 的范围，再构造函数，利用函数的单调性证明.
【详解】（1） ，显然有 ，当 时， ，单调递增，
当 时， ，单调递减；
（2）由 得： ， ，
令 ，则有 ，令 ，
显然 是减函数， ， 当 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减；
，a的取值范围是 ；
（3）当 时， ，由（1）的结论作函数图像如下：
，
对于 ，得 ，不妨设 ，则有 ，
由图可知当 时，对应的自变量有2个值 ，其中 ，
要证明 ，只需 取 中较小的数 即可，
， ， ， ，
要证明 ，只需证明 ，在 时， 单调递增，
只需证明 ， ， 只需证明 ，
即 ，构造函数 ，
，
，
， 是增函数，又 当 时， ，
即，命题得证；
综上，（1）当 时，单调递增，当 时，单调递减；（2） .
【点睛】本题的难点是第三问，根据函数的图像确定和 的范围，再将原问题转化为函数的单调性问题.
21．有限数列：，，…，．（）同时满足下列两个条件：
①对于任意的，（），；
②对于任意的，，（），，，，三个数中至少有一个数是数列中的项．
(1)若，且，，，，求的值；
(2)证明：，，不可能是数列中的项；
(3)求的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用①推出的范围．利用②求解的值即可；
（2）利用反证法：假设，，是数列中的项，利用已知条件②①，推出得到矛盾结果．
（3）的最大值为，一、令：，则符合①②，二、设：，，…，（）符合①②，（i）中至多有三项，其绝对值大于．
利用反证法证明假设中至少有四项，其绝对值大于1，不正确；（ii）中至多有三项，其绝对值大于且小于．利用反证法推出矛盾结论、（iii）中至多有两项绝对值等于．（iv）中至多有一项等于．推出的最大值为．
【详解】（1）由①得：，
由②得：当，，时，，，中至少有一个是数列，，，中的项，但，，故，解得：，
经检验，当时，符合题意，
（2）假设，，是数列中的项，由②可知：，，中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且，
由①，，
对于数，，由②可知：，
对于数，，，由②可知：，
所以，这与①矛盾．
所以，，不可能是数列中的项．
（3）的最大值为，证明如下：
一、令：，则符合①②，
二、设：，，…，（）符合①②，则：
（i）中至多有三项，其绝对值大于．
假设中至少有四项，其绝对值大于，不妨设，，，是中绝对值最大的四项，其中，则对，，有，，故，均不是数列中的项，即是数列中的项，
同理：也是数列中的项．但，，
所以，所以，这与①矛盾．
（ii）中至多有三项，其绝对值大于且小于，
假设中至少有四项，其绝对值大于且小于，类似（i）得出矛盾，
（iii）中至多有两项绝对值等于．
（iv）中至多有一项等于0．
综合（i），（ii），（iii），（iv）可知中至多有项，
由一、二可得，的最大值为．
乘公共电汽车方案
10公里（含）内2元；
10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.
乘坐地铁方案（不含机场线）
6公里（含）内3元；
6公里至12公里（含）4元；
12公里至22公里（含）5元；
22公里至32公里（含）6元；
32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.
6
7
8
9
10