2023届北京市中关村中学高三上学期10月月考数学试题含解析

2023届北京市中关村中学高三上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，且，则可以是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用子集概念即可作出判断.

【详解】∵

∴

故选A

【点睛】本题考查了子集的概念，考查了元素与集合的关系，属于基础题.

2．下列函数中，图像关于坐标原点对称的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数，对数函数，三角函数，幂函数的解析式直接判断即可.

【详解】解：对于A选项，函数定义域为，不满足；

对于B选项，函数为偶函数，关于轴对称，不关于原点对称，不满足；

对于C选项，函数图像不关于原点对称，不满足；

对于D选项，定义域为，，是奇函数，故图像关于原点对称.

故选：D

3．如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．

【详解】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，所以 则； 故选：B．

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

4．记为等差数列的前项和，若，，则（    ）

A．36 B．45 C．63 D．75

【答案】B

【分析】由等差数列的前项和性质可得成等差数列，进而可得结果.

【详解】因为为等差数列的前项和，

所以成等差数列，即成等差数列，

所以，解得，

故选：B.

5．已知复数z＝a+i（a∈R），则下面结论正确的是（    ）

A．

B．|z|≥1

C．z一定不是纯虚数

D．在复平面上，z对应的点可能在第三象限

【答案】B

【分析】利用复数基本概念逐一核对四个选项得答案．

【详解】解：，，故错误；

，故正确；

当时，为纯虚数，故错误；

虚部为1大于0，在复平面上，对应的点不可能在第三象限，故错误．

故选：．

【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．

6．设是公比为的等比数列，且，则“对任意成立”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据等比数列的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

【详解】解：，因为，所以对任意成立，必有，

反过来，若，又因为，所以，＞1对任意成立，

所以是充分必要条件，

故选C

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用好等比数列的性质是解决本题的关键．

7．已知函数，那么下面结论正确的是（    ）

A．在上是减函数 B．在上是减函数

C． D．

【答案】B

【分析】利用导函数研究的单调性最值即可.

【详解】由题意得，因为，

所以当时，单调递增，当时，单调递减，

故在上是增函数，在上是减函数，A错误，B正确；

在处取得最大值，即，CD错误.

故选：B.

8．已知函数.若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意将存在实数，使得成立转化为有根，再根据方程变形可得，原问题转化为有根，进而转化为与的图象有交点，根据数形结合即可求出结果．

【详解】∵且，

整理得 ，

∴原问题转化为与的图象有交点， 画出的图象如下：

当时，，由图可知，． 故选：A．

【点睛】本题考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．

9．在中，，，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由已知，根据题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，分别表示出各点坐标，设出点坐标，利用坐标表示出，再根据，利用三角换元即可完成范围求解.

【详解】

由已知，以为坐标原点，分别以，为轴，轴的正方向，建立平面直角坐标系，则，，，

设，由可知，，

，，

所以，

因为，可令，

所以，

其中，

因为，

所以的取值范围为：.

故选：B.

10．按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（    ）（参考数据：，）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据题意可得，，两式相比结合对数式与指数式的互化及换底公式即可得出答案.

【详解】解：根据题意可得，，

两式相比得，即，

所以.

故选：B.

二、填空题

11．已知向量，，若，则实数t的值是___________.

【答案】

【分析】根据平行向量坐标公式即可求解参数．

【详解】因为，所以，解得t =-4 ．

故答案为：

12．能使命题“若，则为等腰三角形”为假命题的一组A，B的值是___________.

【答案】（不唯一）

【分析】根据题意得或，进而只需使得即可.

【详解】解：因为在中，，，

所以或，

所以或，

所以要使“若，则为等腰三角形”为假命题，则需.

所以的值可以是：，此时满足，但不为等腰三角形

故答案为：

13．北京2022年冬奥会将于2022年2月4日开幕.某社区为了宣传冬奥会，决定在办公楼外墙建一个面积为8的矩形展示区，并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏（如图所示）.要求上下各空0.25，左右各空0.25，相邻宣传栏之间也空0.25.设三个宣传栏的面积之和为S（单位：），则S的最大值为___________.

【答案】

【分析】根据题意设矩形展示区的长为，则宽为，进而结合题意得，再根据基本不等式求解即可.

【详解】解：设矩形展示区的长为，则宽为，

因为该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏，要求上下各空0.25，左右各空0.25，相邻宣传栏之间也空0.25，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以S的最大值为

故答案为：

14．已知函数，给出下列三个结论：

①当时，函数的单调递减区间为；

②若函数无最小值，则的取值范围为；

③若且，则，使得函数.恰有3个零点，，，且．

其中，所有正确结论的序号是______．

【答案】②③

【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设，进而可得，，，令验证后即可判断③；即可得解.

【详解】对于①，当时，由，，所以函数在区间不单调递减，故①错误；

对于②，函数可转化为，

画出函数的图象，如图：

由题意可得若函数无最小值，则的取值范围为，故②正确；

对于③，令即，结合函数图象不妨设，

则，

所以，，，所以，

令即，

当时，，存在三个零点，且，符合题意；

当时，，存在三个零点，且，符合题意；

故③正确.

故答案为：②③.

【点睛】本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与数形结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题.

三、双空题

15．在△ABC中，，点D在边BC上，CD=2，则AD=___；△ACD的面积为____.

【答案】         

【解析】在中用正弦定理求解，在用面积公式可得.

【详解】

在中由正弦定理得：，

.

在中，，

故答案为： ;.

【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.

其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．

四、解答题

16．设函数

（I）求曲线在点处的切线方程；

（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式写切线方程；（2）由函数图像可知，极大值大于零且极小值小于零，解不等式可得c的取值范围

试题解析：解：（I）由，得．

因为，，

所以曲线在点处的切线方程为．

（II）当时，，

所以．

令，得，解得或．

与在区间上的情况如下：

所以，当且时，存在，，

，使得．

由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．

17．已知函数.且的最大值为2，的图像上相邻两条对称轴之间的距离为.

(1)求函数的解析式；

(2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知，先对函数进行化简，然后根据的最大值为2，即可确定的值，再根据相邻两条对称轴之间的距离为，即可确定周期，从而求得，最终得到函数解析式；

（2）由第（1）问求解出的函数解析式，根据题中给的区间范围，先求解出满足的范围，然后根据已知条件列出不等关系，求解即可.

【详解】(1)由已知，，

所以

∵的最大值为2，∴，即

∵的图像上相邻两条对称轴之间的距离为，

∴

又∵，∴

则

(2)当时，，

若在区间上有且只有一个零点，

则，所以.

18．已知数列的前n项和为，，.

(1)求，；

(2)若数列是等差数列，且，，求数列的通项公式；

(3)设，求.

【答案】(1)；；

(2)

(3)

【分析】（1）直接令求解即可；

（2）结合（1）令得，进而求得的公差为，再根据通项公式求解即可；

（3）根据得数列的通项公式，再结合（2）得，进而根据等比数列前项和公式求解即可.

【详解】(1)解：令，则，解得，

令，则，解得.

所以；；

(2)解：由（1）知；，

所以令，则，解得.

所以，，

设等差数列的公差为，则，解得

所以数列的通项公式为

(3)解：由（1）知，时，，

当时，，整理得，

所以数列是等比数列，公比为，首项为

所以.

由（2）知，

所以，

所以，即数列是等比数列，公比为，首项为，

所以

19．在中，角的对边分别为.

(1)求的大小；

(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长.

条件①：；条件②：；条件③：.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.

【答案】(1).

(2)条件①：；条件③：.

【分析】（1）利用正弦定理，边化角，再利用三角恒等变换求解即可.

（2）根据三角形全等条件可知①③满足条件，条件②由余弦定理可得不满足条件，条件①：根据，结合等面积求解即可；条件③：利用余弦定理结合等面积求解即可.

【详解】(1)在中因为，

由正弦定理得，

所以，即，

又因为，，所以，.

(2)设边上的高为，

条件①：因为，所以 ，，

所以，根据三角形全等（角角边）可知存在且唯一确定.

所以，

则，解得，即边上的高为.

条件②：由余弦定理得，即，

解得，此时满足条件的的三角形有两个，条件②不符合题意.

条件③：根据三角形全等（边角边）可得存在且唯一确定，

由余弦定理得，即，解得，

则，解得，即边上的高为.

20．已知函数

(1)若恒成立，求的取值范围

(2)证明：当时，曲线总在曲线的上方

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）对函数求导后，分，和讨论求函数最小值，使其大于等于0，从而可求出结果，

（2）令，利用导数求出其单调区间和极小值，可得其极小值大于零即可.

【详解】(1)由，得

①当时，符合题意；

②当时，取，则，不符合题意.

③当时，令，得.

时，；时，.

所以在上单调递减，在上单调递增

所以当时，有最小值

“恒成立”等价于“的最小值大于等于0”，

即

因为，所以

综上，若对恒成立，则的取值范围是

(2)证明：当时，令，可求，

因为，，且在上单调递增，

所以在上存在唯一的，使得，

即，且，

当变化时，，在上的情况如下表.

则当时，存在最小值，

因为

所以

所以当时，，

所以当时，曲线总在曲线的上方.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是构造函数，然后利用导数求得其最小值大于零即可，考查数学转化思想，属于较难题.

21．给定整数，数列、、、每项均为整数，在中去掉一项，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为. 将、、、中的最小值称为数列的特征值.

（Ⅰ）已知数列、、、、，写出、、的值及的特征值；

（Ⅱ）若，当，其中、且时，判断与的大小关系，并说明理由；

（Ⅲ）已知数列的特征值为，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）；；.的特征值为；（Ⅱ），理由见解析；（Ⅲ）最小值为.

【解析】（Ⅰ）根据题中的定义可求出、、的值及的特征值；

（Ⅱ）分、和、两种情况讨论，结合题中定义可证明出；

（Ⅲ）设，利用（Ⅱ）中的结论，结合数列的特征值为，可得出，并证明出，即可求出的最小值.

【详解】（Ⅰ）由题知：，，，

的特征值为；

（Ⅱ）.

理由如下：由于，可分下列两种情况讨论：

当、时，

根据定义可知：，

同理可得：.

所以，所以.  

当、时，同理可得：

，

所以，所以.              

综上有：；

（Ⅲ）不妨设，

，

显然，，

.

当且仅当时取等号；.

当且仅当时取等号；

由（Ⅱ）可知、的较小值为，

所以.

当且仅当时取等号，

此时数列为常数列，其特征值为，不符合题意，则必有

.

下证：若，，总有.

证明：

.

所以.

因此

.

当时，可取到最小值，符合题意.

所以的最小值为.

【点睛】本题考查数列中的新定义，涉及数列中不等式的综合问题，解题的关键就是充分利用题中的新定义进行求解，考查推理能力，属于难题.