第01讲 平面向量的概念、线性运算及坐标运算（3类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

这是一份第01讲 平面向量的概念、线性运算及坐标运算（3类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共58页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略，向量共线定理，向量的坐标运算等内容，欢迎下载使用。

（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示
2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义
3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
4理解向量的线性运算性质及其几何意义
5会向量间的坐标运算
【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习
知识讲解
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．
2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．
（1）若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
（2）P为线段AB的中点⇔eq \(OP,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OB,\s\up15(→)))．
4.向量的坐标运算
两点间的向量坐标公式：
，，终点坐标始点坐标
向量的加减法
，，
向量的数乘运算
，则：
向量的模
，则的模
相反向量
已知，则；已知
单位向量
向量的平行关系
，，
考点一、平面向量基本概念的综合考查
1．（辽宁·高考真题）已知点则与同方向的单位向量为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.
考点：向量运算及相关概念.
2．（福建·高考真题）对于向量和实数，下列命题中真命题是( )
A．若，则或B．若，则或
C．若，则或D．若，则
【答案】B
【分析】根据数量积的性质判断A，C，D，根据数乘向量的运算的定义判断B.
【详解】对于选项A，C，D，设，，，
则，但且， A错，
， 但且，C错，
由，但 ，D错，
由可得或，B对，
故选：B．
1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量，必有
D．若满足且与同向，则
【答案】C
【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.
【详解】依题意，
对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若同向共线，，
若反向共线，，
若不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知.
综上可知对于任意向量，必有，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
2．（2023·北京大兴·校考三模）设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
考点二、平面向量线性运算的综合考查
1．（2020·新高考全国2卷·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
2．（安徽·高考真题）若，, 则（ ）
A．（1，1）B．（－1，－1）C．（3，7）D．（-3,-7）
【答案】B
【详解】试题分析：因为向量，，所以．故选B．
考点：向量减法的坐标的运算．
3．（北京·高考真题）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】是所在平面内一点，为边中点，
∴，且，
∴，即，故选A.
4．（上海·高考真题）在平行四边形中，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】作出图形，进而根据平面向量的概念及加减法法则即可得到答案.
【详解】如图，
易知A正确；根据平行四边形法则，B正确；，C错误；，D正确.
故选：C.
5．（福建·高考真题）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：由已知得，
而所以，选D.
考点：平面向量的线性运算，相反向量.
6．（四川·高考真题）如图，正六边形中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】将平移到，平移到，
故，
故选D.
本题主要考查平面向量的基本概念及线性运算
考点：向量的加法.
1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体中，化简（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算.
【详解】由长方体的结构特征，有，
则.
故选：B
2．（2023·浙江·统考二模）设是平行四边形的对角线的交点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形对角线平分及向量加减法计算可得.
【详解】是平行四边形的对角线的交点，则,
所以.
故选：A.
考点三、平面向量共线定理及平行向量（共线向量）坐标运算的综合考查
1．（宁夏·高考真题）平面向量，共线的充要条件是
A．，方向相同
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，
D．存在不全为零的实数，，
【答案】D
【详解】若均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数使得；
若，则由两向量共线知，存在，使得，即，符合题意，故选D.
2．（山东·高考真题）已知向量、满足，，，则一定共线的三点是
A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D
【答案】A
【分析】证明三点共线，借助向量共线定理判断即可.
【详解】因为，，不存在常数使得，所以不共线，则A，B，C不共线，B错；
因为，，不存在常数，使得，所以不共线，则B，C，D不共线，C错；
因为，，所以不存在常数，使得，所以不共线，则A，C，D不共线，D错；
因为，所以共线，又两向量都过点，故三点，，一定共线．
故选：A．
3．（海南·高考真题）平面向量，共线的充要条件是（ ）
A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，D．存在不全为零的实数，，
【答案】D
【解析】根据，共线的定义得到向量，共线的充要条件
【详解】由，共线的定义，
若，均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数，使得；
若，则由两向量共线知，存在，使得，
即，符合题意.
故选:D.
【点睛】本题考查了对向量共线定义的理解，特别注意零向量与任意向量共线，属于基础题.
4．（广东·高考真题）已知平面向量，，且，则等于（ ）
A．（-2，-4）B．（-3，-6）C．（-5，-10）D．（-4，-8）
【答案】D
【分析】由，求得，再利用向量的坐标运算求解.
【详解】解：因为，，且，
所以m=-4，，
所以=（-4，-8），
故选：D
5．（福建·高考真题）已知向量，，且，则 ．
【答案】
【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】解：因为，，且，
所以，解得；
故答案为：
6．（全国·高考真题）已知向量，，．若，则 ．
【答案】
【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】由题可得

,即
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知向量，若，则实数（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标表示求参数.
【详解】，
因为，所以，解得.
故选：B
2．（2023·江苏盐城·统考三模）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（ ）
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】在四边形中，
若，
则，且，
即四边形为梯形，充分性成立；
若当，为上底和下底时，
满足四边形为梯形，
但不一定成立，即必要性不成立；
故是的充分不必要条件.
故选：A
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三点共线的向量关系式即可求解.
【详解】因为A，B，C三点共线，
则，，
即，
则，解得.
故选：C
4．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知向量，，．若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.
【详解】因为，所以,选C.
【点睛】本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题.
5．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设向量不平行，向量与平行，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量共线求解即可.
【详解】解：因为向量与平行，
所以，
所以，所以
故选：B
6．（2023·山西临汾·统考一模）已知，为不共线的非零向量，，，，则（ ）
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量逐项判断作答.
【详解】，为不共线的非零向量，，，，
则，，
因，则与不共线，，，三点不共线，A不正确；
因，即与共线，且有公共点B，则，，三点共线，B正确；
因，则与不共线，，，三点不共线，C不正确；
因，则与不共线，，，三点不共线，D不正确.
故选：B
7．（2023·全国·模拟预测）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若，，则B．若与共线且模长相等，则
C．若且与方向相同，则D．恒成立
【答案】ABC
【分析】取，可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，取，因为，，则、不一定共线，A错；
对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项，恒成立，D对.
故选：ABC.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·河北·高三学业考试）化简所得的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量加，减法运算，即可化简.
【详解】.
故选：C
2．（2023·全国·高三对口高考）如图正六边形中，（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接相关对角线，根据向量加法的几何意义，数形结合化简即可.
【详解】连接交于，

由正六边形性质知：，，
所以，而，
所以.
故选：D
3．（2023·河北·高三学业考试）如图，正六边形中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由相等向量、向量加减法运算法则直接求解即可.
【详解】六边形为正六边形，，
.
故选：B.
4．（2023·全国·高三对口高考）给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；
③若，则；
④若，，则；
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】结合向量的概念、性质，说明、情况下的反例判断①、②，由向量相等、共线，注意共线向量传递性的前提判断③、④.
【详解】①若，只能说明模相等，它们方向不一定相同或相反，错；
②若，若且，即A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点，若四点共线，不能构成平行四边形，错；
③若，即、分别为相等向量，故，对；
④若，，当为零向量时不一定成立，错.
故选：D
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段，则向量
B．若向量，则线段
C．若向量与共线，则线段
D．若向量与反向共线，则
【答案】AD
【分析】A选项，根据得到点B在线段上，进行判断A正确；BC选项，可举出反例；D选项，根据向量线性运算推导出答案.
【详解】选项A：由得点B在线段上，则，A正确：
选项B；三角形，，但，B错误；
对于C：，反向共线时，，故，C错误；
选项D：,反向共线时，，故D正确．
故选：AD．
三、填空题
6．（2023·河南·统考二模）已知不共线，向量，，且，则 ．
【答案】
【分析】根据向量共线定理可知成立，列出方程组，即可得出答案.
【详解】因为，所以，使得成立，即.
因为不共线，所以，解得.
故答案为：.
7．（2023·海南·校联考模拟预测）已知向量，，，若点，，三点共线，则实数 ．
【答案】/0.5
【分析】根据向量共线定理可知，根据向量坐标计算即可.
【详解】，，
因为点，，三点共线，所以，解得.
故答案为：.
8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测），是两个不共线的向量，已知，，且三点共线，则实数 .
【答案】
【分析】先表示出，然后根据向量的共线定理进行计算.
【详解】依题意得，，于是，
由三点共线可知，存在，使得，即，
由于，是两个不共线的向量，则，解得.
故答案为：
9．（2023·全国·高三专题练习）设，是两个不共线的非零向量，若向量与的方向相反，则 .
【答案】
【分析】依题意存在，使得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为向量与的方向相反，
所以存在，使得，
又，是两个不共线的非零向量，
所以，解得或（舍去）.
故答案为：
10．（2023·全国·高三对口高考）已知，则与向量平行的单位向量的坐标为 ．
【答案】或
【分析】先求得向量的模，再利用单位向量和平行向量的定义求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以向量平行的单位向量的坐标为或，
故答案为：或
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，且三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的共线定理的坐标运算即可求解.
【详解】由，得,
因为三点共线，所以，即，解得.
所以.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】C
【分析】求出的坐标，除以，再考虑方向可得．
【详解】由得，即，，
，
，
，
与同向的单位向量为，反向的单位向量为．
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练习）若都为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由为单位向量，根据向量共线的性质、充分必要性定义判断推出关系，即可得结果.
【详解】由分别表示方向上的单位向量，
当，即共线，充分性成立；
当与共线，若同向共线时，不成立，必要性不成立.
“”是“与共线”的充分不必要条件.
故选：B
4．（2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】对于前者是否能推出后者，我们举出反例即可，对于后者是否推前者，由后者可得共线且同方向，则，即后者能推出前者，最后即可判断.
【详解】若，则，但此时不存在，使得，
故不存在，使得，故前者无法推出后者，
若存在，使得，则共线且同方向，
此时，故后者可以推出前者，
故“”是“存在,使得的必要不充分条件”，
故选：B.
5．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）下列说法正确的是（ ）
A．若，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且，则与共线
C．若，则存在唯一的实数使得
D．若，是两个单位向量，且．则
【答案】B
【分析】对于A，当时，该选项错误；对于B， 表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，所以与共线，所以该选项正确；对于C，当，为非零向量时，不存在，所以该选项错误；对于D，计算得，所以该选项错误．
【详解】对于A，当时，与的方向可以既不相同也不相反，所以该选项错误；
对于B，，为非零向量，表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，由于，所以与共线，所以该选项正确；
对于C，当，为非零向量时，不存在，所以该选项错误；
对于D，由得，所以，所以该选项错误．
故选：B．
6．（2023·河北·校联考三模）对于平面内个起点相同的单位向量，若每个向量与其相邻向量的夹角均为，则与的位置关系为（ ）
A．垂直B．反向平行C．同向平行D．无法确定
【答案】B
【分析】根据平面向量加法的运算法则即可得解.
【详解】根据题意可得，
所以，
所以与的位置关系为反向平行.
故选：B.
二、填空题
7．（2023春·安徽滁州·高三校考开学考试）已知向量，，且，则 .
【答案】
【分析】应用向量线性关系的坐标运算求、，根据向量平行的坐标表示列方程求参数.
【详解】由题设，，又，
所以，解得.
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据向量的共线和向量乘法的坐标计算公式即可求解.
【详解】根据题意可得：，，
设，
因为向量，且与的夹角为钝角，
所以
所以，
不妨令
所以
，
故答案为：.
9．（2023·广西玉林·统考三模）记数列的前n项和为，已知向量，，若，且，则通项为 ．
【答案】
【分析】由平面共线向量的坐标表示可得，利用与的关系求出数列的通项公式，即可求解.
【详解】∵，∴，
当时，，得，
当时，，，
两式作差得：，即，
所以是以为公比，1为首项的等比数列，
则，
又不符合上式，所以.
故答案为：.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，．若，则= ．
【答案】2
【分析】用已知向量坐标表示线性组合向量，再利用向量平行的坐标表示求λ即可.
【详解】由题意，，所以，4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第3题,5分
平面向量线性运算的坐标表示
向量垂直的坐标表示
利用向量垂直求参数
2022年新Ⅱ卷，第4题,5分
平面向量线性运算的坐标表示
数量积及向量夹角的坐标表示
2021年新Ⅱ卷，第10题,5分
坐标计算向量的模
数量积的坐标表示
逆用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的余弦公式
2020年新Ⅱ卷，第3题,5分
向量加法的法则
向量减法的法则
无
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb