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人教版九年级数学下册练习：自主复习18.圆
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这是一份人教版九年级数学下册练习：自主复习18.圆，共26页。试卷主要包含了垂径定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，切线垂直于过切点的半径等内容，欢迎下载使用。
1．垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．
2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．直径所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径．
5．点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则点P在⊙O内⇔d6．直线与圆的位置关系：圆心到直线的距离大于圆的半径，直线与圆相离；圆心到直线的距离等于圆的半径，直线与圆相切；圆心到直线的距离小于圆的半径，直线与圆相交．
7．切线垂直于过切点的半径．经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．
8．过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等，这个点与圆心的连线平分两切线的夹角．
9．一个三角形的外接圆只有一个，圆心叫外心，是三角形三边垂直平分线的交点．三角形的内切圆也只有一个，圆心为内心，是三角形三个内角平分线的交点．
10．弧长公式为l＝eq \f(nπr,180)，扇形面积公式：S扇形＝eq \f(nπr2,360)．
11．圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆柱的侧面展开图是一个矩形．
达标练习
1．(湘西中考)⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与⊙O的位置关系为(B)
A．点A在圆上 B．点A在圆内
C．点A在圆外 D．无法确定
2．如图，在⊙O中，OC垂直弦AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是(B)
A.eq \r(3)
B.eq \r(5)
C.eq \r(15)
D.eq \r(17)
3．已知正三角形的外接圆半径为2，则这个正三角形的边长是(A)
A．2eq \r(3) B.eq \r(3) C．3 D．2
4．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8 cm，水的最大深度为2 cm，那么该输水管的半径为(C)
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
5．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为(C)
A．40° B．50°
C．65° D．75°
6．(张家界中考)如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是(C)
A．相离
B．相交
C．相切
D．以上三种情况均有可能
7．用半径为3 cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为(D)
A．2π cm B．1.5 cm
C．π cm D．1 cm
8．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为(C)
A.eq \f(1,4)π B.π－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)π＋eq \f(1,2)
9．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝70°，则∠OCB＝20°．
10．如图所示，O是△ABC的内心，若∠BOC＝100°，则∠BAC＝20°.
11．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P＝70°，则∠C的大小为55°．
12．(孝感中考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧．
(1)用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；(要求保留作图痕迹，不写作法)
(2)若eq \(AB,\s\up8(︵))的中点C到弦AB的距离为20 m，AB＝80 m，求所在圆的半径．
解：(1)如图，点O为所求．
(2)连接OA，AB，OC，OC交AB于D，
∵C为eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，
∴OC⊥AB.
∴AD＝BD＝eq \f(1,2)AB＝40 m.
设⊙O的半径为r m，
则OA＝r m，OD＝OC－CD＝(r－20)m.
在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，
∴r2＝(r－20)2＋402，解得r＝50，
即所在圆的半径是50 m.
13．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A＝30°，D为eq \(BC,\s\up8(︵))的中点．求证：
(1)AB＝BC；
(2)四边形BOCD是菱形．
证明：(1)∵AB是⊙O的切线，
∴∠OBA＝90°，∠AOB＝90°－30°＝60°.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵∠AOB＝∠OBC＋∠OCB，
∴∠OCB＝30°＝∠A.∴AB＝BC.
(2)连接OD交BC于点M.
∵D是eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，
∴OD垂直平分BC.
∵在Rt△OMC中，∠OCM＝30°，
∴OC＝2OM＝OD.∴OM＝DM.
∴OD与BC相互垂直平分．
∴四边形BOCD是菱形．
14．如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB.
(1)求BC的长；
(2)求证：PB是⊙O的切线．
解：(1)连接OB.
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，
∴∠COB＝60°.
又∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形．
∴BC＝OC＝2.
(2)证明：∵BC＝OC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB.
∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°.
又∵∠OCB＝∠CBP＋∠CPB，∴∠CBP＝30°.
∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，即OB⊥BP.
∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．
15．(沈阳中考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA，OB，OC，AC，OB与AC相交于点E.
(1)求∠OCA的度数；
(2)若∠COB＝3∠AOB，OC＝2eq \r(3)，求图中阴影部分面积．(结果保留π和根号)
解：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＋∠D＝180°.
∵∠ABC＝2∠D，
∴2∠D＋∠D＝180°.
∴∠D＝60°.∴∠AOC＝2∠D＝120°.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.
(2)∵∠COB＝3∠AOB，
∴∠AOC＝∠AOB ＋3∠AOB ＝120°.
∴∠AOB＝30°.
∴∠COB＝90°.
在Rt△OCE中，OC＝2eq \r(3)，∴OE＝OC·tan∠OCE＝2eq \r(3)·tan30°＝2eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)＝2.
∴S△OEC ＝eq \f(1,2)OE·OC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3)，
S扇形OBC＝eq \f(90π×（2\r(3)）2 ,360)＝3π.
∴S阴影＝S扇形OBC －S△OEC ＝3π－2eq \r(3).
1．垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．
2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．直径所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径．
5．点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则点P在⊙O内⇔d
7．切线垂直于过切点的半径．经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．
8．过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等，这个点与圆心的连线平分两切线的夹角．
9．一个三角形的外接圆只有一个，圆心叫外心，是三角形三边垂直平分线的交点．三角形的内切圆也只有一个，圆心为内心，是三角形三个内角平分线的交点．
10．弧长公式为l＝eq \f(nπr,180)，扇形面积公式：S扇形＝eq \f(nπr2,360)．
11．圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆柱的侧面展开图是一个矩形．
达标练习
1．(湘西中考)⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与⊙O的位置关系为(B)
A．点A在圆上 B．点A在圆内
C．点A在圆外 D．无法确定
2．如图，在⊙O中，OC垂直弦AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是(B)
A.eq \r(3)
B.eq \r(5)
C.eq \r(15)
D.eq \r(17)
3．已知正三角形的外接圆半径为2，则这个正三角形的边长是(A)
A．2eq \r(3) B.eq \r(3) C．3 D．2
4．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8 cm，水的最大深度为2 cm，那么该输水管的半径为(C)
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
5．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为(C)
A．40° B．50°
C．65° D．75°
6．(张家界中考)如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是(C)
A．相离
B．相交
C．相切
D．以上三种情况均有可能
7．用半径为3 cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为(D)
A．2π cm B．1.5 cm
C．π cm D．1 cm
8．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为(C)
A.eq \f(1,4)π B.π－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)π＋eq \f(1,2)
9．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝70°，则∠OCB＝20°．
10．如图所示，O是△ABC的内心，若∠BOC＝100°，则∠BAC＝20°.
11．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P＝70°，则∠C的大小为55°．
12．(孝感中考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧．
(1)用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；(要求保留作图痕迹，不写作法)
(2)若eq \(AB,\s\up8(︵))的中点C到弦AB的距离为20 m，AB＝80 m，求所在圆的半径．
解：(1)如图，点O为所求．
(2)连接OA，AB，OC，OC交AB于D，
∵C为eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，
∴OC⊥AB.
∴AD＝BD＝eq \f(1,2)AB＝40 m.
设⊙O的半径为r m，
则OA＝r m，OD＝OC－CD＝(r－20)m.
在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，
∴r2＝(r－20)2＋402，解得r＝50，
即所在圆的半径是50 m.
13．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A＝30°，D为eq \(BC,\s\up8(︵))的中点．求证：
(1)AB＝BC；
(2)四边形BOCD是菱形．
证明：(1)∵AB是⊙O的切线，
∴∠OBA＝90°，∠AOB＝90°－30°＝60°.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∵∠AOB＝∠OBC＋∠OCB，
∴∠OCB＝30°＝∠A.∴AB＝BC.
(2)连接OD交BC于点M.
∵D是eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，
∴OD垂直平分BC.
∵在Rt△OMC中，∠OCM＝30°，
∴OC＝2OM＝OD.∴OM＝DM.
∴OD与BC相互垂直平分．
∴四边形BOCD是菱形．
14．如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB.
(1)求BC的长；
(2)求证：PB是⊙O的切线．
解：(1)连接OB.
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，
∴∠COB＝60°.
又∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形．
∴BC＝OC＝2.
(2)证明：∵BC＝OC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB.
∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°.
又∵∠OCB＝∠CBP＋∠CPB，∴∠CBP＝30°.
∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，即OB⊥BP.
∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．
15．(沈阳中考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA，OB，OC，AC，OB与AC相交于点E.
(1)求∠OCA的度数；
(2)若∠COB＝3∠AOB，OC＝2eq \r(3)，求图中阴影部分面积．(结果保留π和根号)
解：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＋∠D＝180°.
∵∠ABC＝2∠D，
∴2∠D＋∠D＝180°.
∴∠D＝60°.∴∠AOC＝2∠D＝120°.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.
(2)∵∠COB＝3∠AOB，
∴∠AOC＝∠AOB ＋3∠AOB ＝120°.
∴∠AOB＝30°.
∴∠COB＝90°.
在Rt△OCE中，OC＝2eq \r(3)，∴OE＝OC·tan∠OCE＝2eq \r(3)·tan30°＝2eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)＝2.
∴S△OEC ＝eq \f(1,2)OE·OC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3)，
S扇形OBC＝eq \f(90π×（2\r(3)）2 ,360)＝3π.
∴S阴影＝S扇形OBC －S△OEC ＝3π－2eq \r(3).
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