还剩40页未读，
继续阅读
人教版九年级数学下册练习：第二十七章 相似
展开
这是一份人教版九年级数学下册练习：第二十七章 相似，共26页。试卷主要包含了1 图形的相似，下列各组图形相似的是，下列各项中不是相似图形的是，下列各组线段成比例的是，下列四组图形中，一定相似的是等内容，欢迎下载使用。
第二十七章 相似
27．1 图形的相似
基础题
知识点1 相似图形
1．下列各组图形相似的是(B)
2．下列各项中不是相似图形的是(C)
A．放大镜里看到的三角板与原来的三角板
B．同一张底片洗出的2寸相片和1寸相片
C．哈哈镜里看到的人像与真人像
D．课本里的中国地图和教室墙上挂的中国地图
知识点2 成比例线段
3．下列各组线段成比例的是(D)
A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cm
B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm
D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm
4．已知线段a，b，c，d成比例，且＝，其中a＝8 cm，b＝4 cm，c＝12 cm，则d＝6cm.
5．在比例尺为1∶200 000的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B两地间的实际距离为9__000m.
知识点3 相似多边形
6．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为(A)
A. B.
C. D.
7．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为(B)
A．6 B．8
C．12 D．10
8．(莆田中考)下列四组图形中，一定相似的是(D)
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
9．如图是两个相似四边形，已知数据如图所示，则x＝，α＝80°．
10．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．
解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
理由：∵A′，B′分别是OA，OB的中点，
∴A′B′∥AB，A′B′＝AB.
∴∠OA′B′＝∠OAB，＝.
同理，∠OA′D′＝∠OAD，＝.
∴∠B′A′D′＝∠BAD，＝.
同理，∠A′D′C′＝∠ADC，∠D′C′B′＝∠DCB，∠C′B′A′＝∠CBA，
＝＝＝，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
中档题
11．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(C)
A．150° B．105°
C．15° D．无法确定大小
12．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为(B)
A．2 B．3
C．－3 D．3或－3
13．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B)
A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F
14．(教材P28T5的变式)如图，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AD＝1.5，AB＝4.5，AE＝1.4，AC＝4.2.
(1)求，，的值；
(2)证明△ADE与△ABC相似.
解：(1)＝＝，
＝＝，
＝＝.
(2)∵DE∥BC,
∴∠D＝∠B，∠E＝∠C.
又∵∠DAE＝∠BAC，＝＝，
∴△ADE与△ABC相似．
15．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°.
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.
∴AE＝EG＝FG＝AF.
又∵∠EAF＝90°，
∴四边形AFGE为正方形．
∴＝＝＝，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．
综合题
16．(教材P28T8的变式)如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
解：(1)若设AD＝x(x＞0)，则DM＝.
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴＝，
即＝.解得x＝4(舍负)．
∴AD的长为4.
(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为
＝＝.
27．2 相似三角形
27．2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
基础题
知识点1 相似三角形的有关概念
1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A)
A.＝＝
B.＝
C.＝＝
D.＝
2．已知△ABC和△A′B′C′相似，且△ABC与△A′B′C′的相似比为R1，△A′B′C′与△ABC的相似比为R2，则R1与R2的关系是(D)
A．R1＝R2 B．R1R2＝－1
C．R1＋R2＝0 D．R1R2＝1
知识点2 平行线分线段成比例定理及推论
3．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(C)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4．(兰州中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则＝(C)
A. B. C. D.
5．(临沂中考)如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AD＝10，则AO＝4．
6．如图，EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．
解：∵EG∥BC，∴＝.
∵GF∥CD，∴＝.
∴＝，即＝.
∴FD＝4.
∴AD＝AF＋FD＝10.
知识点3 相似三角形判定的预备定理
7．(杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(B)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
8．(自贡中考)如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为1.
9．如图，△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？
解：共有3对相似三角形，分别是：
△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.
中档题
10．(天津中考)如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于(D)
A．3∶2 B．3∶1
C．1∶1 D．1∶2
11．(恩施中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为(C)
A．6 B．8 C．10 D．12
12．(南京中考)如图，AB，CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD.EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为．
13．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点D在边AB所在的直线上，且AD＝2，过点D作DE∥BC交边AC所在的直线于点E，则CE的长为6或12．
14．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE＝10米，BC＝18米，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?
解：∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE.
∴＝，
即＝.∴AD＝10.
答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A.
15．如图，已知：AB＝AD，AC＝AE，FG∥DE.求证：△ABC∽△AFG.
证明：∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC≌△ADE.
∴BC＝DE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED.
∵FG∥DE，
∴△AFG∽△ADE.
∴＝＝.
∴＝＝.
又∵∠C＝∠AED＝∠G，
∠B＝∠ADE＝∠F，
∠BAC＝∠FAG，
∴△ABC∽△AFG.
综合题
16．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．
解：∵在△ABC中，EG∥BC，
∴△AEG∽△ABC.
∴＝，
即＝.∴EG＝6.
∵在△BAD中，EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD.∴＝，
即＝.∴EF＝.
∴FG＝EG－EF＝.
第2课时 相似三角形的判定定理1，2
基础题
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形(A)
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判断
2．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似(C)
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
3．(宜昌模拟)下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(B)
4．如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．
解：相似．
理由：∵＝＝，＝＝，
＝＝，
∴＝＝.
∴△ABC∽△ADE.
知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
5．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(C)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(C)
7．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝3时，△ABC∽△A′B′C′.
8．如图，已知AB·AD＝AC·AE，∠B＝30°，则∠E＝30°．
9．如图，已知正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.
证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a.
∵Q是CD的中点，BP＝3PC，
∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a.
∴＝＝.
又∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ADQ∽△QCP.
中档题
10．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处(C)
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
11．如图，在等边△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，则有(B)
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
12．(杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若＝，求的值．
解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，
∴∠ADF＝∠C.
又∵＝，
∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG.
∴＝＝.
∴＝1.
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.
(1)通过计算，判断AD2与AC·CD 的大小关系；
(2)求∠ABD 的度数．
解：(1)∵AD＝BC＝，
∴AD2＝()2＝.
∵AC＝1，
∴CD＝1－＝.
∴AD2＝AC·CD.
(2)∵AD2＝AC·CD，
∴BC2＝AC·CD，即＝.
又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.∴＝.
又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.
∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.
设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.
解得x＝36°.
∴∠ABD＝36°.
综合题
14．(武汉中考改编)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．
解：由题意，得BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm.
①∵∠PBQ＝∠ABC，
∴若△BPQ∽△BAC，则还需＝，
即＝.解得t＝1；
②∵∠PBQ＝∠CBA，
∴若△BPQ∽△BCA，则还需＝，
即＝.解得t＝.
综上所述，当t＝1或时，以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
第3课时 相似三角形的判定定理3
基础题
知识点1 两角分别相等的两个三角形相似
1．有一个角为30°的两个直角三角形一定(B)
A．全等 B．相似
C．既全等又相似 D．无法确定
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法中错误的是(C)
A．△ACD∽△CBD B．△ACD∽△ABC
C．△BCD∽△ABC D．△BCD∽△BAC
3．如图，锐角△ABC的边AB，AC上的高线CE，BF相交于点D，请写出图中的一对相似三角形答案不唯一，如：△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE．(用相似符号连接)
4．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是△EFD，△HGK.
5．(毕节中考)如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则BD＝．
6．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC.求证：△ABC∽△FDE.
证明：∵FD∥AB，FE∥AC，
∴∠B＝∠FDE，∠C＝∠FED.∴△ABC∽△FDE.
7．如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，
AC上的点，∠A＝35°，∠C＝90°，∠AED＝55°.求证：AD·AB＝AE·AC.
证明：∵∠A＝35°，∠C＝90°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－35°－90°＝55°.
∴∠B＝∠AED＝55°.
又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED.
∴＝，即AD·AB＝AE·AC.
知识点2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
8．在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D)
A．∠B＝∠B1 B.＝
C.＝ D.＝
9．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm和15 cm，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为6 cm和 cm，这两个直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形．
10．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝10时，△ABC∽△A′B′C′.
中档题
11．(荆州中考)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是(D)
A．∠ABP＝∠C
B．∠APB＝∠ABC
C.＝
D.＝
12．(毕节中考)如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于(A)
A. B. C. D.
13．下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一个角是50°的两个等腰三角形相似；③有一个角是60°的两个等腰三角形相似；④有一个角是110°的两个等腰三角形相似；⑤所有的等腰直角三角形都相似．其中真命题是③④⑤(填序号)．
14．(齐齐哈尔中考)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为113°或92°．
15．(天津中考改编)如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，求AE的长．
解：∵△ABC是边长为9的等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝9.
∴∠BAD＋∠ADB＝120°.
∵∠ADE＝60°，
∴∠CDE＋∠ADB＝120°.
∴∠BAD＝∠CDE.
又∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE.
∴＝，即＝.∴CE＝2.
∴AE＝9－2＝7.
16．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？
解：①若△ABC∽△ADB，
则需＝，
即＝.∴AD＝3.
②若△ABC∽△DAB，
则需＝，
即＝.∴AD＝3.
综上所述，当AD＝3或3时，图中两直角三角形相似．
综合题
17．(滨州中考改编)如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴∠APQ＝∠CDQ.
又∵∠AQP＝∠CQD，
∴△APQ∽△CDQ.
(2)当t＝5时，DP⊥AC.
理由：∵t＝5，∴AP＝5.
∴＝.
又∵＝，
∴＝.
又∵∠PAD＝∠ADC＝90°，
∴△PAD∽△ADC.
∴∠ADP＝∠DCA.
∵∠ADP＋∠CDP＝∠ADC＝90°，
∴∠DCA＋∠CDP＝90°.
∴∠DQC＝90°，即DP⊥AC.
小专题(四) 相似三角形的基本模型
模型1 X字型及其变形
(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；
(2)如图2，对顶角的对边不平行，且∠OAB＝∠OCD，则△ABO∽△CDO.
1．(恩施中考)如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于(D)
A．1∶4 B．1∶3
C．2∶3 D．1∶2
2．(黔东南中考)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．
3．如图，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．
解：∵∠ADE＝∠ACB，
∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝∠ECF.
又∵∠BFD＝∠EFC，
∴△BDF∽△ECF.
∴＝，即＝.∴DF＝4.
模型2 A字型及其变形
(1)如图1，公共角的对边平行，则△ADE∽△ABC；
(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC；
(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD∽△ABC.
4．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.
证明：在△AEF和△ACG中，
∠AFE＝∠AGC＝90°，
∠EAF＝GAC，
∴△AEF∽△ACG.
∴∠AEF＝∠ACG.
在△ADE和△ABC中，
∠BAC为公共角，
∠AEF＝∠ACG，
∴△ADE∽△ABC.
5．如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：＋＝.
证明：∵AB∥EF，
∴△DEF∽△DAB.
∴＝.
又∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD.
∴＝.
∴＋＝＋＝＝1.
∴＋＝.
模型3 双垂型
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.
6．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3，则斜边AB的长为(B)
A．3 B．15
C．9 D．3＋3
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC＝3．
模型4 M字型及其变形
(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB；
(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，∠ABC＝∠ACD，则再已知一组条件，可得△ABC与△DCE相似．
图1 图2
8．(江西中考)如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°.
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°.
∴∠BEF＝∠CFG.
∴△EBF∽△FCG.
9．如图，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，要使△DCE和△ABC相似，求线段CE的长.
解：∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝∠B＋∠A，∠ACD＝∠B，∴∠DCE＝∠A.
∴∠A与∠DCE是对应角．
∴△DCE和△ABC相似有两种情况：
①若△BAC∽△ECD，则需满足＝，
即＝.∴CE＝；
②若△BAC∽△DCE，则需满足＝，
即＝.∴CE＝3.
综上所述，CE的长为或3.
10．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°.
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.
∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.
(2)∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，
∴AE＝DE＝2.
由(1)知，△ABE∽△DEF，
∴＝，即＝.
∴DF＝1.∴CF＝3.
∵ED∥CG，
∴△EDF∽△GCF.
∴＝，即＝.
∴GC＝6.
∴BG＝BC＋GC＝10.
小专题(五) 利用三角形相似证明乘积式
一、直接法——三点定形法
“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法．具体做法有两种：一种是“横定”，即看比例式上面两条线段和下面两条线段能否分别组成三角形；另一种是“竖定”，即看等号左右两边的两条线段能否组成一个三角形．
【例1】 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于点E，交BC延长线于F.求证：CD2＝DE·DF.
【思路点拨】 先将乘积式化成比例式为＝，然后不管是“横定”还是“竖定”都是△CDE和△CDF，则只需证明这两个三角形相似即可．
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠F＋∠FEC＝90°.
∵DF⊥AB，
∴∠A＋∠AED＝90°.
∵∠AED＝∠FEC，
∴∠A＝∠F.
∵CD是Rt△ABC斜边AB的中线，∴CD＝DA.
∴∠A＝∠ACD.∴∠ACD＝∠F.
又∵∠CDE＝∠FDC，
∴△CDE∽△FDC.
∴＝.∴CD2＝DE·DF.
1．(黄冈中考)如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC，求证：
(1)∠PBC＝∠CBD；
(2)BC2＝AB·BD.
证明：(1)连接OC，∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PD.
又∵BD⊥PC，∴OC∥BD.∴∠CBD＝∠OCB.
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB.
∴∠PBC＝∠CBD.
(2)连接AC，∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°.∴∠ACB＝∠CDB.
又∵∠ABC＝∠CBD，∴△ACB∽△CDB.
∴＝，即BC2＝AB·BD.
二、间接法
方法1 等量过渡法(等线段代换法)
遇到“三点定形法”无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线，然后再应用“三点定形法”确定相似三角形．
【例2】 如图，△ABC中，AD平分∠BAC, AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证：DE2＝BE·CE.
【思路点拨】 观察图形发现，乘积式中的线段都在一条直线上，无法直接利用“三点定形法”找三角形，由条件“EF是AD的垂直平分线”可知DE＝AE，将乘积式中的DE换成AE，即可找出两个三角形△ABE和△ACE，则只需证明这两个三角形相似即可．
证明：连接AE，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE, ∠ADE＝∠DAE.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD＝∠DAC.
∵∠ACE＝∠ADC＋∠DAC，
∠BAE＝∠DAE＋∠BAD，
∴∠ACE＝∠BAE.
又∵∠AEC＝∠BEA，
∴△ACE∽△BAE.
∴＝.
∴AE2＝BE·CE，
即DE2＝BE·CE.
2．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF＝∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG.求证：
(1)DF是⊙O的切线；
(2)OC2＝OE·OP.
证明：(1)连接OD.
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA.
∵∠DAF＝∠DAB，
∴∠ODA＝∠DAF.
∴OD∥AF.
∵DF⊥AF，
∴DF⊥OD.
∴DF是⊙O的切线．
(2)在△ODE和△OPD中，
∵∠ODP＝∠OED＝90°，∠DOP＝∠EOD，
∴△ODE∽△OPD.
∴＝，即OD2＝OE·OP.
又∵OC＝OD，
∴OC2＝OE·OP.
方法2 等比过渡法(等比代换法)
当用“三点定形法”不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用“等比代换法”，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用“三点定形法”来确定三角形．
【例3】 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F.求证：AB·AF＝AC·DF.
【思路点拨】 运用“竖定”的两个三角形△ABC和△ADF明显不相似，一个是直角三角形，一个是钝角三角形．由条件“直角三角形斜边上的高”这一基本图形，可知△ABD∽△CAD，即＝，所以利用这个桥梁，只需证明＝即可．
证明：∵AD⊥BC，E是AC的中点，
∴DE＝EC.
∴∠EDC＝∠C.
∵∠BAC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠C＝90°.
∴∠BAD＝∠C.
∵∠BDF＝∠EDC，∴∠BDF＝∠BAD.
又∵∠F为公共角，
∴△BDF∽△DAF.∴＝.
∵∠ADB＝∠ADC＝90°， ∠BAD＝∠C，
∴△ABD∽△CAD.∴＝.
∴＝，即AB·AF＝AC·DF.
3．如图，△ABC中，AB
则△EMC∽△ABC.
∴＝.
∴＝.
同理可得△EMF∽△DBF，∴＝.
又∵BD＝EC，∴＝.
∴＝，即AB·DF＝AC·EF.
方法3 等积过渡法(等积代换法)
用“三点定形法”无法确定三角形，又不能找到相等的线段或相等的比作代换，这时可考虑直接将乘积式换成相等的乘积式．
【例4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F.求证：CD2＝DF·DG.
【思路点拨】由“CD是Rt△ABC斜边AB上的高”这一基本模型可知CD2＝AD·BD，只需证明AD·BD＝DF·DG即可．
证明：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠CBD＝90°.
∴∠ACD＝∠CBD.
∴△ACD∽△CBD.
∴＝，即CD2＝AD·BD.
∵BE⊥AG，∴∠G＋∠CFE＝90°.
∵∠DBF＋∠BFD＝90°，∴∠G＝∠DBF.
∴△BDF∽△GDA.
∴＝，即AD·BD＝DF·DG.
∴CD2＝DF·DG.
4．如图，已知CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP.求证：CE2＝ED·EP.
证明：∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴△ACE∽△CBE.
∴＝，
即CE2＝AE·BE.
∵CE⊥AB，BG⊥AP,
∴∠EBD＋∠EDB＝∠P＋∠GDP＝90°.
∴∠EBD＝∠P.
∴△AEP∽△DEB.
∴＝，
即AE·EB＝ED·EP.
∴CE2＝ED·EP.
周周练 (27.1～27.2.1)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．(杭州中考)如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则＝(B)
A. B. C. D．1
2．下列两个图形一定相似的是(D)
A．任意两个等腰三角形
B．任意两个矩形
C．任意两个菱形
D．任意两个等边三角形
3．(哈尔滨中考)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是(C)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，则AB的长为(C)
A. B．8
C．10 D．16
5．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有(C)
A．△ADE∽△AEF
B．△ECF∽△AEF
C．△ADE∽△ECF
D．△AEF∽△ABF
6．(安徽中考)如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(B)
A．4 B．4
C．6 D．4
7．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝AD·AB；③AB边上与点C距离相等的点D有两个；④∠B＝∠ACB，其中，一定使△ABC∽△ACD的有(B)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是(A)
图1 图2
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为800__km.
10．如图，x＝2．
11．(娄底中考)如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是AB∥DE(答案不唯一)．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)
12．如图，点O是△ABC中任意一点，且AD＝OD，BE＝BO，CF＝CO，则△ABC∽△DEF，其相似比为3∶2．
13．(宁夏中考)如图，在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝DM.当AM⊥BM时，则BC的长为8．
14．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB.其中正确结论的序号是①④．
三、解答题(共44分)
15．(10分)如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.求：
(1)的值；
(2)BC的长．
解：(1)∵AD＝4，DB＝8，
∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12.
∴＝＝.
(2)∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝.
又∵DE＝3，∴＝.
∴BC＝9.
16．(10分)如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A.
(1)求证：△BDC∽△ABC；
(2)如果BC＝，AC＝3，求CD的长．
解：(1)证明：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC.
(2)∵△BDC∽△ABC，
∴＝，
即＝.∴CD＝2.
17．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12 cm，OB＝6 cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用t(单位：秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
解：①∵∠POQ＝∠BOA，若△POQ∽△BOA，
则＝，即＝.解得t＝2；
②∵∠POQ＝∠AOB，若△POQ∽△AOB，
则＝，即＝.解得t＝4.
综上所述，当t＝2或t＝4时，△POQ与△AOB相似．
18．(12分)(六盘水中考)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD.
(1)求证：△ADO∽△ACB；
(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.
证明：(1)∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB.∴∠ADO＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADO.
又∵∠A＝∠A，
∴△ADO∽△ACB.
(2)由(1)知△ADO∽△ACB，
∴＝.∴AD·BC＝AC·OD.
又∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.
27.2.2 相似三角形的性质
基础题
知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比
1．(重庆中考A卷)已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4∶1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为4∶1 .
2．如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，则AD∶A′D′＝3∶4．
3．若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是8∶9，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线长为__cm．
4．已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD＝4 cm，C′D′＝10 cm，AE是△ABC的一条高，AE＝4.8 cm.求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，且AE，A′E′是对应的高线，
∴＝，
即＝.
∴A′E′＝12 cm.
知识点2 相似三角形周长的比等于相似比
5．(西双版纳中考)如图，AB∥CD，＝，则△AOB的周长与△DOC的周长比是(D)
A. B. C. D.
6．如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm和5 cm，且较小三角形的周长为15 cm，那么较大三角形的周长为25cm.
7．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC＝5 cm，DF＝4 cm，求EF和AC的长．
解：∵相似三角形周长的比等于相似比，
∴＝.
∴EF＝BC＝×5＝(cm)．
同理＝，
∴AC＝DF＝×4＝(cm)．
∴EF的长是 cm，AC的长是 cm.
知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
8．(南京中考)若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′面积的比为(C)
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
9．(铜仁中考)如图，在▱ABCD中，点 E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B)
A．3∶4
B．9∶16
C．9∶1
D．3∶1
中档题
10．(南京中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是(C)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
11．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则BE∶CE＝(B)
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶25
12．(金华中考)如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E和C，F.若BC＝2，则EF的长是5．
13．(凉山中考)在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD∶S△COB＝或．
14．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，求△ACD的面积．
解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA.
∴＝()2＝()2＝.
∴＝.
∵△ABD的面积为15，
∴S△ACD＝5.
15．如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
解：(1)证明：∵DC＝AC，CF平分∠ACB，
∴AF＝DF.
又∵点E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线．
∴EF∥BD，即EF∥BC.
(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD.
∴＝()2.
又∵点E是AB的中点，∴＝.
∴＝.∴S△AEF＝S△ABD.
∴S△ABD－6＝S△ABD.∴S△ABD＝8.
综合题
16．(内江中考)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM＝AB.若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是1．
小专题(六) 三角形内接特殊四边形问题
——教材P58T11的变式与应用
教材母题：如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？
【母题分析】 (1)从总体上讲本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比．
(2)解决本题的关键点：由EF∥GH，得到△AEF∽△ABC.
(3)考查形式：正方形内接于三角形，解决正方形的边长与三角形边长之间的关系．
解：设正方形的边长为x mm，则EF＝x mm，
∵AD⊥BC，AD＝80 mm，
∴AK＝(80－x)mm.
∵正方形EFHG内接于△ABC，∴EF∥GH.
∴△AEF∽△ABC.∴＝，
即＝.解得x＝48.
∴这个正方形零件的边长是48 mm.
【方法指导】 解决本题的关键：(1)“内接”，所谓内接就是正方形的四个顶点都在三角形的边上，正因如此，故：①正方形的一边与三角形的一边平行，从而得到三角形相似；②大三角形的高等于正方形的边长与小三角形的高之和．(2)方程思想，利用相似三角形的性质——“相似三角形对应高的比等于相似比”这个等量关系，将已知边和未知边放在一个方程中．
1．(遂宁中考)如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，点D在边AB上，点G在边AC上，△ADG的面积是40，△ABC的面积是90，AM⊥BC于M，交DG于N，则AN∶AM＝2∶3．
2．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10，四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D，E，F在三角形的边上)，则此正方形的面积是25．
3．(安顺中考)如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，那么EH的长为．
4．如图，已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K.
(1)求的值；
(2)设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．
解：(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∵AK，AD分别是△AEF，△ABC的高，
∴＝.
∴＝＝.
(2)∵EH⊥BC，AD⊥BC，∴EH∥AD.
∴△BEH∽△BAD.∴＝①.
同理＝②.
①＋②，得＋＝1.
∵EH＝x，AD＝8，BC＝12，
∴EF＝12－x.
∴S＝EH·EF＝－x2＋12x＝－(x－4)2＋24.
∴S的最大值为24.
5．如图，Rt△ABC(∠C＝90°)中有三个内接正方形，DF＝9 cm，GK＝6 cm，求第三个正方形的边长PQ.
解：设PQ＝x cm，
∵GK∥PQ，
∴∠FKG＝∠KQP.
又∵∠FGK＝∠KPQ＝90°，
∴△FGK∽△KPQ.
∴ ＝.
∵FG＝EF－EG＝9－6＝3，
∴＝.解得x＝4.
∴第三个正方形的边长PQ为4 cm.
6．(怀化中考)如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC＝40 cm，AD＝30 cm.
(1)求证：△AEH∽△ABC；
(2)求这个正方形的边长与面积．
解：(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC.
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C.
∴△AEH∽△ABC.
(2)设AD与EH交于点M.
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM是矩形．
∴EF＝DM.
设正方形EFGH的边长为x cm.
∵△AEH∽△ABC，
∴＝，
即＝.∴x＝.
∴正方形EFGH的边长为 cm，面积为 cm2.
7．(莆田中考)若正方形的两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，各边上的高记为ha，hb，hc，各边上的内接正方形的边长分别记为xa，xb，xc.
(1)模型探究：如图，正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形，求证：＋＝；
(2)特殊应用：若∠BAC＝90°，xb＝xc＝2，求＋的值．
解：(1)证明：在正方形EFGH中，
∵EH∥FG，∴△AEH∽△ABC.
∵AD⊥BC，∴＝，即＝.
∴＋＝.
(2)如图，由题意，得四边形EFAD是正方形，
∴FE∥AB.
∴△CEF∽△CBA.
∴＝.
∵xb＝xc＝2，即AF＝EF＝2，CF＝b－2，
∴＝.
∴＋＝.
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，求点F到BC的距离.
解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H.
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴AD∶AB＝AG∶AC.
又∵∠BAC＝∠DAG，
∴△ADG∽△ABC.
∴∠ADG＝∠B.
∴DG∥BC.
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥DG.
∴FH⊥BC，AN⊥DG.
∵AB＝AC＝18，BC＝12，
∴BM＝BC＝6.
∴AM＝＝12.
∴＝.
∴＝.
∴AN＝6.
∴MN＝AM－AN＝6.
∴FH＝MN－GF＝6－6.
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10 cm，AD＝8 cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒3 cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于E，F，H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t＞0)．
(1)当t＝2时，连接DE，DF，求证：四边形AEDF为菱形；
(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长．
解：(1)证明：当t＝2时，DH＝AH＝4，则H为AD的中点，
又∵EF⊥AD，
∴EF为AD的垂直平分线．
∴AE＝DE，AF＝DF.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵EF⊥AD，AD⊥BC，
∴EF∥BC.
∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C.
∴∠AEF＝∠AFE.∴AE＝AF.
∴AE＝AF＝DE＝DF.∴四边形AEDF为菱形．
(2)由(1)知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC.
∴＝，即＝.解得EF＝10－t.
∴S△PEF＝EF·DH＝×(10－t)·2t＝－t2＋10t＝－(t－2)2＋10.
∴当t＝2时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP＝3t＝6.
小专题(七) 相似三角形性质与判定的综合运用
类型1 利用三角形相似求线段长或三角形面积
1．(遵义中考)如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是(A)
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为．
3．(广安中考)如图，三个正方形的边长分别为2，6，8，则图中阴影部分的面积为21．
4．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝．
5．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB.
(1)求证：△AEC∽△DEB；
(2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．
解：(1)证明：∵＝，
∴∠C＝∠DBE.
又∵∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB.
(2)∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径，∴BE＝AE＝AB＝4.
∵△AEC∽△DEB，∴＝，即＝.
∴CE＝8.∴CD＝10.∴⊙O的半径为5.
类型2 利用三角形相似建立函数关系
6．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是(D)
A B C D
7．已知：如图，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F.点D为BC上一点，连接DE，DF.设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为(D)
A B C D
8.(淄博中考)如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点(点P与点B，C不重合)，▱AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1.设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．
解：(1)∵四边形AFPE是平行四边形，
∴PF∥CA.
∴△BFP∽△BAC.
∴＝()2.
∵S△ABC＝1，∴S△BFP＝.
同理S△PEC＝()2.
∴y＝1－－.
∴y＝－＋x.
(2)y＝－＋x＝－(x－1)2＋.
当x＝1时，y有最大值，最大值为.
类型3 利用三角形相似解决点动型问题
9．如图，平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(0，2)，B(1，0)，点P是反比例函数y＝－图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q.若以点O，P，Q为顶点的三角形与△OAB相似，求满足条件的点P的坐标．
解：设P(x，y)．
若△PQO∽△AOB，则
＝，即＝.
∵点P在反比例函数
y＝－的图象上，
∴xy＝－1.∴x＝±.
∴点P的坐标为(，－)或(－，)．
同理，若△PQO∽△BOA，求得点P的坐标为(－，)或(，－)．
综上所述，满足条件的点P的坐标为(，－)，(－，)，(－，)或(，－)．
10．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当P在 位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足．当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标．
解：(1)把A(－1，0)，B(4，0)代入y＝－x2＋bx＋c中，得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.
(2)∵PE⊥x轴，CF⊥PE，
∴∠PFC＝∠OEF＝∠COB＝90°.
∴四边形OCFE为矩形．∴OC＝EF＝4.
设P(m，－m2＋3m＋4)，则PF＝|－m2＋3m＋4－4|＝|－m2＋3m|.
∵B(4，0)，C(0，4)，
∴OB＝OC.∴△BOC为等腰直角三角形．
若以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似，则△PCF也是等腰直角三角形．
∴PF＝CF.∴m＝|－m2＋3m|.
当P在F上方时，m＝－m2＋3m，
解得m1＝0，m2＝2.
当m＝0时，P与C重合，舍去．
把m＝2代入y＝－x2＋3x＋4，得y＝6，
∴P(2，6)．
当P在F下方时，m＝m2－3m，
解得m3＝0(舍去)，m4＝4.
把m＝4代入y＝－x2＋3x＋4，得y＝0，
∴P(4，0)．
综上所述，点P的坐标(2，6)或(4，0)．
27.2.3 相似三角形应用举例
基础题
知识点1 测量物高
1．如图，某一时刻，测得旗杆的影长为8 m，李明测得小芳的影长为1 m，已知小芳的身高为1.5 m，则旗杆的高度是12m.
2．(新疆中考)如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4 m的位置上，则网球拍击球的高度h为1.4m．
3．如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN＝2米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为3米．
4．如图，已知有两堵墙AB，CD，AB墙高2米，两墙之间的距离BC为8米，小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外．将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为7.5米．
5．如图是小玲设计的用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是多少米？
解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP.
∴＝，即＝.
解得CD＝8.
答：该古城墙CD的高度是8米．
知识点2 测量距离
6．(北京中考)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
7．如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB∶AP＝2∶5，BC＝20 cm，则PQ的长是(B)
A．45 cm B．50 cm C．60 cm D．80 cm
8．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝2.5__mm.
9．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔60米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为30米．
中档题
10．(柳州中考)小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(A)
A．10米
B．12米
C．15米
D．22.5米
11．(绵阳中考)为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm，则旗杆DE的高度等于(B)
A．10 m
B．12 m
C．12.4 m
D．12.32 m
12．(菏泽中考)如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离．
解：连接MN.
∵＝＝，＝＝，∴＝.
又∵∠BAC＝∠NAM，
∴△BAC∽△NAM.
∴＝，即＝.∴MN＝1 500.
答：M，N两点之间的直线距离为1 500米．
13．(陕西中考)某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”以及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为C点，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到D点时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．如图，已知AB⊥CD，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
解：由题意，得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，
∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF，
∴△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH.
∴＝，＝，
即＝，＝.
解得AB＝99.
答：“望月阁”的高AB的长度为99米．
综合题
14．(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生板凳如图所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)
解：过点C作CM∥AB，分别交EF，AD于N，M，作CP⊥AD，分别交EF，AD于Q，P.
由题意，得四边形ABCM是平行四边形，
∴EN＝AM＝BC＝20 cm.
∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．
由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，
∴CQ＝32 cm.
∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.
∴＝，即＝.
∴NF＝24 cm.
∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．
答：横梁EF应为44 cm.
27．3 位似
第1课时 位似图形的概念及画法
基础题
知识点1 位似图形
1．下列说法不正确的是(D)
A．位似图形一定是相似图形
B．相似图形不一定是位似图形
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
2．用作位似图形的方法可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在(D)
A．原图形的外部 B．原图形的内部
C．原图形的边上 D．任意位置
3．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是(D)
4．两个位似图形中，对应点到位似中心的距离之比为2∶3，则这两个图形的相似比为(A)
A．2∶3 B．4∶9
C.∶ D．1∶2
5．如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是(A)
A．点P B．点O
C．点M D．点N
6．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为(B)
A．1 B．2 C．4 D．8
7．(成都中考)如图，四边形ABCD 和A′B′C′D′ 是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(A)
A．4∶9
B．2∶5
C．2∶3
D.∶
知识点2 位似图形的画法
8．下列是△ABC位似图形的几种画法，如图，其中正确的个数有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.
解：如图所示，△A′B′C′为所求的三角形．
中档题
10．如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是(D)
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．∠ADE＝∠B
D．点B与点E，点C与点D是对应点
11．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC∶AF＝2∶3，则下列结论不正确的是(B)
A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
B．AD与AE的比是2∶3
C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3
D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶9
12．(济宁中考)如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为18__cm．
13．(钦州中考)如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依此规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝16．
14．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且相似比是1∶2，若AB＝2 cm，则A′B′＝4cm，并在图中画出位似中心O.
解：如图所示．
15．如图，已知△DEO与△ABO是位似图形，△OEF与△OBC是位似图形，求证：OD·OC＝OF·OA.
证明：∵△DEO与△ABO位似，
∴＝.
∵△OEF与△OBC位似，
∴＝.
∴＝.
∴OD·OC＝OF·OA.
综合题
16．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心O；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的相似比；
(3)以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比等于1.5.
解：(1)位似中心O的位置如图所示．
(2)∵＝，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2.
(3)如图所示．
第2课时 平面直角坐标系中的位似
基础题
知识点1 位似图形的坐标变化规律
1．(武汉中考)如图，在平面直角坐标系中有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为(A)
A．(2，1) B．(2，0)
C．(3，3) D．(3，1)
2．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，得到△OA′B′.若点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是(C)
A．(2，4) B．(－1，－2)
C．(－2，－4) D．(－2，－1)
3．(辽阳中考)如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为(C)
A．(0，0) B．(0，1)
C．(－3，2) D．(3，－2)
4．(东营中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是(D)
A．(－1，2) B．(－9，18)
C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2)
5．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则大鱼上的一点(a，b)对应小鱼上的点的坐标是(－0.5a，－0.5b)．
知识点2 坐标系内图形的位似作图
6．如图，在直角坐标系中，作出五边形ABCDE的位似图形，使得新图形A1B1C1D1E1与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点O.
解：如图所示．
中档题
7．如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A(3，4)，点C(2，2)，点D(3，1)，则点D的对应点B的坐标是(C)
A．(4，2) B．(4，1) C．(5，2) D．(5，1)
8．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是(D)
A．(1，0) B．(－5，－1)
C．(1，0)或(－5，－1) D．(1，0)或(－5，－2)
9．如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为(C)
A．(0，0)，2
B．(2，2)，
C．(2，2)，2
D．(2，2)，3
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)，以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA1B1C1.B的对应点为B1，且B1在OB的延长线上，则B1的坐标为__(4，2)．
11．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与A′(－2，0)是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是6.
12．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，在图中画出位似中心的位置，并求出位似中心的坐标.
解：位似中心的位置如图所示，位似中心的坐标为(9，0)．
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)．
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A(2.5，3)，则A′的坐标为(5，6)；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为 1∶2；
(2)若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．(用含m的代数式表示)
解：∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，
∴＝.
∵△ABC的面积为m，∴△A′B′C′的面积为4m.
综合题
14．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，求点B的横坐标．
解：过B′作B′F⊥x轴于点F，过B作BE⊥x轴于点E，则∠BEC＝∠B′FC＝90°.
又∵∠BCE＝∠B′CF，
∴△BEC∽△B′FC.
∴＝.
∵△ABC∽△A′B′C，且相似比为，
∴＝＝.
∵点B′的横坐标是a，点C的坐标是(－1，0)，
∴FO＝a，CO＝1.∴FC＝a＋1.
∴EC＝(a＋1)．
∴点B的横坐标是：－(a＋1)－1＝－(a＋3)．
周周练(27.2.2～27.3)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．
其中正确命题的序号是(A)
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
2．如果两个相似多边形的对应边上的高的比为1∶5，那么它们的周长比为(B)
A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶
3．已知一棵树的影长是30 m，同一时刻一根长1.5 m的标杆的影长为3 m，则这棵树的高度是(A)
A．15 m B．60 m C．20 m D．10 m
4．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是(D)
A．3 B．6 C．9 D．12
5．如图，以O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为(B)
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶6
6．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成像CD的长是(D)
A. cm B. cm C. cm D．1 cm
7．(朝阳中考)已知两点A(5，6)，B(7，2)，先将线段AB向左平移一个单位长度，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为(A)
A．(2，3) B．(3，1)
C．(2，1) D．(3，3)
8．(巴彦淖尔中考)如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2.若S＝3，则S1＋S2的值为(B)
A．24
B．12
C．6
D．3
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．(湘潭中考)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比S△ADE∶S△ABC＝__.
10．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则＝．
11．(天水中考)如图所示，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离路灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM的长为5米．
12．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是(，)．
13．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝1.05里．
14．如图，双曲线y＝经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足＝，与BC交于点D，S△BOD＝21，则k＝8．
三、解答题(共44分)
15．(9分)如图，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是(2，－2)；
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2∶1，点C2的坐标是(1，0)；
(3)△A2B2C2的面积是10平方单位．
解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
16．(9分)一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.8 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2 m，又测得地面部分的影长为5 m，请算一下这棵树的高是多少？
解：延长AD交BC于E，
∴＝.
∴CE＝0.96 m.
∴BE＝5.96 m.
∵＝，∴AB＝7.45 m.
答：这棵树的高是7.45 m.
17．(12分)如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3，若∠B＋∠B′＝90°，求△ABC与△A′B′C′的面积比．
解：分别作AD⊥BC于点D，A′D′⊥B′C′于点D′，
则∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90°.
又∵∠B＋∠B′＝90°，∴∠BAD＝∠B′.
∴△ABD∽△B′A′D′.
∴S△ABD∶S△B′A′D′＝AB2∶A′B′2＝25∶9.
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴S△ABC＝2S△ABD.
同理可得S△A′B′C′＝2S△B′A′D′.
∴S△ABC∶S△A′B′C′＝25∶9.
18．(14分)如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.
(1)求证：△OCP∽△PDA；
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边AB的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
由折叠可得AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B.
∴∠APO＝90°.
∴∠APD＝90°－∠CPO＝∠POC.
∵∠C＝∠D，∠POC＝∠APD，
∴△OCP∽△PDA.
(2)∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，
∴＝＝＝＝.
∴PD＝2OC，PA＝2OP，DA＝2CP.
∵AD＝8，∴CP＝4，BC＝8.
设OP＝x，则OB＝x，CO＝8－x.
在Rt△PCO中，∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，CO＝8－x，
∴x2＝(8－x)2＋42.解得x＝5.
∴AB＝AP＝2OP＝10.
章末复习(二) 相似
基础题
知识点1 图形的相似
1．下列各组图形不一定相似的是(D)
A．两个等边三角形
B．各有一个角是100°的两个等腰三角形
C．两个正方形
D．各有一个角是45°的两个等腰三角形
2．如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝60°，∠E＝120°，DC＝24，HE＝18，HG＝21，则∠F＝60°，∠D＝110°，AD＝28．
知识点2 平行线分线段成比例
3．(宝安区期末)如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(A)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4．(黄浦区一模)如图，已知AD，BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝4.5．
知识点3 相似三角形的判定与性质
5．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝(A)
A．2∶3 B．2∶5 C．3∶5 D．3∶2
6．如图，在△ABC中，点D在线段BC上且∠BAD＝∠C，BD＝2，CD＝6，则AB的值是(C)
A．12 B．8 C．4 D．3
7．如图，已知在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB，延长AD，BC相交于点E.求证：
(1)△ACE∽△BDE；
(2)BE·DC＝AB·DE.
证明：(1)∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠BDE＝∠ACE.
又∵∠E＝∠E，
∴△ACE∽△BDE.
(2)∵△ACE∽△BDE，
∴＝.∴＝.
又∵∠E＝∠E，∴△ECD∽△EAB.
∴＝.∴BE·DC＝AB·DE.
知识点4 相似三角形的应用
8．九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，则旗杆AB的高度为13.5m.
知识点5 位似
9．(锦州中考)如图，线段AB两个端点的坐标分别为 A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为 (C)
A．(2，2)，(3，2)
B．(2，4)，(3，1)
C．(2，2)，(3，1)
D．(3，1)，(2，2)
中档题
10．(枣庄中考)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)
11．如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形，PQ与AC相交于点M，则下列结论中正确的是(D)
①AB∥CQ；②∠ACQ＝60°；③AP2＝AM·AC；④若BP＝PC，则PQ⊥AC.
A．只有①② B．只有①③
C．只有①②③ D．①②③④
12．(杭州中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于__78．
13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．
解：(1)证明：连接CO，OE，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠BCD＝90°.
∵E是BD中点，
∴CE＝BE＝BD.
又∵OC＝OB，OE＝OE，
∴△COE≌△BOE(SSS)．∴∠OCE＝∠OBE.
∵BD为⊙O的切线，∴∠OBE＝90°.
∴∠OCE＝90°.∴CE是⊙O的切线．
(2)∵∠ACB＝90°，∴AD⊥BC.
在Rt△ABD中，△ABC∽△BDC，
∴＝，即＝.
解得DC＝1.
在Rt△BCD中，BD＝＝＝.
∴CE＝BD＝.
综合题
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：
(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
(2)求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；
(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？
解：(1)由题意，AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t.
当QA＝AP时，△QAP为等腰直角三角形，即6－t＝2t.解得t＝2.
所以，当t＝2时，△QAP为等腰直角三角形．
(2)在△QAC中，QA＝6－t，QA边上的高DC＝12，
∴S△QAC＝QA·DC＝(6－t)·12＝36－6t.
在△APC中，AP＝2t，AP边上的高BC＝6，
∴S△APC＝AP·BC＝·2t·6＝6t.
∴S四边形QAPC＝S△QAC＋S△APC＝(36－6t)＋6t＝36(平方厘米)．
由计算结果发现：在P，Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变(也可提出：P，Q两点到对角线AC的距离之和保持不变)．
(3)根据题意，可分两种情况：
①当＝时，△QAP∽△ABC，那么有：＝，解得t＝1.2；
②当＝时，△QAP∽△CBA，那么有：＝，解得t＝3.
综上所述，当t＝1.2或3时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似．
第二十七章 相似
27．1 图形的相似
基础题
知识点1 相似图形
1．下列各组图形相似的是(B)
2．下列各项中不是相似图形的是(C)
A．放大镜里看到的三角板与原来的三角板
B．同一张底片洗出的2寸相片和1寸相片
C．哈哈镜里看到的人像与真人像
D．课本里的中国地图和教室墙上挂的中国地图
知识点2 成比例线段
3．下列各组线段成比例的是(D)
A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cm
B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm
D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm
4．已知线段a，b，c，d成比例，且＝，其中a＝8 cm，b＝4 cm，c＝12 cm，则d＝6cm.
5．在比例尺为1∶200 000的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B两地间的实际距离为9__000m.
知识点3 相似多边形
6．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为(A)
A. B.
C. D.
7．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为(B)
A．6 B．8
C．12 D．10
8．(莆田中考)下列四组图形中，一定相似的是(D)
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
9．如图是两个相似四边形，已知数据如图所示，则x＝，α＝80°．
10．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．
解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
理由：∵A′，B′分别是OA，OB的中点，
∴A′B′∥AB，A′B′＝AB.
∴∠OA′B′＝∠OAB，＝.
同理，∠OA′D′＝∠OAD，＝.
∴∠B′A′D′＝∠BAD，＝.
同理，∠A′D′C′＝∠ADC，∠D′C′B′＝∠DCB，∠C′B′A′＝∠CBA，
＝＝＝，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
中档题
11．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(C)
A．150° B．105°
C．15° D．无法确定大小
12．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为(B)
A．2 B．3
C．－3 D．3或－3
13．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B)
A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F
14．(教材P28T5的变式)如图，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AD＝1.5，AB＝4.5，AE＝1.4，AC＝4.2.
(1)求，，的值；
(2)证明△ADE与△ABC相似.
解：(1)＝＝，
＝＝，
＝＝.
(2)∵DE∥BC,
∴∠D＝∠B，∠E＝∠C.
又∵∠DAE＝∠BAC，＝＝，
∴△ADE与△ABC相似．
15．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°.
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.
∴AE＝EG＝FG＝AF.
又∵∠EAF＝90°，
∴四边形AFGE为正方形．
∴＝＝＝，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．
综合题
16．(教材P28T8的变式)如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
解：(1)若设AD＝x(x＞0)，则DM＝.
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴＝，
即＝.解得x＝4(舍负)．
∴AD的长为4.
(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为
＝＝.
27．2 相似三角形
27．2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
基础题
知识点1 相似三角形的有关概念
1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A)
A.＝＝
B.＝
C.＝＝
D.＝
2．已知△ABC和△A′B′C′相似，且△ABC与△A′B′C′的相似比为R1，△A′B′C′与△ABC的相似比为R2，则R1与R2的关系是(D)
A．R1＝R2 B．R1R2＝－1
C．R1＋R2＝0 D．R1R2＝1
知识点2 平行线分线段成比例定理及推论
3．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(C)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4．(兰州中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则＝(C)
A. B. C. D.
5．(临沂中考)如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AD＝10，则AO＝4．
6．如图，EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．
解：∵EG∥BC，∴＝.
∵GF∥CD，∴＝.
∴＝，即＝.
∴FD＝4.
∴AD＝AF＋FD＝10.
知识点3 相似三角形判定的预备定理
7．(杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(B)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
8．(自贡中考)如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为1.
9．如图，△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？
解：共有3对相似三角形，分别是：
△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.
中档题
10．(天津中考)如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于(D)
A．3∶2 B．3∶1
C．1∶1 D．1∶2
11．(恩施中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为(C)
A．6 B．8 C．10 D．12
12．(南京中考)如图，AB，CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD.EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为．
13．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点D在边AB所在的直线上，且AD＝2，过点D作DE∥BC交边AC所在的直线于点E，则CE的长为6或12．
14．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE＝10米，BC＝18米，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?
解：∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE.
∴＝，
即＝.∴AD＝10.
答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A.
15．如图，已知：AB＝AD，AC＝AE，FG∥DE.求证：△ABC∽△AFG.
证明：∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC≌△ADE.
∴BC＝DE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED.
∵FG∥DE，
∴△AFG∽△ADE.
∴＝＝.
∴＝＝.
又∵∠C＝∠AED＝∠G，
∠B＝∠ADE＝∠F，
∠BAC＝∠FAG，
∴△ABC∽△AFG.
综合题
16．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．
解：∵在△ABC中，EG∥BC，
∴△AEG∽△ABC.
∴＝，
即＝.∴EG＝6.
∵在△BAD中，EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD.∴＝，
即＝.∴EF＝.
∴FG＝EG－EF＝.
第2课时 相似三角形的判定定理1，2
基础题
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形(A)
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判断
2．已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似(C)
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
3．(宜昌模拟)下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(B)
4．如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．
解：相似．
理由：∵＝＝，＝＝，
＝＝，
∴＝＝.
∴△ABC∽△ADE.
知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
5．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(C)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(C)
7．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝3时，△ABC∽△A′B′C′.
8．如图，已知AB·AD＝AC·AE，∠B＝30°，则∠E＝30°．
9．如图，已知正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.
证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a.
∵Q是CD的中点，BP＝3PC，
∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a.
∴＝＝.
又∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ADQ∽△QCP.
中档题
10．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处(C)
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
11．如图，在等边△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，则有(B)
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
12．(杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若＝，求的值．
解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，
∴∠ADF＝∠C.
又∵＝，
∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG.
∴＝＝.
∴＝1.
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.
(1)通过计算，判断AD2与AC·CD 的大小关系；
(2)求∠ABD 的度数．
解：(1)∵AD＝BC＝，
∴AD2＝()2＝.
∵AC＝1，
∴CD＝1－＝.
∴AD2＝AC·CD.
(2)∵AD2＝AC·CD，
∴BC2＝AC·CD，即＝.
又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.∴＝.
又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.
∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.
设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.
解得x＝36°.
∴∠ABD＝36°.
综合题
14．(武汉中考改编)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．
解：由题意，得BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm.
①∵∠PBQ＝∠ABC，
∴若△BPQ∽△BAC，则还需＝，
即＝.解得t＝1；
②∵∠PBQ＝∠CBA，
∴若△BPQ∽△BCA，则还需＝，
即＝.解得t＝.
综上所述，当t＝1或时，以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
第3课时 相似三角形的判定定理3
基础题
知识点1 两角分别相等的两个三角形相似
1．有一个角为30°的两个直角三角形一定(B)
A．全等 B．相似
C．既全等又相似 D．无法确定
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法中错误的是(C)
A．△ACD∽△CBD B．△ACD∽△ABC
C．△BCD∽△ABC D．△BCD∽△BAC
3．如图，锐角△ABC的边AB，AC上的高线CE，BF相交于点D，请写出图中的一对相似三角形答案不唯一，如：△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE．(用相似符号连接)
4．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是△EFD，△HGK.
5．(毕节中考)如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则BD＝．
6．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC.求证：△ABC∽△FDE.
证明：∵FD∥AB，FE∥AC，
∴∠B＝∠FDE，∠C＝∠FED.∴△ABC∽△FDE.
7．如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，
AC上的点，∠A＝35°，∠C＝90°，∠AED＝55°.求证：AD·AB＝AE·AC.
证明：∵∠A＝35°，∠C＝90°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－35°－90°＝55°.
∴∠B＝∠AED＝55°.
又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED.
∴＝，即AD·AB＝AE·AC.
知识点2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
8．在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D)
A．∠B＝∠B1 B.＝
C.＝ D.＝
9．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm和15 cm，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为6 cm和 cm，这两个直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形．
10．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝10时，△ABC∽△A′B′C′.
中档题
11．(荆州中考)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是(D)
A．∠ABP＝∠C
B．∠APB＝∠ABC
C.＝
D.＝
12．(毕节中考)如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于(A)
A. B. C. D.
13．下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一个角是50°的两个等腰三角形相似；③有一个角是60°的两个等腰三角形相似；④有一个角是110°的两个等腰三角形相似；⑤所有的等腰直角三角形都相似．其中真命题是③④⑤(填序号)．
14．(齐齐哈尔中考)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为113°或92°．
15．(天津中考改编)如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，求AE的长．
解：∵△ABC是边长为9的等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝9.
∴∠BAD＋∠ADB＝120°.
∵∠ADE＝60°，
∴∠CDE＋∠ADB＝120°.
∴∠BAD＝∠CDE.
又∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE.
∴＝，即＝.∴CE＝2.
∴AE＝9－2＝7.
16．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？
解：①若△ABC∽△ADB，
则需＝，
即＝.∴AD＝3.
②若△ABC∽△DAB，
则需＝，
即＝.∴AD＝3.
综上所述，当AD＝3或3时，图中两直角三角形相似．
综合题
17．(滨州中考改编)如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴∠APQ＝∠CDQ.
又∵∠AQP＝∠CQD，
∴△APQ∽△CDQ.
(2)当t＝5时，DP⊥AC.
理由：∵t＝5，∴AP＝5.
∴＝.
又∵＝，
∴＝.
又∵∠PAD＝∠ADC＝90°，
∴△PAD∽△ADC.
∴∠ADP＝∠DCA.
∵∠ADP＋∠CDP＝∠ADC＝90°，
∴∠DCA＋∠CDP＝90°.
∴∠DQC＝90°，即DP⊥AC.
小专题(四) 相似三角形的基本模型
模型1 X字型及其变形
(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；
(2)如图2，对顶角的对边不平行，且∠OAB＝∠OCD，则△ABO∽△CDO.
1．(恩施中考)如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于(D)
A．1∶4 B．1∶3
C．2∶3 D．1∶2
2．(黔东南中考)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．
3．如图，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．
解：∵∠ADE＝∠ACB，
∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝∠ECF.
又∵∠BFD＝∠EFC，
∴△BDF∽△ECF.
∴＝，即＝.∴DF＝4.
模型2 A字型及其变形
(1)如图1，公共角的对边平行，则△ADE∽△ABC；
(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC；
(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD∽△ABC.
4．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.
证明：在△AEF和△ACG中，
∠AFE＝∠AGC＝90°，
∠EAF＝GAC，
∴△AEF∽△ACG.
∴∠AEF＝∠ACG.
在△ADE和△ABC中，
∠BAC为公共角，
∠AEF＝∠ACG，
∴△ADE∽△ABC.
5．如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：＋＝.
证明：∵AB∥EF，
∴△DEF∽△DAB.
∴＝.
又∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD.
∴＝.
∴＋＝＋＝＝1.
∴＋＝.
模型3 双垂型
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.
6．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3，则斜边AB的长为(B)
A．3 B．15
C．9 D．3＋3
7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC＝3．
模型4 M字型及其变形
(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB；
(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，∠ABC＝∠ACD，则再已知一组条件，可得△ABC与△DCE相似．
图1 图2
8．(江西中考)如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°.
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°.
∴∠BEF＝∠CFG.
∴△EBF∽△FCG.
9．如图，△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点，要使△DCE和△ABC相似，求线段CE的长.
解：∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝∠B＋∠A，∠ACD＝∠B，∴∠DCE＝∠A.
∴∠A与∠DCE是对应角．
∴△DCE和△ABC相似有两种情况：
①若△BAC∽△ECD，则需满足＝，
即＝.∴CE＝；
②若△BAC∽△DCE，则需满足＝，
即＝.∴CE＝3.
综上所述，CE的长为或3.
10．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°.
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.
∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.
(2)∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，
∴AE＝DE＝2.
由(1)知，△ABE∽△DEF，
∴＝，即＝.
∴DF＝1.∴CF＝3.
∵ED∥CG，
∴△EDF∽△GCF.
∴＝，即＝.
∴GC＝6.
∴BG＝BC＋GC＝10.
小专题(五) 利用三角形相似证明乘积式
一、直接法——三点定形法
“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法．具体做法有两种：一种是“横定”，即看比例式上面两条线段和下面两条线段能否分别组成三角形；另一种是“竖定”，即看等号左右两边的两条线段能否组成一个三角形．
【例1】 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于点E，交BC延长线于F.求证：CD2＝DE·DF.
【思路点拨】 先将乘积式化成比例式为＝，然后不管是“横定”还是“竖定”都是△CDE和△CDF，则只需证明这两个三角形相似即可．
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠F＋∠FEC＝90°.
∵DF⊥AB，
∴∠A＋∠AED＝90°.
∵∠AED＝∠FEC，
∴∠A＝∠F.
∵CD是Rt△ABC斜边AB的中线，∴CD＝DA.
∴∠A＝∠ACD.∴∠ACD＝∠F.
又∵∠CDE＝∠FDC，
∴△CDE∽△FDC.
∴＝.∴CD2＝DE·DF.
1．(黄冈中考)如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC，求证：
(1)∠PBC＝∠CBD；
(2)BC2＝AB·BD.
证明：(1)连接OC，∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PD.
又∵BD⊥PC，∴OC∥BD.∴∠CBD＝∠OCB.
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB.
∴∠PBC＝∠CBD.
(2)连接AC，∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°.∴∠ACB＝∠CDB.
又∵∠ABC＝∠CBD，∴△ACB∽△CDB.
∴＝，即BC2＝AB·BD.
二、间接法
方法1 等量过渡法(等线段代换法)
遇到“三点定形法”无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线，然后再应用“三点定形法”确定相似三角形．
【例2】 如图，△ABC中，AD平分∠BAC, AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E.求证：DE2＝BE·CE.
【思路点拨】 观察图形发现，乘积式中的线段都在一条直线上，无法直接利用“三点定形法”找三角形，由条件“EF是AD的垂直平分线”可知DE＝AE，将乘积式中的DE换成AE，即可找出两个三角形△ABE和△ACE，则只需证明这两个三角形相似即可．
证明：连接AE，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE, ∠ADE＝∠DAE.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD＝∠DAC.
∵∠ACE＝∠ADC＋∠DAC，
∠BAE＝∠DAE＋∠BAD，
∴∠ACE＝∠BAE.
又∵∠AEC＝∠BEA，
∴△ACE∽△BAE.
∴＝.
∴AE2＝BE·CE，
即DE2＝BE·CE.
2．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF＝∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG.求证：
(1)DF是⊙O的切线；
(2)OC2＝OE·OP.
证明：(1)连接OD.
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA.
∵∠DAF＝∠DAB，
∴∠ODA＝∠DAF.
∴OD∥AF.
∵DF⊥AF，
∴DF⊥OD.
∴DF是⊙O的切线．
(2)在△ODE和△OPD中，
∵∠ODP＝∠OED＝90°，∠DOP＝∠EOD，
∴△ODE∽△OPD.
∴＝，即OD2＝OE·OP.
又∵OC＝OD，
∴OC2＝OE·OP.
方法2 等比过渡法(等比代换法)
当用“三点定形法”不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用“等比代换法”，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用“三点定形法”来确定三角形．
【例3】 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F.求证：AB·AF＝AC·DF.
【思路点拨】 运用“竖定”的两个三角形△ABC和△ADF明显不相似，一个是直角三角形，一个是钝角三角形．由条件“直角三角形斜边上的高”这一基本图形，可知△ABD∽△CAD，即＝，所以利用这个桥梁，只需证明＝即可．
证明：∵AD⊥BC，E是AC的中点，
∴DE＝EC.
∴∠EDC＝∠C.
∵∠BAC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠C＝90°.
∴∠BAD＝∠C.
∵∠BDF＝∠EDC，∴∠BDF＝∠BAD.
又∵∠F为公共角，
∴△BDF∽△DAF.∴＝.
∵∠ADB＝∠ADC＝90°， ∠BAD＝∠C，
∴△ABD∽△CAD.∴＝.
∴＝，即AB·AF＝AC·DF.
3．如图，△ABC中，AB
则△EMC∽△ABC.
∴＝.
∴＝.
同理可得△EMF∽△DBF，∴＝.
又∵BD＝EC，∴＝.
∴＝，即AB·DF＝AC·EF.
方法3 等积过渡法(等积代换法)
用“三点定形法”无法确定三角形，又不能找到相等的线段或相等的比作代换，这时可考虑直接将乘积式换成相等的乘积式．
【例4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F.求证：CD2＝DF·DG.
【思路点拨】由“CD是Rt△ABC斜边AB上的高”这一基本模型可知CD2＝AD·BD，只需证明AD·BD＝DF·DG即可．
证明：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠CBD＝90°.
∴∠ACD＝∠CBD.
∴△ACD∽△CBD.
∴＝，即CD2＝AD·BD.
∵BE⊥AG，∴∠G＋∠CFE＝90°.
∵∠DBF＋∠BFD＝90°，∴∠G＝∠DBF.
∴△BDF∽△GDA.
∴＝，即AD·BD＝DF·DG.
∴CD2＝DF·DG.
4．如图，已知CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP.求证：CE2＝ED·EP.
证明：∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴△ACE∽△CBE.
∴＝，
即CE2＝AE·BE.
∵CE⊥AB，BG⊥AP,
∴∠EBD＋∠EDB＝∠P＋∠GDP＝90°.
∴∠EBD＝∠P.
∴△AEP∽△DEB.
∴＝，
即AE·EB＝ED·EP.
∴CE2＝ED·EP.
周周练 (27.1～27.2.1)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．(杭州中考)如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则＝(B)
A. B. C. D．1
2．下列两个图形一定相似的是(D)
A．任意两个等腰三角形
B．任意两个矩形
C．任意两个菱形
D．任意两个等边三角形
3．(哈尔滨中考)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是(C)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，则AB的长为(C)
A. B．8
C．10 D．16
5．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有(C)
A．△ADE∽△AEF
B．△ECF∽△AEF
C．△ADE∽△ECF
D．△AEF∽△ABF
6．(安徽中考)如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(B)
A．4 B．4
C．6 D．4
7．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝AD·AB；③AB边上与点C距离相等的点D有两个；④∠B＝∠ACB，其中，一定使△ABC∽△ACD的有(B)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是(A)
图1 图2
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为800__km.
10．如图，x＝2．
11．(娄底中考)如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是AB∥DE(答案不唯一)．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)
12．如图，点O是△ABC中任意一点，且AD＝OD，BE＝BO，CF＝CO，则△ABC∽△DEF，其相似比为3∶2．
13．(宁夏中考)如图，在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝DM.当AM⊥BM时，则BC的长为8．
14．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB.其中正确结论的序号是①④．
三、解答题(共44分)
15．(10分)如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.求：
(1)的值；
(2)BC的长．
解：(1)∵AD＝4，DB＝8，
∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12.
∴＝＝.
(2)∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝.
又∵DE＝3，∴＝.
∴BC＝9.
16．(10分)如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A.
(1)求证：△BDC∽△ABC；
(2)如果BC＝，AC＝3，求CD的长．
解：(1)证明：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC.
(2)∵△BDC∽△ABC，
∴＝，
即＝.∴CD＝2.
17．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12 cm，OB＝6 cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用t(单位：秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
解：①∵∠POQ＝∠BOA，若△POQ∽△BOA，
则＝，即＝.解得t＝2；
②∵∠POQ＝∠AOB，若△POQ∽△AOB，
则＝，即＝.解得t＝4.
综上所述，当t＝2或t＝4时，△POQ与△AOB相似．
18．(12分)(六盘水中考)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD.
(1)求证：△ADO∽△ACB；
(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.
证明：(1)∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB.∴∠ADO＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADO.
又∵∠A＝∠A，
∴△ADO∽△ACB.
(2)由(1)知△ADO∽△ACB，
∴＝.∴AD·BC＝AC·OD.
又∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.
27.2.2 相似三角形的性质
基础题
知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比
1．(重庆中考A卷)已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4∶1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为4∶1 .
2．如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，则AD∶A′D′＝3∶4．
3．若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是8∶9，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线长为__cm．
4．已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD＝4 cm，C′D′＝10 cm，AE是△ABC的一条高，AE＝4.8 cm.求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，且AE，A′E′是对应的高线，
∴＝，
即＝.
∴A′E′＝12 cm.
知识点2 相似三角形周长的比等于相似比
5．(西双版纳中考)如图，AB∥CD，＝，则△AOB的周长与△DOC的周长比是(D)
A. B. C. D.
6．如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm和5 cm，且较小三角形的周长为15 cm，那么较大三角形的周长为25cm.
7．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC＝5 cm，DF＝4 cm，求EF和AC的长．
解：∵相似三角形周长的比等于相似比，
∴＝.
∴EF＝BC＝×5＝(cm)．
同理＝，
∴AC＝DF＝×4＝(cm)．
∴EF的长是 cm，AC的长是 cm.
知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
8．(南京中考)若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′面积的比为(C)
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
9．(铜仁中考)如图，在▱ABCD中，点 E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B)
A．3∶4
B．9∶16
C．9∶1
D．3∶1
中档题
10．(南京中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是(C)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
11．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则BE∶CE＝(B)
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶25
12．(金华中考)如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E和C，F.若BC＝2，则EF的长是5．
13．(凉山中考)在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD∶S△COB＝或．
14．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，求△ACD的面积．
解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA.
∴＝()2＝()2＝.
∴＝.
∵△ABD的面积为15，
∴S△ACD＝5.
15．如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
解：(1)证明：∵DC＝AC，CF平分∠ACB，
∴AF＝DF.
又∵点E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线．
∴EF∥BD，即EF∥BC.
(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD.
∴＝()2.
又∵点E是AB的中点，∴＝.
∴＝.∴S△AEF＝S△ABD.
∴S△ABD－6＝S△ABD.∴S△ABD＝8.
综合题
16．(内江中考)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM＝AB.若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是1．
小专题(六) 三角形内接特殊四边形问题
——教材P58T11的变式与应用
教材母题：如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？
【母题分析】 (1)从总体上讲本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比．
(2)解决本题的关键点：由EF∥GH，得到△AEF∽△ABC.
(3)考查形式：正方形内接于三角形，解决正方形的边长与三角形边长之间的关系．
解：设正方形的边长为x mm，则EF＝x mm，
∵AD⊥BC，AD＝80 mm，
∴AK＝(80－x)mm.
∵正方形EFHG内接于△ABC，∴EF∥GH.
∴△AEF∽△ABC.∴＝，
即＝.解得x＝48.
∴这个正方形零件的边长是48 mm.
【方法指导】 解决本题的关键：(1)“内接”，所谓内接就是正方形的四个顶点都在三角形的边上，正因如此，故：①正方形的一边与三角形的一边平行，从而得到三角形相似；②大三角形的高等于正方形的边长与小三角形的高之和．(2)方程思想，利用相似三角形的性质——“相似三角形对应高的比等于相似比”这个等量关系，将已知边和未知边放在一个方程中．
1．(遂宁中考)如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，点D在边AB上，点G在边AC上，△ADG的面积是40，△ABC的面积是90，AM⊥BC于M，交DG于N，则AN∶AM＝2∶3．
2．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10，四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D，E，F在三角形的边上)，则此正方形的面积是25．
3．(安顺中考)如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，那么EH的长为．
4．如图，已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K.
(1)求的值；
(2)设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．
解：(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∵AK，AD分别是△AEF，△ABC的高，
∴＝.
∴＝＝.
(2)∵EH⊥BC，AD⊥BC，∴EH∥AD.
∴△BEH∽△BAD.∴＝①.
同理＝②.
①＋②，得＋＝1.
∵EH＝x，AD＝8，BC＝12，
∴EF＝12－x.
∴S＝EH·EF＝－x2＋12x＝－(x－4)2＋24.
∴S的最大值为24.
5．如图，Rt△ABC(∠C＝90°)中有三个内接正方形，DF＝9 cm，GK＝6 cm，求第三个正方形的边长PQ.
解：设PQ＝x cm，
∵GK∥PQ，
∴∠FKG＝∠KQP.
又∵∠FGK＝∠KPQ＝90°，
∴△FGK∽△KPQ.
∴ ＝.
∵FG＝EF－EG＝9－6＝3，
∴＝.解得x＝4.
∴第三个正方形的边长PQ为4 cm.
6．(怀化中考)如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC＝40 cm，AD＝30 cm.
(1)求证：△AEH∽△ABC；
(2)求这个正方形的边长与面积．
解：(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC.
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C.
∴△AEH∽△ABC.
(2)设AD与EH交于点M.
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM是矩形．
∴EF＝DM.
设正方形EFGH的边长为x cm.
∵△AEH∽△ABC，
∴＝，
即＝.∴x＝.
∴正方形EFGH的边长为 cm，面积为 cm2.
7．(莆田中考)若正方形的两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，各边上的高记为ha，hb，hc，各边上的内接正方形的边长分别记为xa，xb，xc.
(1)模型探究：如图，正方形EFGH为△ABC的BC边上的内接正方形，求证：＋＝；
(2)特殊应用：若∠BAC＝90°，xb＝xc＝2，求＋的值．
解：(1)证明：在正方形EFGH中，
∵EH∥FG，∴△AEH∽△ABC.
∵AD⊥BC，∴＝，即＝.
∴＋＝.
(2)如图，由题意，得四边形EFAD是正方形，
∴FE∥AB.
∴△CEF∽△CBA.
∴＝.
∵xb＝xc＝2，即AF＝EF＝2，CF＝b－2，
∴＝.
∴＋＝.
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，求点F到BC的距离.
解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H.
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴AD∶AB＝AG∶AC.
又∵∠BAC＝∠DAG，
∴△ADG∽△ABC.
∴∠ADG＝∠B.
∴DG∥BC.
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥DG.
∴FH⊥BC，AN⊥DG.
∵AB＝AC＝18，BC＝12，
∴BM＝BC＝6.
∴AM＝＝12.
∴＝.
∴＝.
∴AN＝6.
∴MN＝AM－AN＝6.
∴FH＝MN－GF＝6－6.
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10 cm，AD＝8 cm.点P从点B出发，在线段BC上以每秒3 cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于E，F，H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒(t＞0)．
(1)当t＝2时，连接DE，DF，求证：四边形AEDF为菱形；
(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长．
解：(1)证明：当t＝2时，DH＝AH＝4，则H为AD的中点，
又∵EF⊥AD，
∴EF为AD的垂直平分线．
∴AE＝DE，AF＝DF.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵EF⊥AD，AD⊥BC，
∴EF∥BC.
∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C.
∴∠AEF＝∠AFE.∴AE＝AF.
∴AE＝AF＝DE＝DF.∴四边形AEDF为菱形．
(2)由(1)知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC.
∴＝，即＝.解得EF＝10－t.
∴S△PEF＝EF·DH＝×(10－t)·2t＝－t2＋10t＝－(t－2)2＋10.
∴当t＝2时，S△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP＝3t＝6.
小专题(七) 相似三角形性质与判定的综合运用
类型1 利用三角形相似求线段长或三角形面积
1．(遵义中考)如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是(A)
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为．
3．(广安中考)如图，三个正方形的边长分别为2，6，8，则图中阴影部分的面积为21．
4．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝．
5．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB.
(1)求证：△AEC∽△DEB；
(2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．
解：(1)证明：∵＝，
∴∠C＝∠DBE.
又∵∠AEC＝∠DEB，
∴△AEC∽△DEB.
(2)∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径，∴BE＝AE＝AB＝4.
∵△AEC∽△DEB，∴＝，即＝.
∴CE＝8.∴CD＝10.∴⊙O的半径为5.
类型2 利用三角形相似建立函数关系
6．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是(D)
A B C D
7．已知：如图，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F.点D为BC上一点，连接DE，DF.设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为(D)
A B C D
8.(淄博中考)如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点(点P与点B，C不重合)，▱AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1.设BP＝x，平行四边形AFPE的面积为y.
(1)求y与x的函数关系式；
(2)上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．
解：(1)∵四边形AFPE是平行四边形，
∴PF∥CA.
∴△BFP∽△BAC.
∴＝()2.
∵S△ABC＝1，∴S△BFP＝.
同理S△PEC＝()2.
∴y＝1－－.
∴y＝－＋x.
(2)y＝－＋x＝－(x－1)2＋.
当x＝1时，y有最大值，最大值为.
类型3 利用三角形相似解决点动型问题
9．如图，平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(0，2)，B(1，0)，点P是反比例函数y＝－图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q.若以点O，P，Q为顶点的三角形与△OAB相似，求满足条件的点P的坐标．
解：设P(x，y)．
若△PQO∽△AOB，则
＝，即＝.
∵点P在反比例函数
y＝－的图象上，
∴xy＝－1.∴x＝±.
∴点P的坐标为(，－)或(－，)．
同理，若△PQO∽△BOA，求得点P的坐标为(－，)或(，－)．
综上所述，满足条件的点P的坐标为(，－)，(－，)，(－，)或(，－)．
10．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当P在 位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足．当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标．
解：(1)把A(－1，0)，B(4，0)代入y＝－x2＋bx＋c中，得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.
(2)∵PE⊥x轴，CF⊥PE，
∴∠PFC＝∠OEF＝∠COB＝90°.
∴四边形OCFE为矩形．∴OC＝EF＝4.
设P(m，－m2＋3m＋4)，则PF＝|－m2＋3m＋4－4|＝|－m2＋3m|.
∵B(4，0)，C(0，4)，
∴OB＝OC.∴△BOC为等腰直角三角形．
若以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似，则△PCF也是等腰直角三角形．
∴PF＝CF.∴m＝|－m2＋3m|.
当P在F上方时，m＝－m2＋3m，
解得m1＝0，m2＝2.
当m＝0时，P与C重合，舍去．
把m＝2代入y＝－x2＋3x＋4，得y＝6，
∴P(2，6)．
当P在F下方时，m＝m2－3m，
解得m3＝0(舍去)，m4＝4.
把m＝4代入y＝－x2＋3x＋4，得y＝0，
∴P(4，0)．
综上所述，点P的坐标(2，6)或(4，0)．
27.2.3 相似三角形应用举例
基础题
知识点1 测量物高
1．如图，某一时刻，测得旗杆的影长为8 m，李明测得小芳的影长为1 m，已知小芳的身高为1.5 m，则旗杆的高度是12m.
2．(新疆中考)如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4 m的位置上，则网球拍击球的高度h为1.4m．
3．如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN＝2米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为3米．
4．如图，已知有两堵墙AB，CD，AB墙高2米，两墙之间的距离BC为8米，小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外．将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为7.5米．
5．如图是小玲设计的用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是多少米？
解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP.
∴＝，即＝.
解得CD＝8.
答：该古城墙CD的高度是8米．
知识点2 测量距离
6．(北京中考)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
7．如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB∶AP＝2∶5，BC＝20 cm，则PQ的长是(B)
A．45 cm B．50 cm C．60 cm D．80 cm
8．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝2.5__mm.
9．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔60米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为30米．
中档题
10．(柳州中考)小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(A)
A．10米
B．12米
C．15米
D．22.5米
11．(绵阳中考)为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm，则旗杆DE的高度等于(B)
A．10 m
B．12 m
C．12.4 m
D．12.32 m
12．(菏泽中考)如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离．
解：连接MN.
∵＝＝，＝＝，∴＝.
又∵∠BAC＝∠NAM，
∴△BAC∽△NAM.
∴＝，即＝.∴MN＝1 500.
答：M，N两点之间的直线距离为1 500米．
13．(陕西中考)某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”以及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为C点，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到D点时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．如图，已知AB⊥CD，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
解：由题意，得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，
∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF，
∴△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH.
∴＝，＝，
即＝，＝.
解得AB＝99.
答：“望月阁”的高AB的长度为99米．
综合题
14．(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生板凳如图所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)
解：过点C作CM∥AB，分别交EF，AD于N，M，作CP⊥AD，分别交EF，AD于Q，P.
由题意，得四边形ABCM是平行四边形，
∴EN＝AM＝BC＝20 cm.
∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．
由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，
∴CQ＝32 cm.
∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.
∴＝，即＝.
∴NF＝24 cm.
∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．
答：横梁EF应为44 cm.
27．3 位似
第1课时 位似图形的概念及画法
基础题
知识点1 位似图形
1．下列说法不正确的是(D)
A．位似图形一定是相似图形
B．相似图形不一定是位似图形
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
2．用作位似图形的方法可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在(D)
A．原图形的外部 B．原图形的内部
C．原图形的边上 D．任意位置
3．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是(D)
4．两个位似图形中，对应点到位似中心的距离之比为2∶3，则这两个图形的相似比为(A)
A．2∶3 B．4∶9
C.∶ D．1∶2
5．如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是(A)
A．点P B．点O
C．点M D．点N
6．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为(B)
A．1 B．2 C．4 D．8
7．(成都中考)如图，四边形ABCD 和A′B′C′D′ 是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(A)
A．4∶9
B．2∶5
C．2∶3
D.∶
知识点2 位似图形的画法
8．下列是△ABC位似图形的几种画法，如图，其中正确的个数有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.
解：如图所示，△A′B′C′为所求的三角形．
中档题
10．如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是(D)
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．∠ADE＝∠B
D．点B与点E，点C与点D是对应点
11．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC∶AF＝2∶3，则下列结论不正确的是(B)
A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
B．AD与AE的比是2∶3
C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3
D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶9
12．(济宁中考)如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为18__cm．
13．(钦州中考)如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依此规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝16．
14．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且相似比是1∶2，若AB＝2 cm，则A′B′＝4cm，并在图中画出位似中心O.
解：如图所示．
15．如图，已知△DEO与△ABO是位似图形，△OEF与△OBC是位似图形，求证：OD·OC＝OF·OA.
证明：∵△DEO与△ABO位似，
∴＝.
∵△OEF与△OBC位似，
∴＝.
∴＝.
∴OD·OC＝OF·OA.
综合题
16．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心O；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的相似比；
(3)以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比等于1.5.
解：(1)位似中心O的位置如图所示．
(2)∵＝，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2.
(3)如图所示．
第2课时 平面直角坐标系中的位似
基础题
知识点1 位似图形的坐标变化规律
1．(武汉中考)如图，在平面直角坐标系中有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为(A)
A．(2，1) B．(2，0)
C．(3，3) D．(3，1)
2．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，得到△OA′B′.若点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是(C)
A．(2，4) B．(－1，－2)
C．(－2，－4) D．(－2，－1)
3．(辽阳中考)如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为(C)
A．(0，0) B．(0，1)
C．(－3，2) D．(3，－2)
4．(东营中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，6)，B(－9，－3)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是(D)
A．(－1，2) B．(－9，18)
C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2)
5．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则大鱼上的一点(a，b)对应小鱼上的点的坐标是(－0.5a，－0.5b)．
知识点2 坐标系内图形的位似作图
6．如图，在直角坐标系中，作出五边形ABCDE的位似图形，使得新图形A1B1C1D1E1与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点O.
解：如图所示．
中档题
7．如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A(3，4)，点C(2，2)，点D(3，1)，则点D的对应点B的坐标是(C)
A．(4，2) B．(4，1) C．(5，2) D．(5，1)
8．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是(D)
A．(1，0) B．(－5，－1)
C．(1，0)或(－5，－1) D．(1，0)或(－5，－2)
9．如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为(C)
A．(0，0)，2
B．(2，2)，
C．(2，2)，2
D．(2，2)，3
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)，以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA1B1C1.B的对应点为B1，且B1在OB的延长线上，则B1的坐标为__(4，2)．
11．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与A′(－2，0)是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是6.
12．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，在图中画出位似中心的位置，并求出位似中心的坐标.
解：位似中心的位置如图所示，位似中心的坐标为(9，0)．
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)．
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A(2.5，3)，则A′的坐标为(5，6)；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为 1∶2；
(2)若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．(用含m的代数式表示)
解：∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，
∴＝.
∵△ABC的面积为m，∴△A′B′C′的面积为4m.
综合题
14．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，求点B的横坐标．
解：过B′作B′F⊥x轴于点F，过B作BE⊥x轴于点E，则∠BEC＝∠B′FC＝90°.
又∵∠BCE＝∠B′CF，
∴△BEC∽△B′FC.
∴＝.
∵△ABC∽△A′B′C，且相似比为，
∴＝＝.
∵点B′的横坐标是a，点C的坐标是(－1，0)，
∴FO＝a，CO＝1.∴FC＝a＋1.
∴EC＝(a＋1)．
∴点B的横坐标是：－(a＋1)－1＝－(a＋3)．
周周练(27.2.2～27.3)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．
其中正确命题的序号是(A)
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
2．如果两个相似多边形的对应边上的高的比为1∶5，那么它们的周长比为(B)
A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶
3．已知一棵树的影长是30 m，同一时刻一根长1.5 m的标杆的影长为3 m，则这棵树的高度是(A)
A．15 m B．60 m C．20 m D．10 m
4．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是(D)
A．3 B．6 C．9 D．12
5．如图，以O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面积之比为(B)
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶6
6．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成像CD的长是(D)
A. cm B. cm C. cm D．1 cm
7．(朝阳中考)已知两点A(5，6)，B(7，2)，先将线段AB向左平移一个单位长度，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为(A)
A．(2，3) B．(3，1)
C．(2，1) D．(3，3)
8．(巴彦淖尔中考)如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2.若S＝3，则S1＋S2的值为(B)
A．24
B．12
C．6
D．3
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．(湘潭中考)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比S△ADE∶S△ABC＝__.
10．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则＝．
11．(天水中考)如图所示，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离路灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM的长为5米．
12．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是(，)．
13．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝1.05里．
14．如图，双曲线y＝经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足＝，与BC交于点D，S△BOD＝21，则k＝8．
三、解答题(共44分)
15．(9分)如图，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是(2，－2)；
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2∶1，点C2的坐标是(1，0)；
(3)△A2B2C2的面积是10平方单位．
解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
16．(9分)一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.8 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2 m，又测得地面部分的影长为5 m，请算一下这棵树的高是多少？
解：延长AD交BC于E，
∴＝.
∴CE＝0.96 m.
∴BE＝5.96 m.
∵＝，∴AB＝7.45 m.
答：这棵树的高是7.45 m.
17．(12分)如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3，若∠B＋∠B′＝90°，求△ABC与△A′B′C′的面积比．
解：分别作AD⊥BC于点D，A′D′⊥B′C′于点D′，
则∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90°.
又∵∠B＋∠B′＝90°，∴∠BAD＝∠B′.
∴△ABD∽△B′A′D′.
∴S△ABD∶S△B′A′D′＝AB2∶A′B′2＝25∶9.
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴S△ABC＝2S△ABD.
同理可得S△A′B′C′＝2S△B′A′D′.
∴S△ABC∶S△A′B′C′＝25∶9.
18．(14分)如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.
(1)求证：△OCP∽△PDA；
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边AB的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
由折叠可得AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B.
∴∠APO＝90°.
∴∠APD＝90°－∠CPO＝∠POC.
∵∠C＝∠D，∠POC＝∠APD，
∴△OCP∽△PDA.
(2)∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，
∴＝＝＝＝.
∴PD＝2OC，PA＝2OP，DA＝2CP.
∵AD＝8，∴CP＝4，BC＝8.
设OP＝x，则OB＝x，CO＝8－x.
在Rt△PCO中，∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，CO＝8－x，
∴x2＝(8－x)2＋42.解得x＝5.
∴AB＝AP＝2OP＝10.
章末复习(二) 相似
基础题
知识点1 图形的相似
1．下列各组图形不一定相似的是(D)
A．两个等边三角形
B．各有一个角是100°的两个等腰三角形
C．两个正方形
D．各有一个角是45°的两个等腰三角形
2．如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝60°，∠E＝120°，DC＝24，HE＝18，HG＝21，则∠F＝60°，∠D＝110°，AD＝28．
知识点2 平行线分线段成比例
3．(宝安区期末)如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(A)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4．(黄浦区一模)如图，已知AD，BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝4.5．
知识点3 相似三角形的判定与性质
5．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝(A)
A．2∶3 B．2∶5 C．3∶5 D．3∶2
6．如图，在△ABC中，点D在线段BC上且∠BAD＝∠C，BD＝2，CD＝6，则AB的值是(C)
A．12 B．8 C．4 D．3
7．如图，已知在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB，延长AD，BC相交于点E.求证：
(1)△ACE∽△BDE；
(2)BE·DC＝AB·DE.
证明：(1)∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠BDE＝∠ACE.
又∵∠E＝∠E，
∴△ACE∽△BDE.
(2)∵△ACE∽△BDE，
∴＝.∴＝.
又∵∠E＝∠E，∴△ECD∽△EAB.
∴＝.∴BE·DC＝AB·DE.
知识点4 相似三角形的应用
8．九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，则旗杆AB的高度为13.5m.
知识点5 位似
9．(锦州中考)如图，线段AB两个端点的坐标分别为 A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为 (C)
A．(2，2)，(3，2)
B．(2，4)，(3，1)
C．(2，2)，(3，1)
D．(3，1)，(2，2)
中档题
10．(枣庄中考)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)
11．如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形，PQ与AC相交于点M，则下列结论中正确的是(D)
①AB∥CQ；②∠ACQ＝60°；③AP2＝AM·AC；④若BP＝PC，则PQ⊥AC.
A．只有①② B．只有①③
C．只有①②③ D．①②③④
12．(杭州中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于__78．
13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．
解：(1)证明：连接CO，OE，∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠BCD＝90°.
∵E是BD中点，
∴CE＝BE＝BD.
又∵OC＝OB，OE＝OE，
∴△COE≌△BOE(SSS)．∴∠OCE＝∠OBE.
∵BD为⊙O的切线，∴∠OBE＝90°.
∴∠OCE＝90°.∴CE是⊙O的切线．
(2)∵∠ACB＝90°，∴AD⊥BC.
在Rt△ABD中，△ABC∽△BDC，
∴＝，即＝.
解得DC＝1.
在Rt△BCD中，BD＝＝＝.
∴CE＝BD＝.
综合题
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：
(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
(2)求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；
(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？
解：(1)由题意，AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t.
当QA＝AP时，△QAP为等腰直角三角形，即6－t＝2t.解得t＝2.
所以，当t＝2时，△QAP为等腰直角三角形．
(2)在△QAC中，QA＝6－t，QA边上的高DC＝12，
∴S△QAC＝QA·DC＝(6－t)·12＝36－6t.
在△APC中，AP＝2t，AP边上的高BC＝6，
∴S△APC＝AP·BC＝·2t·6＝6t.
∴S四边形QAPC＝S△QAC＋S△APC＝(36－6t)＋6t＝36(平方厘米)．
由计算结果发现：在P，Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变(也可提出：P，Q两点到对角线AC的距离之和保持不变)．
(3)根据题意，可分两种情况：
①当＝时，△QAP∽△ABC，那么有：＝，解得t＝1.2；
②当＝时，△QAP∽△CBA，那么有：＝，解得t＝3.
综上所述，当t＝1.2或3时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似．
相关试卷
初中27.3 位似当堂检测题： 这是一份初中27.3 位似当堂检测题，共3页。试卷主要包含了下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
人教版九年级数学练习：第二十七章《相似》单元测试卷： 这是一份人教版九年级数学练习：第二十七章《相似》单元测试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中数学人教版九年级下册27.1 图形的相似课后作业题： 这是一份初中数学人教版九年级下册27.1 图形的相似课后作业题，共24页。试卷主要包含了已知＝，那么的值是，点C为线段AB的黄金分割点，若3x＝2y等内容，欢迎下载使用。
