【期中真题】北京市第二中学2022届高三上学期期中考试数学试题.zip

2021北京二中高三（上）期中

数学

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. 设命题，，则为（    ）．

A. ， B. ，

C ， D. ，

2. 已知复数的虚部为1，且，则可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 函数的图像在点处的切线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 已知，则

A.  B.  C.  D.

5. 已知向量为单位向量，，且向量与向量的夹角为，则的值为（    ）

A. -2 B. - C.  D. 4

6. 已知参数方程，下列选项的图中，符合该方程的是    （    ）

A.  B.

C.  D.

7. 已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|＝（　　）

A. 16 B. 10 C. 12 D. 8

8. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（    ）

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

9. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，的最小值为（    ）

A. 2 B.  C. 3 D.

10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11. 若，则____________.

12. 若双曲线的右顶点到其渐近线的距离等于实半轴长的一半，则双曲线的离心率为_____.

13. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知tan()＝2，则sinA的值为______，若B＝，a＝4，则△ABC的面积等于___．

14. 已知是平面上一点，，．

①若，则____；

②若，则的最大值为____．

15. 关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种变换和4种变换

模变为原来的倍，同时逆时针旋转；

模变为原来的倍，同时顺时针旋转；

模变为原来的倍，同时逆时针旋转；

：模变为原来的倍，同时顺时针旋转；

模变为原来的倍，同时逆时针旋转；

模变为原来的倍，同时顺时针旋转

记集合，若每次从集合中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过次抽取，依次将第次抽取的变换记为，即可得到一个维有序变换序列，记为，则以下判断中正确的序号是__________.

①单位向量经过奇数次变换后所得向量与向量同向的概率为；

②单位向量经过偶数次变换后所得向量与向量同向的概率为；

③若单位向量经过变换后得到向量，则中有且只有2个变换；

④单位向量经过变换后得到向量的概率为.

三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

16. 已知函数满足下列3个条件中的2个条件：①函数的周期为π；②是函数的对称轴；③且在区间上单调；

（Ⅰ）请指出这二个条件并说明理由，求出函数的解析式；

（Ⅱ）若，求函数的最值.

17. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如图，在阳马中，侧棱 底面，且 ，过棱的中点 ，作交 于点，连接

（Ⅰ）证明：．试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写

出结论）；若不是，说明理由；

（Ⅱ）若面与面 所成二面角的大小为，求的值．

18. 已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当时，；

（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．

19. 体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T（单位：）平均在之间即为正常体温，超过即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：；高热：；超高热（有生命危险）：．某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗．医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热．住院期间，患者每天上午8：00服药，护士每天下午16：00为患者测量腋下体温记录如下：

（I）请你计算住院期间该患者体温不低于的各天体温平均值；

（II）在19日—23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a项目”的检查，记X为高热体温下做“a项目”检查的天数，试求X的分布列与数学期望；

（III）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果．假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由．

20. 已知椭圆离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，当直线与轴垂直时，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当直线与轴不垂直时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由.

21. 在无穷数列中，，是给定的正整数，，.

（1）若，，写出，，的值；

（2）证明：存在，当时，数列中的项呈周期变化；

（3）若，的最大公约数是，证明数列中必有无穷多项为.