【期中真题】山西大学附属中学校2022-2023学年高一上学期期中数学试题.zip

山大附中2022~2023学年第一学期期中考试

一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 设全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出，再求即可.

【详解】因为集合，，

所以，

因为，

所以，

故选：B

2. 命题“，”的否定形式是（    ）

A. ， B. ，或

C. ，或 D. ，或

【答案】C

【解析】

【分析】根据特称命题的否定直接求解即可.

【详解】命题“，”的否定形式是，或.

故选：C.

3. 不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式，可得不等式的解集为，再根据充分不必要条件的概念，即可得到结果.

【详解】不等式的解集为，

又，所以是不等式成立的一个充分不必要条件.

故选：C

4. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】通过举反列即可得ABC错误，利用不等式的性质可判断D．

【详解】A.当时，，但，故A错；

B. 当时，，故B错；

C. 当时，，但，故C错；

D. 若，则，D正确．

故选：D．

5. 已知，设，则函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】在同一直角坐标系中画出的函数图象，根据的定义，即可求得其图象.

【详解】在同一直角坐标中画出的函数图象如下所示：

根据的定义，上图中实线部分即为的图象.

故选：C.

6. 已知,,则的大小关系是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】 ,选B

7. 若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知的解集为R，分，两种情况讨论，即可求解.

【详解】函数的定义域为R，可知的解集为R，

若，则不等式为恒成立，满足题意；

若，则，解得．

综上可知，实数k的取值范围是．

故选：B．

8. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，再根据以上的性质解不等式 即可.

【详解】由于 ，所以 是偶函数；

当 时， ，由复合函数的单调性知f(x)是增函数，所以函数大致图像如下图：

对于，就是 ，解得 ；

故选：A.

二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的四个选项中，不只一得项符合题目要求，错选得0分，漏选得2分）

9. 中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】

利用函数的定义逐项判断可得出合适的选项.

【详解】在A中，当时，，故A错误；

在B中，当时，，故B错误；

在C中，任取，总有，故C正确；

在D中，任取，总有，故D正确．

故选：CD．

【点睛】本题考查函数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

10. 已知正数满足，则下列选项正确的是（    ）

A. 的最小值是2 B. 的最大值是1

C. 的最小值是4 D. 的最大值是

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题设条件和基本不等式，逐项判定，即可求解.

【详解】因为正数满足，

由，

当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；

由，可得，即，当且仅当时成立，所以B正确；

由，当且仅当时成立，所以C错误；

由正数满足，可得，

则，当且仅当时，

即时，等号成立，即的最大值是，所以D正确.

故选：ABD

11. 下列说法正确的是（    ）

A. ，

B. 若不等式的解集为或，则

C. （且）的图象恒过定点

D. 函数的单调减区间为

【答案】AB

【解析】

【分析】根据特例可判断A的正误，根据一元二次不等式的解集可判断B的正误，根据指数函数的性质可判断C的正误，根据“同增异减”的原则可判断D的正误.

【详解】对于A，取，则成立，故A正确；

对于B，因为的解集为或，

故为方程的根，故即，故B正确；

对于C，，故的图象恒过，故C错误；

对于D，由可得，

因为为减函数，故若求的减区间，

即求在上的增区间，

而在上为增函数，在上为减函数，

当时，；当时，；

且在上为增函数，故的增区间为，

故的减区间为，故D错误.

故选：AB.

12. 已知函数的定义域为，满足对任意，都有，且时，．则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 当时，

C. 在是减函数

D. 存在实数使得函数在是减函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A选项，利用赋值法，令，求出，再令，进行检验，即可判断A；

对B选项，当时，则，故，令，得出与关系，进而得出的范围，即可判断B；

对C选项，利用函数单调性的定义，由，结合已知条件可得，从而得出函数的单调性，即可判断C；

对D选项，因为函数在上为增函数，若在上递减，则时，，则，由此可求得，即可判断D．

【详解】令，则，即，

解得或，

当时，令，，则，解得，

与时，矛盾，所以，故A正确；

当时，则，故，

令，则，

整理得，则，

∵，∴，，∴，故B正确；

设，则，

，

∵，，∴，，

∴，∴，

所以函数在上单调递增，故C错误；

因为函数在上为增函数，所以在上也为增函数，

若在上递减，则时，，

则时，，即，

又因为当时，，所以，故D正确．

故选：ABD．

三、填空题共（本题共4小题，每小题4分，共16分）

13. 函数的定义域为_____．

【答案】

【解析】

【分析】根据分母不为0以及根号下大于等于0得到不等式组，解出即可，最后答案注意写成解集或区间形式.

【详解】由题意得，解得或，

故答案为：或.

14. 已知函数，则等于______．

【答案】1

【解析】

分析】直接将代入计算即可.

【详解】

故答案为：1

15. 濮阳市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则我市这两年生产总值的年平均增长率为__________．

【答案】

【解析】

【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为，由题意，解方程即可.

【详解】设该市这两年生产总值的年平均增长率为,由题意,

所以，故填.

【点睛】本题主要考查了平均增长率的问题，属于容易题.

16. 已知是定义在上函数，对任意的，恒有成立.，若在上单调递增，且，则的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】由已知令，可确定的奇偶性与单调性，而题设不等式可化为，由的单调性可解．

【详解】令，则，则是奇函数，

又在上单调递增，

∴在上也单调递增，从而在上单调递增，

，即，

∴，∴，所以．

故答案为：．

【点睛】本题考查函数的性质和运用，主要考查运用函数的奇偶性与单调性解不等式，解题关键是构造函数，确定单调性．

四、解答题（本题共5小题，17、18、19题每题8分，20、21题每题10分，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 计算：（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由幂的运算法则计算；

（2）由对数的运算法则计算．

【详解】解：（1）

.

（2）

.

18. 已知幂函数在上单调递增，.

（1）求实数m的值；

（2）当时，记，的值域分别为集合A，B，设命题p：，命题q：，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)利用幂函数定义和性质列关系式即可求解；(2)先求出,的值域，，再利用命题是命题的必要不充分条件可以推出A⫋B，由此列不等式即可求解.

【小问1详解】

因为是幂函数，所以，

解得或.

又因为在上单调递增，

所以即，故.

【小问2详解】

又(1)知，

因为在上单调递增，

所以当时，，，

所以在上的值域为，

函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

所以的值域为，

因为命题q是命题p的必要不充分条件，

所以A⫋B，所以或，解得，

所以实数t取值范围是.

19. 为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年旳太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为，（m为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为（单位：1万元），记为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和

（1）写出的解析式；

（2）当x为多少平方米时，取得最小值？最小值多少万元？

【答案】（1）；   

（2）40平方米，最小值40万元.

【解析】

【分析】（1）根据给定的条件，求出m值及的解析式，进而求出的解析式作答.

（2）结合均值不等式，分段求出的最小值，再比较大小作答.

【小问1详解】

依题意，当时，，即有，解得，则，

于是得，

所以的解析式是.

【小问2详解】

由（1）知，当时，在上递减，，

当时，，当且仅当，即时取等号，

显然，所以当x为40平方米时，取得最小值40万元.

【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．

20. 已知定义在上的偶函数满足：当时，．

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，若存在，对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据偶函数的性质可求函数的解析式；

（2）求出后根据有解可求参数的取值范围.

【小问1详解】

设，则，∴，

∵定义在偶函数，∴

∴．

【小问2详解】

由题意得“存在，对于任意的，都有成立”，

因为是定义在上的偶函数．

所以在区间和区间上的值域相同．

当时，．

设，则，

令，，

则当时，函数取得最小值，所以．

∵有解，

∴由，，∴或，

∴或.

21. 已知为偶函数，为奇函数，且满足．

（1）求、；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用函数的奇偶性构造方程组，解方程组求得与的解析式；

（2）将与的解析式代入，并令，将原问题转化为恒成立，其中，然后利用二次函数性质解决恒成立问题.

【小问1详解】

因为为偶函数，为奇函数，

由已知可得，

即，

所以，，解得；

【小问2详解】

由可得，

令，当且仅当时，等号成立，

故有恒成立，其中，

令，其中，则函数在上恒成立，

最小值≥0

①当时，即当时，则在上单调递增，所以，，符合题意；

②当时，即当时，则有，解得，

此时．

综上所述，实数的取值范围是；