【期中真题】2023-2024学年九年级数学上册 期中真题分类专题汇编 专题08 圆的性质及其有关计算（6类经典题型 优选提升）.zip

这是一份【期中真题】2023-2024学年九年级数学上册 期中真题分类专题汇编 专题08 圆的性质及其有关计算（6类经典题型 优选提升）.zip，文件包含期中真题2023-2024学年九年级数学上册期中真题分类专题汇编专题08圆的性质及其有关计算原卷版docx、期中真题2023-2024学年九年级数学上册期中真题分类专题汇编专题08圆的性质及其有关计算解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。

专题08 圆的性质及其有关计算


圆的相关概念
1．若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据直径是最长的弦即可求解．
【详解】解：∵若的直径长为，点，在上，
∴的长不可能是，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键．
2．在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，

，，
当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键．
3．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ．

【答案】 三/3 ，，
【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可．
【详解】解：图中的弦有，，共三条．
故答案为：三；，，．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键．
垂径定理
4．如图，是的直径，弦于点，，，则长为 ．

【答案】
【分析】先利用垂径定理得到，设，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵是的直径，弦于点，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
5．如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为 ．
  
【答案】
【分析】过D作于E，求出，解直角三角形求出、的长度，求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】
解：过D作于E，则，
  
∵点C是直径的三等分点（AC＜CB），直径，
∴，
∴，
∵点D是弧的三等分点（弧＜弧），
∴，
∴，
∴,,
∴,
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理，能求出和半径的长度是解此题的关键．
6．如图，在直径为10的中，两条弦，分别位于圆心的异侧，，且，若，则的长为 ．
  
【答案】
【分析】过作于，交于，反向延长交于点，交于点，则，连接，则为的直径．根据平行线的性质得到推出．根据勾股定理即可计算答案．
【详解】解：过作于，交于，反向延长交于点，交于点，如图所示：
  
则，
连接，则为的直径，
，
，
，
，
∴
∴
，
在中，
，
，
在中，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理．正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7．如图，的半径为，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心．则折痕的长为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作与交于点，交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长；根据垂径定理的推论可得，根据勾股定理可得的长，即可求出的长度．
【详解】解：过点作与交于点，交于点，连接，如图：
  
根据题意可得：，
∵，∴，
在中， ，，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻转的性质，垂径定理的推论，勾股定理，掌握翻转是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
8．如图，，于点E，若的半径为2，则的长为（　　）
  
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】根据垂径定理可以得到，再根据全等三角形的判定与性质，可以得到，从而可以得到，最后根据勾股定理即可求得的长．
【解答】解：连接，，作于点N，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
  
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

弧、弦、圆心角
9．如图，点A，B，C，D，E均在上，，则的度数是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，可得，由圆心角定理可得．
【详解】解：连接，如图，
  
∵，∴，
∵，∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．如图，C、D是以线段为直径的上两点，若，且，则（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质先求出，根据，再根据直径的性质得，由此即可解决问题．
【详解】解：∵，，
∴，
，
是直径，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
11．如图，从一块半径为20的圆形纸片上剪出一个圆心角是的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径是 ．
  

【答案】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出的长，利用勾股定理，求出的长，再利用弧长公式，求出的长，然后根据圆锥的底面周长等于的长，设圆锥的底面半径是，利用圆的周长公式，即可求出该圆锥的底面半径．
【详解】解：如图，连接，
，
是直径，即，
，
，
，
的长为，
扇形围成一个圆锥，即圆锥的底面周长等于的长，
设圆锥的底面半径是，
，
，
故答案为：．
  
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，弧长公式，圆锥的底面半径，解题关键是掌握圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
12．已知：如图，在中，，以点C为圆心、为半径作，交于点D，求弧的度数．
  
【答案】弧的度数为
【分析】连接．由题意可求出，根据同圆半径相等结合等腰三角形的性质可求出，根据三角形内角和定理求出，最后根据弧、弦、圆心角的关系求解即可．
【详解】解：如图，连接．
  
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即弧的度数为．
【点睛】本题考查同圆半径相等，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，弧、弦、圆心角的关系等知识．正确的连接辅助线是解题关键．
圆周角
13．如图，是的一条弦，，垂足为点，交于点，点在上．
  
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)的长为
【分析】（1）根据垂径定理的推论可得，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出，根据垂径定理的推论可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵是的一条弦，，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∵是的一条弦，，
∴，
则．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，解题的关键是明确在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点．
  
(1)求证：；
(2)若，求的直径．
【答案】(1)见解析；(2)5
【分析】（1）证明，即可得出结论；
（2）设交于点T，证明四边形是矩形，设，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图，

  
∵为的直径，
∴，即，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设交于点T，如图，
  
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
∴，
∴，即的直径为5；
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质, 勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题．
正多边形与圆
15．如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据切线的性质，可得，，结合正五边形的每个内角的度数为，即可求解．
【详解】解： ∵、切于点A、C，∴，，
∴正五边形的每个内角的度数为： ，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．
16．如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为(   )
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据正多边形内角和公式求出，根据切线的定义得出，进而可得，再根据圆周角定理可得．
【详解】解：五边形是正五边形，
，
切，于点M，N，，
又五边形的内角和为，
，，故选C．
【点睛】本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式．
17．如图，正六边形内接于，点P在上，点Q是的中点，则的度数为（　　）
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据圆内接正六边形的性质和点Q是的中点，得到，，得到，根据圆周角定理即可得到的度数．
【详解】解：如图，连接，
  
∵正六边形内接于，Q是的中点，
∴，，∴，∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，熟练掌握正多边形和圆的知识是解题的关键．
与弧长与扇形公式
18．如图，在中，，以点A为圆心、2为半径的与相切于点D，交于E，交于F，点P是上的一点，且，则图中阴影部分的面积是（    ）.
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接，由题意知，，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
  
由题意知，，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形的面积，圆周角定理．解题的关键在于正确的表示阴影部分的面积．
19．如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB绕点A顺时针旋转得到扇形，点O的对应点恰好落在上，若，则图中阴影部分的面积为 ．
  
【答案】/
【分析】，据此即可求解．
【详解】解：连接，如图：
  
由旋转的性质可得：
∵，∴是等边三角形
过点作
  
∵，∴

化简得：，故答案为：
【点睛】本题考查扇形面积及不规则图形面积的计算．抓住是解题关键．
20．如图，正方形的边长是 ，将对角线绕点顺时针旋转的度数，点旋转后的对应点为，则弧的长是 （结果保留π）．
  
【答案】
【分析】先根据正方形的性质得到，然后利用弧长公式计算即可求解．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴
∴弧的长是
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的计算，正方形的性质，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
21．如图，在四边形中，，将四边形绕点A逆时针旋转至处，则旋转过程中，边所扫过的区域（图中阴影部分）的面积为 ．

【答案】
【分析】根据直角三角形的性质求出及的长，再由三角形的面积公式求出的面积，由扇形的面积公式得出扇形及扇形的面积，由即可得出结论．
【详解】解：连接．
∵在四边形中，，，
∴，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
22．如图，矩形中，，，将矩形在直线l上按顺时针方向不滑动的每秒转动，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为
  
【答案】
【详解】由勾股定理得矩形的对角线长为10，从到是以点为圆心为半径的弧，从到是以为圆心为半径的弧，从到是以为圆心为半径的弧，利用弧长公式即可求出顶点经过的路线长．
【分析】由勾股定理得矩形的对角线长为10，
从到，，路线长为；从到，，路线长为；
从到，，路线长为；
所以总长为．故填空答案：．
【点睛】本题主要考查圆的弧长公式，准确找到旋转得到的弧是解题的关键．
22．如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
  
(1)求证：；
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论；
（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，则，
  
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，
  
∵O为正方形中心，
∴，，而，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∴，，
而正方形的边长，
∴，解得：，
∴，
∵，，，
∴，∴，
而，∴．
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．


23．如图，是的直径，点，在上，且点是弧的中点，是直径上的一个动点，连接，，已知，弧的度数为，则的最小值为（    ）
  
A．10 B． C． D．5
【答案】D
【分析】，作点关于的对称点，连接，当点在上时，，即取得最小值，进而根据圆心角与弧的关系可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，当点在上时，，即取得最小值
  
∵的度数为，点是弧的中点，
∴的度数为，
又，∴是等边三角形，
∵∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键．
24．如图，点为半上的三等分点，点是弧上的一动点，过点作交延长线于点，若直径，在点从点运动到点的过程中，则点的运动路径长为（    ）
    
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由点的运动特点可知点轨迹是以为直径圆上的弧，求出的长以及圆心角，即可求解．
【详解】解：连接，，以的长为半径，的中点为圆心画圆，点为半圆上的三等分点，连接，，如图：
  
∵点为半上的三等分点，
∴，
故，
∴，
∴，
∴，
当点从点运动到点的过程中，，
即，
∴，
故点的运动轨迹是，且，
在中，，
∴点的运动路径长为，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了点的运动轨迹，勾股定理，弧长公式，三角形内角和定理，圆周角定理，能够根据点的运动特点分析点的运动轨迹是解题的关键．
25．如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（   ）
  
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】如图，连接，，由题意知，平分，平分，则，，，，由，可得，由垂径定理得，则，由勾股定理得，，如图，连接交于，则，设，则，由勾股定理得，，即，解得，进而可得，，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，，
  
由题意知，平分，平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
如图，连接交于，则，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，
∴，，
由勾股定理得，，
故选：A．
【点睛】本题考查了内心，勾股定理，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
26．如图，点，，的坐标分别为，，，以点为圆心、2为半径画，点在上运动，连接，交于点，点为线段的中点，连接，则线段的最小值为 ．

【答案】3
【分析】连接，由垂径定理得出，由直角三角形的性质得出，进而得出点在以为圆心，以2为半径的上，得出当三点共线时，有最小值，由，求出，进而求出，即线段的最小值为3．
【详解】解：如图1，连接，

∵，
∴是的中点，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为圆心，以2为半径的上，
如图2，当三点共线时，有最小值，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴线段的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，掌握垂径定理，勾股定理，两点间的距离公式，直角三角形斜边上中线的性质，三点共线等知识是解决问题的关键．
27．如图，正方形ABCD中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为 ．
  
【答案】
【分析】取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于点，则，所以点在以为圆心，1为半径的上运动，求出，则，由勾股定理得，由，所以当、、、四点共线时，的值最小，所以的最小值为．
【详解】解：取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于点，
  
点是的中点，
，
点在以为圆心，1为半径的上运动，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
当、、、四点共线时，的值最小，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的有关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，解题的关键是正确确定点的运动路径．
28．如图，在中，，，，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】根据得，再由可得到，于是点在以为弦，的圆弧上运动，再由可证明，从而算出，当、、三点共线时，最小，求出此时的长即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
点在以为弦，的圆弧上运动，
如图，设点运动的圆弧圆心为，取优弧上一点，连接，，，，，，
    ，  
则，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，最小，
此时，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键．
29．已知四边形内接于，点为弧的中点，连接、，．
(1)如图，求证：为的直径；
  
(2)如图，过点作于，交于点，求证：；
  
(3)如图，在（）的条件下，过作于点，延长交于，若，，求线段的长．
  
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（）利用同弧所对的圆周角相等，证明，在根据三角形内角和即可求，则可证为圆直径；
（）连接，由（）可得，，继而可证，根据全等三角形的性质即可求证；
（）连接，过作于点，证明，可以得出，再证，最后通过性质即可求解．
【详解】（1）∵为弧中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为的直径；
（2）如图，连接，
  
由（）得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（）得：，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（3）如图，连接，过作于点，
  
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（）得：，，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
设，则，
，
∴．
【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．