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新高考物理一轮复习重难点过关训练专题09 圆周运动（含解析）
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这是一份新高考物理一轮复习重难点过关训练专题09 圆周运动（含解析），共25页。试卷主要包含了圆锥摆模型，如图所示，质量m=2等内容，欢迎下载使用。
专题09 圆周运动
1.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系.
2.掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法.
3.会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的分析方法，掌握圆锥摆模型．
考点一 圆周运动的运动学问题
1．描述圆周运动的物理量
定义、意义
公式、单位
线速度(v)
①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量
②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切
①v＝(定义式)＝(与周期的关系)
②单位：m/s
角速度(ω)
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量
②是矢量，但不研究其方向
①ω＝(定义式)＝(与周期的关系)
②单位：rad/s
③ω与v的关系：v＝ωr
周期(T)
转速(n)
频率(f)
①周期是做匀速圆周运动的物体沿圆周运动一周所用的时间，周期的倒数为频率
②转速是单位时间内物体转过的圈数
①T＝＝(与频率的关系)
②T的单位：s
n的单位：r/s、r/min
f的单位：Hz
向心加速度(an)
①描述线速度方向变化快慢的物理量
②方向指向圆心
①an＝＝ω2r＝r＝ωv
②单位：m/s2
2．匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，所做的运动就是匀速圆周运动．
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动．
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
1．对公式v＝ωr的理解
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比．
2．对an＝＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比．
3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．
【典例1】（2021·上海金山·一模）物体做匀速圆周运动时，保持不变的量是（ ）
A．向心力 B．角速度 C．线速度 D．加速度
【答案】B
【解析】A D. 物体做匀速圆周运动时，向心力和向心加速度大小不变，方向指向圆心不断变化，故AD错误；
B.做匀速圆周运动的物体，角速度不变，是恒量，故B正确；
C.做匀速圆周运动时，线速度大小不变，方向沿圆周的切线方向不断变化，故C错误。
故选B。
【典例2】（2022·全国·高三课时练习）如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比为，在用力蹬脚踏板前进的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小齿轮和后轮的角速度大小之比为
B．大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为
C．大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为
D．大齿轮和小齿轮轮缘的向心加速度大小之比为
【答案】B
【解析】A．小齿轮和后轮是同轴转动，角速度相等，选项A错误；
B．大齿轮和小齿轮边缘的线速度相等，根据
v=ωr
可知，角速度大小之比为1：4，选项B正确；
C．根据
v=ωr
可知，小齿轮和后轮边缘的线速度之比为1:16，则大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1:16，选项C错误；
D．根据
可知，大齿轮和小齿轮轮缘的向心加速度大小之比为1：4，选项D错误。
故选B。
【典例3】如图所示为一个半径为5 m的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在其圆心正上方20 m的高度有一个小球正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，要使得小球正好落在A点，则( )
A．小球平抛的初速度一定是2.5 m/s
B．小球平抛的初速度可能是2.5 m/s
C．圆盘转动的角速度一定是π rad/s
D．圆盘转动的加速度可能是π2 m/s2
【答案】A
【解析】根据h＝gt2可得t＝＝2 s，则小球平抛的初速度v0＝＝2.5 m/s，A正确，B错误；根据ωt＝2nπ(n＝1、2、3、…)，解得圆盘转动的角速度ω＝＝nπ rad/s(n＝1、2、3、…)，圆盘转动的加速度为a＝ω2r＝n2π2r＝5n2π2 m/s2(n＝1、2、3、…)，C、D错误．
考点二 圆周运动的动力学问题
1．匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
(2)大小
Fn＝m＝mrω2＝mr＝mωv.
(3)方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
2．离心运动和近心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
(2)受力特点(如图)
①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动．
②当0
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力．
3．匀速圆周运动与变速圆周运动合力、向心力的特点
(1)匀速圆周运动的合力：提供向心力．
(2)变速圆周运动的合力(如图)
①与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at，改变线速度的大小，当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动．
②指向圆心的分力Fn提供向心力，产生向心加速度an，改变线速度的方向．
1．向心力来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．匀速圆周运动的向心力来源
运动模型
向心力的来源图示
汽车在水平路面转弯
水平转台(光滑)
圆锥摆
飞车走壁
飞机水平转弯
火车转弯
3．变速圆周运动的向心力
如图所示，当小球在竖直面内摆动时，半径方向的合力提供向心力，FT－mgcos θ＝m，如图所示．
4．圆周运动动力学问题的分析思路
5.圆锥摆模型
1.如图所示，向心力F向＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝.
2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝和运动所需向心力也越大．
【典例4】（2022·上海市市西中学二模）如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴r处的P点有一质量为m的小物体随圆盘一起转动。若某时刻圆盘突然停止转动，小物体由P点滑至圆盘上的某点停止，则圆盘停止转动瞬间小物体（ ）
A．沿圆盘半径方向滑动，且m越大，滑动总距离越长
B．沿圆盘半径方向滑动，且ω越大，滑动总距离越长
C．沿垂直半径方向滑动，且m越大，滑动总距离越长
D．沿垂直半径方向滑动，且ω越大，滑动总距离越长
【答案】D
【解析】圆盘停止转动瞬间，物体有沿切线方向的速度，速度大小为
圆盘停止后，小物体受到沿切线方向的反方向的滑动摩擦力，因此小物体沿切线方法做匀减速直线运动，设小物体与圆盘的动摩擦因数为，则匀减速运动的加速度大小为
设滑动总距离为，根据匀变速直线运动位移与速度的关系可得
解得
因此ω越大，滑动总距离越长，故ABC错误，D正确。
故选D。
【典例5】（2022·全国·高三课时练习）如图所示，一根细线下端拴一个金属小球Q，细线穿过小孔（小孔光滑）另一端连接在金属块P上，P始终静止在水平桌面上，若不计空气阻力，小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。实际上，小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用。因阻力作用，小球Q的运动轨道发生缓慢的变化（可视为一系列半径不同的圆周运动）。下列判断正确的是（ ）
A．小球Q的位置越来越高 B．细线的拉力变小
C．小球Q运动的角速度变大 D．P受到桌面的静摩擦力变大
【答案】B
【解析】A．由于小球受到空气阻力作用，线速度减小，则所需要的向心力减小，小球做近心运动，小球的位置越来越低，故A错误；
BC．设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为FT，细线的长度为L，当小球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图所示
则有
解得
由于小球受到空气阻力作用，线速度减小，θ减小，cosθ增大，因此，细线的拉力FT减小，角速度ω减小，故B正确，C错误；
D．对金属块P，由平衡条件知，P受到桌面的静摩擦力大小等于细线的拉力大小，则静摩擦力变小，故D错误。
故选B。
【典例6】（2022·上海市杨浦高级中学模拟预测）如图，“旋转飞椅”的座椅通过不可伸长的缆绳悬挂在水平旋转圆盘上（不计空气阻力），当旋转圆盘和座椅绕竖直的中心轴一起匀速转动时，通过测量获得缆绳与竖直方向的夹角，已知当地的重力加速度值，由此可求得（ ）
A．缆绳受到的拉力 B．人对座椅的压力 C．座椅和人的速度 D．座椅和人的加速度
【答案】D
【解析】A．设通过测量获得缆绳与竖直方向的夹角为，座椅和人的质量分别为M和m，座椅和人竖直方向受力平衡
因座椅和人的质量的未知，无法求出缆绳受到的拉力。A错误；
B．人竖直方向受力平衡
得
人对座椅的压力
人的质量的未知，无法求出人对座椅的压力。B错误；
C．设座椅和人做圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律
得
因半径为r未知，无法求出座椅和人的速度。C错误；
D．由牛顿第二定律
得
夹角和g已知，可求出座椅和人的加速度。D正确。
故选D。
一、单选题
1.（2022·广东·模拟预测）2022年2月5日，中国队获得北京冬奥会短道速滑项目混合团体接力冠军。短道速滑是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动。如图所示，将运动员在短时间内的某一小段运动看作匀速圆周运动，则关于该小段运动下列说法正确的是（ ）
A．运动员受到冰面的恒力作用，做匀速运动
B．运动员受到冰面的恒力作用，做匀变速运动
C．运动员受到冰面的变力作用，做变加速运动
D．运动员受到冰面的变力作用，做匀变速运动
【答案】C
【解析】运动员在短时间内做匀速圆周运动，重力和冰面作用力的合力提供向心力，向心力大小不变但方向时刻改变，而运动员的重力始终不变，所以运动员受到冰面的变力作用，做变加速运动。
故选C。
2．（2022·海南·模拟预测）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京开幕，花样滑冰为其中的15个比赛项目之一。假设花样滑冰运动员保持如图所示姿势原地旋转，此时手臂上A、B两点的角速度大小分别为、，线速度大小分别为、，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】AB．手臂上A、B两点同轴转动，则角速度相同，故AB错误；
CD．根据
因为A点转动半径大于B点，而角速度相同，则A点线速度大于B点，故C错误，D正确。
故选D。
3．（2022·上海金山·二模）如图，武大靖在北京冬奥会上参加短道速滑比赛。设他过弯的轨迹为半圆，且转弯时速度在减小，则他过弯时的向心加速度会（ ）
A．变小 B．变大 C．不变 D．不能确定
【答案】A
【解析】由可知转弯时速度在减小，则他过弯时的向心加速度会减小，故A正确，BCD错误。故选A。
4．（2022·河北沧州·二模）如图所示，轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一个小球，小球随轻杆一起在竖直平面内在转轴的带动下绕O点以角速度做匀速圆周运动。已知杆长为L，小球的质量为m，重力加速度为g，A、B两点与O点在同一水平直线上，C、D分别为圆周的最高点和最低点，下列说法正确的是（ ）
A．小球在运动过程中向心加速度不变
B．小球运动到最高点C时，杆对小球的作用力为支持力
C．小球运动到A点时，杆对小球作用力为
D．小球在D点与C点相比，杆对小球的作用力的大小差值一定为
【答案】C
【解析】A．小球做匀速圆周运动，向心加速度大小不变，方向改变，选项A错误；
B．当小球在最高点，由牛顿第二定律
可知，当小球通过最高点时线速度大于时，FN为正值，杆对小球的作用力为向下的拉力；当小球通过最高点时线速度小于时，FN为负值，杆对小球的作用力为向上的支持力；当小球通过最高点时线速度等于时，FN为0。因为不知道小球在最高点时线速度与的大小关系，所以不能判断杆对小球是支持力还是拉力，选项B错误；
C．当小球在A点时，杆对小球作用力竖直方向分量应等于重力，水平方向分量提供向心力，故杆对小球的作用力
选项C正确；
D．若小球在最高点，杆对小球的作用力为支持力，则在C点
在D点
可得
若小球在最高点，杆对小球的作用力为拉力，则在C点
在D点
可得
选项D错误。
故选C。
5．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三开学考试）内表面为半球型且光滑的碗固定在水平桌面上，球半径为R，球心为O，现让可视为质点的小球在碗内的某一水平面上做匀速圆周运动，小球与球心O的连线与竖直线的夹角为θ，重力加速度为g，则（ ）
A．小球的加速度为a = gsinθ
B．碗内壁对小球的支持力为
C．小球的运动周期为
D．小球运动的速度为
【答案】C
【解析】AB．小球在碗内的某一水平面上做匀速圆周运动，受力如图
竖直方向有
水平方向有
联立解得
故AB错误；
C．又由
小球的运动周期为
故C正确；
D．又由
小球运动的速度为
故D错误。
故选C。
6．（2022·宁夏·吴忠中学三模）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA=r，RB=2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是（ ）
A．此时绳子张力为T=2μmg
B．此时圆盘的角速度为ω=
C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
【答案】B
【解析】A．两物体角速度相同，根据
所以B所受向心力比A大，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B有背离圆心的离心趋势，A有指向圆心的近心趋势。设此时绳子的张力大小为T，对A、B分别应用牛顿第二定律有
两式联立解得
T=3μmg
故A错误；
B．由上面分析可知
解得此时圆盘的角速度为
故B正确；
C．此时A有指向圆心的近心趋势，所受摩擦力方向沿半径指向圆外，故C错误；
D．A、B以角速度做匀速圆周运动时所需的向心力大小分别为
若此时烧断绳子，A、B所受最大静摩擦力均不足以提供向心力，所以A、B都将做离心运动，故D错误。
故选B。
7．（2022·湖北·广水市一中高三阶段练习）如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点。设法让两个小球均在各自的水平面上做匀速圆周运动。已知l1跟竖直方向的夹角为60°，l2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是（ ）
A．细线l1和细线l2所受的拉力大小之比为
B．小球A和B的角速度大小之比为1：1
C．小球A和B的向心力大小之比为3：1
D．小球A和B的线速度大小之比为
【答案】C
【解析】A．细线l1和细线l2所受的拉力大小之比为
A错误；
B．根据牛顿第二定律得
解得
B错误；
C．小球A和B的向心力大小之比为
C正确；
D．根据牛顿第二定律得
解得
D错误。
故选C。
8.如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方．则( )
A．球甲的角速度一定大于球乙的角速度
B．球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C．球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期
D．球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力
【答案】B
【解析】对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设支持力与竖直方向夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝m＝mRω2，解得v＝ ，ω＝，球甲的轨迹半径大，则球甲的角速度一定小于球乙的角速度，球甲的线速度一定大于球乙的线速度，故A错误，B正确；根据T＝，因为球甲的角速度一定小于球乙的角速度，则球甲的运动周期一定大于球乙的运动周期，故C错误；因为支持力FN＝，结合牛顿第三定律，球甲对筒壁的压力一定等于球乙对筒壁的压力，故D错误．
9.（2021·江苏·扬州中学高三阶段练习）摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中、分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比和，且在正常工作时两轮盘不打滑。今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心、的间距。若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（ ）
①滑块A和在与轮盘相对静止时，角速度之比为
②滑块A和在与轮盘相对静止时，角速度之比为
③转速增加后滑块先发生滑动
④转速增加后滑块A先发生滑动
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【解析】在正常工作时两轮盘不打滑，则两轮边缘线速度相等，根据
则角速度与半径成反比，有
滑块在轮盘随轮盘一起转动，静摩擦力提供向心力，根据
及
得A、B的向心加速度之比为
根据题意可得物块的最大静摩擦力相等，由牛顿第二定律可得转动中所受的静摩擦力之比为
可知滑块B先达到最大静摩擦力，先开始滑动，综上可知A正确，BCD错误。
故选A。
10．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则（ ）
A．绳的张力可能为零
B．桶对物块的弹力不可能为零
C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
【答案】C
【解析】ACD．当物块随圆桶做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，故C正确，AD错误；
B．当绳的水平分力提供向心力的时候，桶对物块的弹力恰好为零，故B错误。
故选C。
二、多选题
11．（福建福州·高三期中）如图所示，A、B是两个摩擦传动的靠背轮，A是主动轮，B是从动轮，它们的半RA=2RB，a和b两点在轮的边缘，c和d在各轮半径的中点，下列判断正确的有（ ）
A．Va=2Vb B．ωb=2ωa C．Vc=Va D．ωb=ωd
【答案】BD
【解析】A、由于A、B两轮之间通过摩擦传动，故A、B两轮的边缘的线速度大小相同，故va=Vb，故A错误．B、根据V=ωR可得，ωaRA=ωbRB，ωa：ωb=RB：RA=1：2，即ωb=2ωa，故B正确．C、由于a与c在同一个圆上，故ωa=ωc，故va：vc=2：1，即va=2vc，故C错误．D、b、d两点共轴，角速度相等，所以ωb=ωd，故D正确．故选BD．
12.（2021·广东·揭阳华侨高中高三阶段练习）长度L＝0.5m的细线，拴一质量m＝2kg的小球（不计大小），另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示，摆线与竖直方向的夹角α＝37°，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．细线的拉力大小为25N
B．小球运动的角速度为5rad/s
C．小球运动的线速度大小为1.2m/s
D．小球所受到的向心力大小为15N
【答案】ABD
【解析】A．小球受到重力和绳子的拉力，两力的合力充当向心力，竖直方向上受力平衡，则有
解得绳子上的拉力为
A正确；
BCD．两力的合力充当向心力，则有
解得
，
B正确，C错误，D正确。
故选ABD。
三、解答题
13.（2021·重庆南开中学高三阶段练习）如图所示，质量均为m的木块A、B叠放在一起，B通过轻绳与质量也为m的木块C相连．三木块放置在可绕固定转轴转动的水平转台上．木块A、B与转轴的距离为，木块C与转轴的距离为L．A与B间的动摩擦因数为，B、C与转台间的动摩擦因数为．（取最大静摩擦力等于滑动摩擦力）．现转台的角速度从零开始缓慢增大，直到有木块即将发生相对滑动为止．
（1）当时，求间摩擦力及绳对B拉力的大小．
（2）请通过计算后做出C受到的摩擦力f与的函数图像（取指向转轴的方向为摩擦力的正方向，图像中要有重要点的坐标值）
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）间的摩擦力，由牛顿第二定律
代入
解得
此时B与转盘间的摩擦力（取整体）
故此时绳对B拉力
（2）设角速度为时整体先达到最大静摩擦力，由牛顿第二定律
解得
即时，由牛顿第二定律
后产生绳拉力T，对整体有，由牛顿第二定律
对C有，由牛顿第二定律
代入解得
直到
（C达到最大静摩擦）
此时角速度为
此时A也即将发生相对运动，即
时，有
故分段函数如图所示
14.（2020·全国·高三专题练习）如图所示，质量m=2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N则：
（1）汽车允许的最大速率是多少？
（2）若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？（g取10 m/s2）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）汽车在凹面的底部时承受压力越大，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的支持力FN1=3.0×105 N，根据牛顿第二定律得
解得
（2）汽车在凸面顶部时压力最小，由牛顿第二定律得
解得
15．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，长为L=0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量m=2 kg的小球，g取10 m/s2。
（1）如果小球的速度为3 m/s，求在最低点时杆对小球的拉力为多大。
（2）如果在最高点杆对小球的支持力为4 N，求杆旋转的角速度为多大。
【答案】（1）56 N；（2）4 rad/s
【解析】解：（1）小球在最低点受力如图甲所示,合力等于向心力,由牛顿第二定律可得
FA-mg=m
解得
FA=56 N
（2）小球在最高点受力如图乙所示,则有由牛顿第二定律可得
mg-FB=mω2L
解得
ω=4 rad/s
16.（2021·山东·高三阶段练习）如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为，，与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速缓慢增大
（1）圆盘角速度多大时，绳子中开始出现拉力；
（2）圆盘角速度多大时，物块A不受圆盘的摩擦力；
（3）圆盘角速度多大时，A、B相对圆盘发生滑动。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）物块B先达到最大静摩擦力，以B为研究对象，有
解得
（2）当物块A不受摩擦力时，以A为研究对象，有
以B为研究对象，有
解得
（3）A、B相对圆盘发生滑动时，沿AB连线向B外侧发生滑动，以A为研究对象，有
以B为研究对象，有
解得
专题09 圆周运动
1.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系.
2.掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法.
3.会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的分析方法，掌握圆锥摆模型．
考点一 圆周运动的运动学问题
1．描述圆周运动的物理量
定义、意义
公式、单位
线速度(v)
①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量
②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切
①v＝(定义式)＝(与周期的关系)
②单位：m/s
角速度(ω)
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量
②是矢量，但不研究其方向
①ω＝(定义式)＝(与周期的关系)
②单位：rad/s
③ω与v的关系：v＝ωr
周期(T)
转速(n)
频率(f)
①周期是做匀速圆周运动的物体沿圆周运动一周所用的时间，周期的倒数为频率
②转速是单位时间内物体转过的圈数
①T＝＝(与频率的关系)
②T的单位：s
n的单位：r/s、r/min
f的单位：Hz
向心加速度(an)
①描述线速度方向变化快慢的物理量
②方向指向圆心
①an＝＝ω2r＝r＝ωv
②单位：m/s2
2．匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，所做的运动就是匀速圆周运动．
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动．
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
1．对公式v＝ωr的理解
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比．
2．对an＝＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比．
3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
(3)同轴转动：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．
【典例1】（2021·上海金山·一模）物体做匀速圆周运动时，保持不变的量是（ ）
A．向心力 B．角速度 C．线速度 D．加速度
【答案】B
【解析】A D. 物体做匀速圆周运动时，向心力和向心加速度大小不变，方向指向圆心不断变化，故AD错误；
B.做匀速圆周运动的物体，角速度不变，是恒量，故B正确；
C.做匀速圆周运动时，线速度大小不变，方向沿圆周的切线方向不断变化，故C错误。
故选B。
【典例2】（2022·全国·高三课时练习）如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比为，在用力蹬脚踏板前进的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小齿轮和后轮的角速度大小之比为
B．大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为
C．大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为
D．大齿轮和小齿轮轮缘的向心加速度大小之比为
【答案】B
【解析】A．小齿轮和后轮是同轴转动，角速度相等，选项A错误；
B．大齿轮和小齿轮边缘的线速度相等，根据
v=ωr
可知，角速度大小之比为1：4，选项B正确；
C．根据
v=ωr
可知，小齿轮和后轮边缘的线速度之比为1:16，则大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1:16，选项C错误；
D．根据
可知，大齿轮和小齿轮轮缘的向心加速度大小之比为1：4，选项D错误。
故选B。
【典例3】如图所示为一个半径为5 m的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在其圆心正上方20 m的高度有一个小球正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，要使得小球正好落在A点，则( )
A．小球平抛的初速度一定是2.5 m/s
B．小球平抛的初速度可能是2.5 m/s
C．圆盘转动的角速度一定是π rad/s
D．圆盘转动的加速度可能是π2 m/s2
【答案】A
【解析】根据h＝gt2可得t＝＝2 s，则小球平抛的初速度v0＝＝2.5 m/s，A正确，B错误；根据ωt＝2nπ(n＝1、2、3、…)，解得圆盘转动的角速度ω＝＝nπ rad/s(n＝1、2、3、…)，圆盘转动的加速度为a＝ω2r＝n2π2r＝5n2π2 m/s2(n＝1、2、3、…)，C、D错误．
考点二 圆周运动的动力学问题
1．匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
(2)大小
Fn＝m＝mrω2＝mr＝mωv.
(3)方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
2．离心运动和近心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
(2)受力特点(如图)
①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动．
②当0
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力．
3．匀速圆周运动与变速圆周运动合力、向心力的特点
(1)匀速圆周运动的合力：提供向心力．
(2)变速圆周运动的合力(如图)
①与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at，改变线速度的大小，当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动．
②指向圆心的分力Fn提供向心力，产生向心加速度an，改变线速度的方向．
1．向心力来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．匀速圆周运动的向心力来源
运动模型
向心力的来源图示
汽车在水平路面转弯
水平转台(光滑)
圆锥摆
飞车走壁
飞机水平转弯
火车转弯
3．变速圆周运动的向心力
如图所示，当小球在竖直面内摆动时，半径方向的合力提供向心力，FT－mgcos θ＝m，如图所示．
4．圆周运动动力学问题的分析思路
5.圆锥摆模型
1.如图所示，向心力F向＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝.
2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝和运动所需向心力也越大．
【典例4】（2022·上海市市西中学二模）如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴r处的P点有一质量为m的小物体随圆盘一起转动。若某时刻圆盘突然停止转动，小物体由P点滑至圆盘上的某点停止，则圆盘停止转动瞬间小物体（ ）
A．沿圆盘半径方向滑动，且m越大，滑动总距离越长
B．沿圆盘半径方向滑动，且ω越大，滑动总距离越长
C．沿垂直半径方向滑动，且m越大，滑动总距离越长
D．沿垂直半径方向滑动，且ω越大，滑动总距离越长
【答案】D
【解析】圆盘停止转动瞬间，物体有沿切线方向的速度，速度大小为
圆盘停止后，小物体受到沿切线方向的反方向的滑动摩擦力，因此小物体沿切线方法做匀减速直线运动，设小物体与圆盘的动摩擦因数为，则匀减速运动的加速度大小为
设滑动总距离为，根据匀变速直线运动位移与速度的关系可得
解得
因此ω越大，滑动总距离越长，故ABC错误，D正确。
故选D。
【典例5】（2022·全国·高三课时练习）如图所示，一根细线下端拴一个金属小球Q，细线穿过小孔（小孔光滑）另一端连接在金属块P上，P始终静止在水平桌面上，若不计空气阻力，小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。实际上，小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用。因阻力作用，小球Q的运动轨道发生缓慢的变化（可视为一系列半径不同的圆周运动）。下列判断正确的是（ ）
A．小球Q的位置越来越高 B．细线的拉力变小
C．小球Q运动的角速度变大 D．P受到桌面的静摩擦力变大
【答案】B
【解析】A．由于小球受到空气阻力作用，线速度减小，则所需要的向心力减小，小球做近心运动，小球的位置越来越低，故A错误；
BC．设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为FT，细线的长度为L，当小球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图所示
则有
解得
由于小球受到空气阻力作用，线速度减小，θ减小，cosθ增大，因此，细线的拉力FT减小，角速度ω减小，故B正确，C错误；
D．对金属块P，由平衡条件知，P受到桌面的静摩擦力大小等于细线的拉力大小，则静摩擦力变小，故D错误。
故选B。
【典例6】（2022·上海市杨浦高级中学模拟预测）如图，“旋转飞椅”的座椅通过不可伸长的缆绳悬挂在水平旋转圆盘上（不计空气阻力），当旋转圆盘和座椅绕竖直的中心轴一起匀速转动时，通过测量获得缆绳与竖直方向的夹角，已知当地的重力加速度值，由此可求得（ ）
A．缆绳受到的拉力 B．人对座椅的压力 C．座椅和人的速度 D．座椅和人的加速度
【答案】D
【解析】A．设通过测量获得缆绳与竖直方向的夹角为，座椅和人的质量分别为M和m，座椅和人竖直方向受力平衡
因座椅和人的质量的未知，无法求出缆绳受到的拉力。A错误；
B．人竖直方向受力平衡
得
人对座椅的压力
人的质量的未知，无法求出人对座椅的压力。B错误；
C．设座椅和人做圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律
得
因半径为r未知，无法求出座椅和人的速度。C错误；
D．由牛顿第二定律
得
夹角和g已知，可求出座椅和人的加速度。D正确。
故选D。
一、单选题
1.（2022·广东·模拟预测）2022年2月5日，中国队获得北京冬奥会短道速滑项目混合团体接力冠军。短道速滑是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动。如图所示，将运动员在短时间内的某一小段运动看作匀速圆周运动，则关于该小段运动下列说法正确的是（ ）
A．运动员受到冰面的恒力作用，做匀速运动
B．运动员受到冰面的恒力作用，做匀变速运动
C．运动员受到冰面的变力作用，做变加速运动
D．运动员受到冰面的变力作用，做匀变速运动
【答案】C
【解析】运动员在短时间内做匀速圆周运动，重力和冰面作用力的合力提供向心力，向心力大小不变但方向时刻改变，而运动员的重力始终不变，所以运动员受到冰面的变力作用，做变加速运动。
故选C。
2．（2022·海南·模拟预测）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京开幕，花样滑冰为其中的15个比赛项目之一。假设花样滑冰运动员保持如图所示姿势原地旋转，此时手臂上A、B两点的角速度大小分别为、，线速度大小分别为、，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】AB．手臂上A、B两点同轴转动，则角速度相同，故AB错误；
CD．根据
因为A点转动半径大于B点，而角速度相同，则A点线速度大于B点，故C错误，D正确。
故选D。
3．（2022·上海金山·二模）如图，武大靖在北京冬奥会上参加短道速滑比赛。设他过弯的轨迹为半圆，且转弯时速度在减小，则他过弯时的向心加速度会（ ）
A．变小 B．变大 C．不变 D．不能确定
【答案】A
【解析】由可知转弯时速度在减小，则他过弯时的向心加速度会减小，故A正确，BCD错误。故选A。
4．（2022·河北沧州·二模）如图所示，轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一个小球，小球随轻杆一起在竖直平面内在转轴的带动下绕O点以角速度做匀速圆周运动。已知杆长为L，小球的质量为m，重力加速度为g，A、B两点与O点在同一水平直线上，C、D分别为圆周的最高点和最低点，下列说法正确的是（ ）
A．小球在运动过程中向心加速度不变
B．小球运动到最高点C时，杆对小球的作用力为支持力
C．小球运动到A点时，杆对小球作用力为
D．小球在D点与C点相比，杆对小球的作用力的大小差值一定为
【答案】C
【解析】A．小球做匀速圆周运动，向心加速度大小不变，方向改变，选项A错误；
B．当小球在最高点，由牛顿第二定律
可知，当小球通过最高点时线速度大于时，FN为正值，杆对小球的作用力为向下的拉力；当小球通过最高点时线速度小于时，FN为负值，杆对小球的作用力为向上的支持力；当小球通过最高点时线速度等于时，FN为0。因为不知道小球在最高点时线速度与的大小关系，所以不能判断杆对小球是支持力还是拉力，选项B错误；
C．当小球在A点时，杆对小球作用力竖直方向分量应等于重力，水平方向分量提供向心力，故杆对小球的作用力
选项C正确；
D．若小球在最高点，杆对小球的作用力为支持力，则在C点
在D点
可得
若小球在最高点，杆对小球的作用力为拉力，则在C点
在D点
可得
选项D错误。
故选C。
5．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三开学考试）内表面为半球型且光滑的碗固定在水平桌面上，球半径为R，球心为O，现让可视为质点的小球在碗内的某一水平面上做匀速圆周运动，小球与球心O的连线与竖直线的夹角为θ，重力加速度为g，则（ ）
A．小球的加速度为a = gsinθ
B．碗内壁对小球的支持力为
C．小球的运动周期为
D．小球运动的速度为
【答案】C
【解析】AB．小球在碗内的某一水平面上做匀速圆周运动，受力如图
竖直方向有
水平方向有
联立解得
故AB错误；
C．又由
小球的运动周期为
故C正确；
D．又由
小球运动的速度为
故D错误。
故选C。
6．（2022·宁夏·吴忠中学三模）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA=r，RB=2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是（ ）
A．此时绳子张力为T=2μmg
B．此时圆盘的角速度为ω=
C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
【答案】B
【解析】A．两物体角速度相同，根据
所以B所受向心力比A大，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B有背离圆心的离心趋势，A有指向圆心的近心趋势。设此时绳子的张力大小为T，对A、B分别应用牛顿第二定律有
两式联立解得
T=3μmg
故A错误；
B．由上面分析可知
解得此时圆盘的角速度为
故B正确；
C．此时A有指向圆心的近心趋势，所受摩擦力方向沿半径指向圆外，故C错误；
D．A、B以角速度做匀速圆周运动时所需的向心力大小分别为
若此时烧断绳子，A、B所受最大静摩擦力均不足以提供向心力，所以A、B都将做离心运动，故D错误。
故选B。
7．（2022·湖北·广水市一中高三阶段练习）如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点。设法让两个小球均在各自的水平面上做匀速圆周运动。已知l1跟竖直方向的夹角为60°，l2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是（ ）
A．细线l1和细线l2所受的拉力大小之比为
B．小球A和B的角速度大小之比为1：1
C．小球A和B的向心力大小之比为3：1
D．小球A和B的线速度大小之比为
【答案】C
【解析】A．细线l1和细线l2所受的拉力大小之比为
A错误；
B．根据牛顿第二定律得
解得
B错误；
C．小球A和B的向心力大小之比为
C正确；
D．根据牛顿第二定律得
解得
D错误。
故选C。
8.如图所示，质量相等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方．则( )
A．球甲的角速度一定大于球乙的角速度
B．球甲的线速度一定大于球乙的线速度
C．球甲的运动周期一定小于球乙的运动周期
D．球甲对筒壁的压力一定大于球乙对筒壁的压力
【答案】B
【解析】对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设支持力与竖直方向夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝m＝mRω2，解得v＝ ，ω＝，球甲的轨迹半径大，则球甲的角速度一定小于球乙的角速度，球甲的线速度一定大于球乙的线速度，故A错误，B正确；根据T＝，因为球甲的角速度一定小于球乙的角速度，则球甲的运动周期一定大于球乙的运动周期，故C错误；因为支持力FN＝，结合牛顿第三定律，球甲对筒壁的压力一定等于球乙对筒壁的压力，故D错误．
9.（2021·江苏·扬州中学高三阶段练习）摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中、分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比和，且在正常工作时两轮盘不打滑。今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心、的间距。若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（ ）
①滑块A和在与轮盘相对静止时，角速度之比为
②滑块A和在与轮盘相对静止时，角速度之比为
③转速增加后滑块先发生滑动
④转速增加后滑块A先发生滑动
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【解析】在正常工作时两轮盘不打滑，则两轮边缘线速度相等，根据
则角速度与半径成反比，有
滑块在轮盘随轮盘一起转动，静摩擦力提供向心力，根据
及
得A、B的向心加速度之比为
根据题意可得物块的最大静摩擦力相等，由牛顿第二定律可得转动中所受的静摩擦力之比为
可知滑块B先达到最大静摩擦力，先开始滑动，综上可知A正确，BCD错误。
故选A。
10．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则（ ）
A．绳的张力可能为零
B．桶对物块的弹力不可能为零
C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
【答案】C
【解析】ACD．当物块随圆桶做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，故C正确，AD错误；
B．当绳的水平分力提供向心力的时候，桶对物块的弹力恰好为零，故B错误。
故选C。
二、多选题
11．（福建福州·高三期中）如图所示，A、B是两个摩擦传动的靠背轮，A是主动轮，B是从动轮，它们的半RA=2RB，a和b两点在轮的边缘，c和d在各轮半径的中点，下列判断正确的有（ ）
A．Va=2Vb B．ωb=2ωa C．Vc=Va D．ωb=ωd
【答案】BD
【解析】A、由于A、B两轮之间通过摩擦传动，故A、B两轮的边缘的线速度大小相同，故va=Vb，故A错误．B、根据V=ωR可得，ωaRA=ωbRB，ωa：ωb=RB：RA=1：2，即ωb=2ωa，故B正确．C、由于a与c在同一个圆上，故ωa=ωc，故va：vc=2：1，即va=2vc，故C错误．D、b、d两点共轴，角速度相等，所以ωb=ωd，故D正确．故选BD．
12.（2021·广东·揭阳华侨高中高三阶段练习）长度L＝0.5m的细线，拴一质量m＝2kg的小球（不计大小），另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示，摆线与竖直方向的夹角α＝37°，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．细线的拉力大小为25N
B．小球运动的角速度为5rad/s
C．小球运动的线速度大小为1.2m/s
D．小球所受到的向心力大小为15N
【答案】ABD
【解析】A．小球受到重力和绳子的拉力，两力的合力充当向心力，竖直方向上受力平衡，则有
解得绳子上的拉力为
A正确；
BCD．两力的合力充当向心力，则有
解得
，
B正确，C错误，D正确。
故选ABD。
三、解答题
13.（2021·重庆南开中学高三阶段练习）如图所示，质量均为m的木块A、B叠放在一起，B通过轻绳与质量也为m的木块C相连．三木块放置在可绕固定转轴转动的水平转台上．木块A、B与转轴的距离为，木块C与转轴的距离为L．A与B间的动摩擦因数为，B、C与转台间的动摩擦因数为．（取最大静摩擦力等于滑动摩擦力）．现转台的角速度从零开始缓慢增大，直到有木块即将发生相对滑动为止．
（1）当时，求间摩擦力及绳对B拉力的大小．
（2）请通过计算后做出C受到的摩擦力f与的函数图像（取指向转轴的方向为摩擦力的正方向，图像中要有重要点的坐标值）
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）间的摩擦力，由牛顿第二定律
代入
解得
此时B与转盘间的摩擦力（取整体）
故此时绳对B拉力
（2）设角速度为时整体先达到最大静摩擦力，由牛顿第二定律
解得
即时，由牛顿第二定律
后产生绳拉力T，对整体有，由牛顿第二定律
对C有，由牛顿第二定律
代入解得
直到
（C达到最大静摩擦）
此时角速度为
此时A也即将发生相对运动，即
时，有
故分段函数如图所示
14.（2020·全国·高三专题练习）如图所示，质量m=2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N则：
（1）汽车允许的最大速率是多少？
（2）若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？（g取10 m/s2）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）汽车在凹面的底部时承受压力越大，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的支持力FN1=3.0×105 N，根据牛顿第二定律得
解得
（2）汽车在凸面顶部时压力最小，由牛顿第二定律得
解得
15．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，长为L=0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量m=2 kg的小球，g取10 m/s2。
（1）如果小球的速度为3 m/s，求在最低点时杆对小球的拉力为多大。
（2）如果在最高点杆对小球的支持力为4 N，求杆旋转的角速度为多大。
【答案】（1）56 N；（2）4 rad/s
【解析】解：（1）小球在最低点受力如图甲所示,合力等于向心力,由牛顿第二定律可得
FA-mg=m
解得
FA=56 N
（2）小球在最高点受力如图乙所示,则有由牛顿第二定律可得
mg-FB=mω2L
解得
ω=4 rad/s
16.（2021·山东·高三阶段练习）如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为，，与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速缓慢增大
（1）圆盘角速度多大时，绳子中开始出现拉力；
（2）圆盘角速度多大时，物块A不受圆盘的摩擦力；
（3）圆盘角速度多大时，A、B相对圆盘发生滑动。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）物块B先达到最大静摩擦力，以B为研究对象，有
解得
（2）当物块A不受摩擦力时，以A为研究对象，有
以B为研究对象，有
解得
（3）A、B相对圆盘发生滑动时，沿AB连线向B外侧发生滑动，以A为研究对象，有
以B为研究对象，有
解得
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