2023年江苏省宿迁市中考数学试卷（含解析)

2023年江苏省宿迁市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.以下列每组数为长度单位：的三根小木棒，其中能搭成三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.已知一组数据，，，，，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是(    )

A.  B.  C.  D.

6.孙子算经中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有辆车，则根据题意可列出方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7.在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，点为圆上的一个动点，则点到直线的最大距离是(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，直线、与双曲线分别相交于点、、、若四边形的面积为，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.______．

10.港珠澳大桥被誉为“新世界七大奇迹”之一，全长米将数字用科学记数法表示是______ ．

11.分解因式：________．

12.不等式的最大整数解是______ ．

13.七边形的内角和等于______度．

14.平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为______ ．

15.圆锥底面圆的半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长为______．

16.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点点、、三点都在格点上，则 ______ ．

17.若实数满足，则 ______ ．

18.如图，是正三角形，点在第一象限，点、将线段绕点按顺时针方向旋转至；将线段绕点按顺时针方向旋转至；将线段绕点按顺时针方向旋转至；将线段绕点按顺时针方向旋转至；以此类推，则点的坐标是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
计算：．

20.本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.本小题分

如图，在矩形中，，，垂足分别为、求证：．

22.本小题分
为了解某校九年级学生周末活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计表和统计图．
学生参加周末活动人数统计表

请结合图表中提供的信息，解答下列问题：
______ ， ______ ；
扇形统计图中对应的圆心角是______ 度；
若该校九年级有名学生，请估算该校九年级周末参加家务劳动的人数．

23.本小题分
某校计划举行校园歌手大赛九班准备从、、三名男生和、两名女生中随机选出参赛选手．
若只选名选手参加比赛，则女生入选的概率是______ ；
若选名选手参加比赛，求恰有名男生和名女生的概率用画树状图或列表法求解．

24.本小题分
如图，在▱中，，，．
求出对角线的长；
尺规作图：将四边形沿着经过点的某条直线翻折，使点落在边上的点处，请作出折痕不写作法，保留作图痕迹

25.本小题分
如图，是的直径，与交于点，弦平分，点在上，连接、，______ 求证：______ ；
从与相切；中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整填写序号，并完成证明过程；
在的前提下，若，，求阴影部分的面积．

26.本小题分
某商场销售、两种商品，每件进价均为元调查发现，如果售出种件，种件，销售总额为元；如果售出种件，种件，销售总额为元．
求、两种商品的销售单价；
经市场调研，种商品按原售价销售，可售出件，原售价每降价元，销售量可增加件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价设种商品降价元，如果、两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售、两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？

27.本小题分
【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角如图，即小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度；
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法如图：他让小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度；
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔的高度他们给出了如下测量步骤如图：让小军站在斜坡的底端处不动小军眼睛离地面距离，小明通过移动镜子镜子平放在坡面上位置至处，让小军恰好能看到塔顶；测出；测出坡长；测出坡比为：即通过他们给出的方案，请你算出信号塔的高度结果保留整数．
 

28.本小题分
规定：若函数的图象与函数的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
下列三个函数；；，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是______ 填写序号；
若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标．
求实数的值；
直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是______ 、______ ；
若函数为常数与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】 

【解析】解：，
不能构成三角形；
，
不能构成三角形；
，，
能构成三角形；
，
不能构成三角形．
故答案为：．
根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三边关系定理是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：，故A不符合题意；
B.，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，故D不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则是解答的关键．

4.【答案】 

【解析】解：把数据从小到大的顺序排列为：，，，，，
中位数为．
故选：．
将这组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
本题主要考查了中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

5.【答案】 

【解析】解：当等腰三角形的顶角为时，则它的底角，
故选：．
根据等腰三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：设有辆车，则可列方程：．
故选：．
根据每三人乘一车，最终剩余辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键．

7.【答案】 

【解析】解：如图，由题意得，，，
当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，
此时，点到直线的最大距离是，
故选：．
根据圆心到直线的距离为，而圆的半径为，此时直线与圆相离，当点在上运动时，当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，根据题意画出图形进行解答即可．
本题考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解决问题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，设直线与轴和轴分别交于点，，作于点，

则，，
，
，
，，
，
同理直线也与轴正半轴的夹角为，
四边形为矩形，为中心，
，
四边形的面积为，
，
，
，
设，
，
，
，
点在双曲线上，
．
故选：．
根据已知可得四边形为矩形，为中心，根据直线、与双曲线的性质得，再根据四边形的面积为，可得，所以，设，则，所以．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握矩形的性质以及一次函数和反比例函数的性质是关键．

9.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根是，即．
故答案为：．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：数字用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
提取公因式，整理即可．
本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．

12.【答案】 

【解析】解：移项，得：，
合并同类项，得：，
则不等式的最大整数解为；
故答案为：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

13.【答案】 

【解析】解：度，则七边形的内角和等于度．
边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．

14.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查平面直角坐标系轴对称中的坐标变化，平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标．
【解答】
解：点关于轴的对称点的坐标是，
故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：设圆锥的母线长为，
根据题意得，
解得，
即圆锥的母线长为．
故答案为．
设圆锥的母线长为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列关于的方程即可．
本题考查了圆锥的计算．

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
由勾股定理得：，，，
则，
，
，
故答案为：．
连接，根据勾股定理的逆定理得到，根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形、勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得到是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
根据即可得答案．
本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式的变形是解题关键．

18.【答案】 

【解析】解：如图，画出前次旋转后点的位置，

由图象可得，点，在轴正半轴上，
旋转次为一个循环，
，
点在射线延长线上，点在轴正半轴上，
，是正三角形，
由旋转的性质可得，，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得，，，
，
，
，
由旋转的性质可得，，
如图，过点作轴于点，

，
，
，
，，
点的坐标是．
故答案为：．
首先画出图形，发现旋转次为一循环，由此得到点在射线延长线上，点在轴正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可．
本题考查了坐标与图形变化，旋转，勾股定理，等边三角形的性质等知识，正确确定每次旋转后，点与旋转中心的距离是解题的关键．

19.【答案】解：原式，
． 

【解析】根据绝对值的性质，零指数幂的性质，特殊锐角三角函数的值进行计算即可．
本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质，零指数幂的性质，特殊锐角三角函数的值

20.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．

21.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
．
又，，
．
在与中，
，
≌，
，
，
即． 

【解析】由全等三角形的判定定理证得≌，可得，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．

22.【答案】     

【解析】解：由题意得：人，
则人，
人；
故答案为：，；
扇形统计图中对应的圆心角是：，
故答案为：；
人，
答：该校九年级周末参加家务劳动的人数约有人．
由统计图表可知，“”组有人，占总人数的，由此可求出总人数，根据“”组占，可求出的值，再由总人数减去“、、、”组的人数即可求出的值；
用乘“”所占比例即可得到答案；
用该校九年级人数乘样本中周末参加家务劳动的人数所占的百分比即可求解．
本题考查扇形统计图、统计表，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

23.【答案】 

【解析】解：共有名学生，随机选取名，每个人被选中的可能性是均等的，
所以女生被选中的概率为，
故答案为：；
用树状图法列举出等可能出现的结果如下：

共有种等可能出现的结果，其中选择的两人男女有种，
所以选名选手恰有名男生和名女生的概率为．
共有名学生，随机选取名，每个人被选中的可能性是均等的，根据概率的定义即可求出答案；
用树状图法列举出等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提，理解概率的定义是正确解答的关键．

24.【答案】解：如图所示，连接，过作于，

，，
，
是等腰直角三角形，
又，
，
，
中，；
如图所示，即为所求．
 

【解析】连接，过作于，依据等腰直角三角形以及勾股定理，即可得到的长；
以为圆心，的长为半径画弧，交于；分别以，为圆心，适当的长为半径画弧，两弧交于点；作射线，交于，则即为折痕．
本题主要考查了平行四边形的性质以及轴对称变换，掌握平行四边形的性质以及轴对称的性质是解决问题的关键．

25.【答案】答案不唯一  答案不唯一 

【解析】解：若选择：作为条件，作为结论，
如图，是的直径，与交于点，弦平分，点在上，连接、，与相切，求证：，
证明：连接，

与相切于点，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
若选择：作为条件，作为结论，
如图，是的直径，与交于点，弦平分，点在上，连接、，，求证：与相切，
证明：连接，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
故答案为：答案不唯一；答案不唯一；
连接，，

是的直径，
，
，，
，，
平分，
，
在中，，，
，
，，
，
都是等边三角形，
，
，
，
的面积的面积，
阴影部分的面积的面积扇形的面积



，
阴影部分的面积为．
若选择：作为条件，作为结论，先根据切线的性质可得，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答；
若选择：作为条件，作为结论，先根据垂直定义可得，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答；
连接，，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而在中，利用含度角的直角三角形性质可得，，再利用角平分线的定义可得，从而在中，利用含度角的直角三角形性质可得，，然后利用圆周角定理可得，从而可得都是等边三角形，进而可得，再利用平行线的判定可得，从而可得的面积的面积，最后根据阴影部分的面积的面积扇形的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，直线与圆的位置关系，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

26.【答案】解：设种商品的销售单价为元，种商品的销售单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：种商品的销售单价为元，种商品的销售单价为元；
设利润为元，
由题意可得：，
种商品售价不低于种商品售价，
，
解得，
当时，取得最大值，此时，
答：取时，商场销售、两种商品可获得总利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据售出种件，种件，销售总额为元；如果售出种件，种件，销售总额为元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据题意和中的结果，可以写出利润与的函数关系式，然后根据种商品售价不低于种商品售价，可以得到的取值范围，最后根据二次函数的性质求最值．
本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组、写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值．

27.【答案】解：【问题背景】由题意得：，，，
，
，
，
即，
∽，
，
，
答：建筑物的高度为；
【活动探究】
如图，过点作，过点作，

由题意得：，，
，
，，
，，
即，，
∽，∽，
，，
，，
，，
，
答：这个广告牌的高度为；
【应用拓展】
如图，过点作于点，过点作于点，

由题意得：，，
，
，
，
即，
，，
，
，
即，
，
∽，
，
由题意得：，
，
，，
设，，则，，
，
，
解得：负值已舍去，
，，
，
，
同【问题背景】得：∽，
，
，
解得：，
，
答：信号塔的高度约为． 

【解析】【问题背景】证∽，得，即可解决问题；
【活动探究】过点作，过点作，证∽，∽，得，，再由，，然后求出、的长，即可解决问题；
【应用拓展】过点作于点，过点作于点，证∽，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题．
本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角函数定义，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．

28.【答案】   

【解析】解：如图：由图可知，与二次函数有个交点的是，
与二次函数互为“兄弟函数”的是，
故答案为：；

把代入得，把，代入函数得，；
，
，
，
，
，
，
，
或．
故答案为：，．
满足方程，即，
，满足方程，即，是方程的两个根，
，即，，
．

分别验证三个函数；；与二次函数的交点个数；
把代入得，把，代入函数得，；
由得，因式分解法解方程，左边一定有因式；
数形结合，对函数进行分段．
本题在新定义下考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，图象交点与方程的关系．解三次方程时用因式分解法，关键是知道左边一定有因式第问利用数形结合，对函数进行分段．