2022-2023学年重庆十一中教育集团九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年重庆十一中教育集团九年级（下）月考数学试卷（3月份）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.四个有理数，，，，其中最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列关于天气预报的图标中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.重庆洪崖洞是一个全国闻名的网红景点，如图的曲线反映了洪崖洞某一天游客的人数人与时间小时的变化情况，则这一天人数最多的时刻大约是(    )

A. 时 B. 时 C. 时 D. 时

4.如图，已知与位似，位似中心为点，且的面积等于面积的，则：的值为(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

5.将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第个图中有颗棋子，第个图中有颗棋子，第个图中有颗棋子，，按此规律，则第个图中棋子的颗数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.某超市月份的营业额为万元，前个月的营业额共万元，设每月营业额的平均增长率都为，则平均增长率应满足的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.如图，是的切线，为切点，的延长线交于点，连接，若，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

10.某城市几条道路的位置如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为，城市规划部门想修一条新道路，要求，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

11.若整数使得关于的不等式组解集为，使得关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

12.对于实数，，定义新运算，则下列结论正确的有(    )
；
当时，；
；
若，是一元二次方程的两个根，则或．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.计算：______．

14.一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共个，这些球除颜色外都相同小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则可估计红球的个数约为______ ．

15.如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接若，阴影部分的面积为______ ．

16.名学生参加义务植树活动，任务是：挖树坑，运树苗这名学生可分为甲、乙、丙三类，其中甲类学生人，乙类人，丙类人，每类学生的劳动效率为甲类学生可以挖树坑个或者运树苗棵，乙类学生可以挖树坑个或者运树苗棵，丙类学生可以挖树坑个或者运树苗棵如果他们的任务是：挖树坑个，运树苗不限，那么在完成挖坑任务的同时树苗运得最多为______ 棵

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
计算：
；
．

18.本小题分
如图，在中，，，将绕点顺时针旋转能与重合．
请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为；不要求写作法，保留作图痕迹
在问情况下，连接，求证：≌填空．
证明：点是边中点，
______ ，
，，
，
______ ，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
______ ，
在和中，
≌．

19.本小题分

近年来，重庆着眼本地资源，牢牢把握智能化带来的历史性机遇，积极布局人工智能、集成电路、云计算、大数据和物联网等产业，抢占智能产业未来发展的制高点．市经信委相关人士介绍，目前重庆人工智能产业正处于加速发展的黄金阶段，在中科云丛、凯泽科技等骨干企业的带动下，我市依托两江新区、南岸区、永川区等产业集聚区，围绕基础技术、人工智能硬件和应用等三大核心环节，加快基于人工智能的计算机视听觉、生物特征识别、新型人机交互、智能决策控制、计算机深度学习等应用技术研发和产业化，为了适应我市对高科技人才的需求，重庆邮电大学智能科学与技术专业从今年起扩大招生规模，年秋季入学招有学生名．为了解该专业学生，两门课程的学习情况，从中随机抽取名学生进行测试，获得了他们的成绩百分制，并对数据成绩进行整理、描述和分析．过程如下：
一整理、描述数据：
信息：名学生课程成绩的频数分布直方图如图：数据分成组：，，，，，
信息：名学生中课程在这一组的具体成绩是
，，，，，，，，，，，，，
二分析数据：名学生，两门课程成绩的平均数、中位数、众数如表：

三得出结论：根据以上信息，回答下列问题
上表中的值是______．
在此次测试中，某学生的课程成绩为分，课程成绩为分，这名学生成绩排名在该门学科中更靠前的课程是______填“”或““，理由是______．
假设该年级名学生都参加此次测试，估计课程成绩不低于分的人数．

20.本小题分
已知，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
求一次函数的解析式，并在网格中画出这个一次函数的图象不需要列表；
根据函数图象直接写出不等式的解集；
已知平面内一点，连接、，求的面积．

21.本小题分
在全民健身运动中，跑步运动颇受市民青睐，甲、乙两跑步爱好者约定从地沿相同路线跑步去距地千米的地，已知甲跑步的速度是乙的倍．
若乙先跑步千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲跑步的速度；
若乙先跑步分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲跑步的速度．

22.本小题分

如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘渔船在点处，从处测得渔船在北偏西的方向，从处测得渔船在其东北方向，且测得，两点之间的距离为海里．
求观测站，之间的距离结果保留根号；
渔船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点处等待补给，此时，从测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达处的同时，一艘补给船从点出发，以每小时海里的速度前往处，请问补给船能否在分钟之内到达处？参考数据：

23.本小题分
已知一个各个数位上的数字均不为的四位正整数，以它的百位数字作为十位，个位数字作为个位，组成一个新的两位数，若等于的千位数字与十位数字的平方差，则称这个数为“平方差数”，将它的百位数字和千位数字组成两位数，个位数字和十位数字组成两位数，并记．
例如：是“平方差数”，因为，所以是“平方差数”；
此时．
又如：不是“平方差数”，因为，所以不是“平方差数”．
判断是否是“平方差数”？并说明理由；
若是“平方差数”，且比的个位数字的倍大，求所有满足条件的“平方差数”．

24.本小题分
如图，已知抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点．

求抛物线的解析式；
如图，为直线上方的抛物线上一点，轴交于点，过点作于点设，求的最大值及此时点坐标；
在中取得最大值时条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．

25.本小题分
如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点．

如图，连接，若，，，求的面积；
如图，作的角平分线交于点，连接，若，求证：；
如图，若，将沿折叠，得到，且与交于点，连接，，点在边上运动的过程中，当时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
，
，
，
最小．
故选：．
根据有理数比较大小的法则进行比较即可．
本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数比较大小的法则是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，确定四个选项中每个图形对称轴的数量，进而可得答案．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．

3.【答案】 

【解析】解：由图可知：当时，人数达到人，此时刻，人数最多．
故选：．
根据图象可直接得到结果．
本题考查了函数图象，解题的关键是学会从中获取信息．

4.【答案】 

【解析】解：与位似，位似中心为点，
，
，
：：，
故选：．
由经过位似变换得到，点是位似中心，根据位似图形的性质即可求得的面积：面积：，得到：：．
此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．

5.【答案】 

【解析】解：第个图形中，棋子数量为；
第个图形中，棋子数量为；
第个图形中，棋子数量为；
以此类推，
第个图形中，棋子数量为；
第个图形中共有棋子的颗数是，
故选：．
根据图形的变换规律，即可得到第个图形中，棋子数量为，从而可得答案．
本题考查图形的变化规律问题，需要找出图形之间的联系，得出运算规律，再利用规律解决问题．解决问题的关键是得到第个图形中，棋子数量为．

6.【答案】 

【解析】解：
，
，
，
．
故选：．
根据式子的结构特点，先利用乘法分配律计算原式的大小为，再估计的大小在和之间，从而估计的大小在和之间．
本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估值方法，根据乘法分配律化简原式是解决问题的前提，掌握估计无理数大小的方法是解决问题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据前个月的营业额共万元，列一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意建立等量关系是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故选：．
先根据正方形的性质、三角形的外角性质可得，再根据定理证出≌，然后根据全等三角形的性质即可得．
本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了切线的性质以及勾股定理，正确判断是直角三角形是关键．连接，则是直角三角形，利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求得、的长，则即可求解．
【解答】
解：连接，

是的切线，为切点，
，
在直角中，，
则，
由勾股定理，，即，
解得负值舍去，
则，
，
．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：道路与道路的夹角为，
，
，
，
，
．
故选：．
首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质和等边对等角性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，等边对等角性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

11.【答案】 

【解析】解：
由得：．
．
由得：．
．
原不等式组的解集为：，
．
．
，
，
．
，，
，．
且．
，且，
符合条件的整数有：，，，，，，．
．
故选：．
先通过不等式组的解确定的范围，再根据分式方程的解求值．
本题考查分式方程和不等式组的解，根据条件确定的范围是求解本题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：，正确；
当时，



，故正确；
，故错误；
若，是一元二次方程的两个根，则，，
，
故或；故正确．
故选：．
利用新定义计算即可判断；根据根与系数的关系得到，，再根据新定义计算即可判断．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了实数的运算．

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．

14.【答案】个 

【解析】由题意可知红球的个数约为个，
故答案为：个．
直接用频率乘以总数即可．
本题考查了根据频率求总数，熟记频率总数个数是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

在中，
，
，
是半圆的直径，
，
在等腰中，
垂直平分，，
为半圆的中点，
．
故答案为：．
根据为直径可知，在等腰直角三角形中，垂直平分，，点为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形的面积与的面积之差．
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：这三类学生挖树坑的相对效率是
甲类：，
乙类：，
丙类：．
由上可知，乙类学生挖树坑的相对效率最高，其次是丙类学生，故应先安排乙类学生挖树坑，可挖：个．
再安排丙类学生挖树坑，可挖：个，
还差个树坑，由两名甲类学生去挖，这样就能完成挖树坑的任务，
其余名甲类学生运树苗，可以运：棵．
故答案为：．
先求出这三类学生挖树坑相对于运树苗的相对效率，然后由挖树坑相对效率较高那一类先挖树坑，剩下的再由第二高的先挖，再剩下的就由相对效率最低的再来挖．
本题关键是根据三类学生的相对效率来求解，挖树坑的效率与运树苗的效率比越高就让他们先来挖树坑，这样效率最高．

17.【答案】解：


；






． 

【解析】先根据多项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可；
根据分式的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

18.【答案】     

【解析】解：如图，分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点、，过点、作直线，交于点，则直线即为所求作的垂直平分线；

证明：点是边中点，
，
，，
，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
在和中，
，
≌．
故答案为：，，，．
分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点、，过点、作直线，交于点，则直线即为所求作的垂直平分线；
先根据中点的定义和含角的直角三角形性质证明，再根据旋转的性质和直角三角形性质得到，根据“边角边”即可证明≌．
本题考查了尺规作图作已知线段的垂直平分线，旋转的性质，含角的直角三角形的性质等知识，理解题意，熟知相关知识，并根据已知条件灵活应用是解题关键．

19.【答案】    的成绩大于中位数 

【解析】解：由题意中位数是．
故答案为．
的成绩大于中位数，
的成绩更靠前．
故答案为，的成绩大于中位数．
人，
答：估计课程成绩不低于分的人数有人．
根据中位数的定义计算即可．
根据中位数的意义解决问题即可．
利用样本估计总体即可解决问题．
本题考查频数分布直方图，中位数，平均数，众数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

20.【答案】解：点和点在反比例函数的图象上，
，，
和点，
把点和点代入一次函数中，
得，
解得，
一次函数的表达式为；
函数图象如图所示：

由图象可知，
不等式的解集是或；
如图，



． 

【解析】把点坐标代入反比例函数求出的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，得到点的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
找出直线在反比例函数图形的上方的自变量的取值即可；
运用分割法，根据求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式以及三角形面积，此类题目的求解一般都是先把已知点的坐标代入反比例函数表达式求出反比例函数解析式，然后再求一次函数解析式．

21.【答案】解：设乙跑步的速度为千米时，则甲跑步的速度为千米时，
依题意得：，
解得：，
．
答：甲跑步的速度为千米时．
设乙跑步的速度为千米时，则甲跑步的速度为千米时，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲跑步的速度为千米时． 

【解析】设乙跑步的速度为千米时，则甲跑步的速度为千米时，利用路程速度时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出乙跑步的速度，再将其代入中即可求出甲跑步的速度；
设乙跑步的速度为千米时，则甲跑步的速度为千米时，利用时间路程速度，结合乙比甲多用分钟，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出乙跑步的速度，再将其代入中即可求出甲跑步的速度．
本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；找准等量关系，正确列出分式方程．

22.【答案】解：过点作于点，

，
在中，，海里，
海里，
海里，
在中，，
海里，
海里，
观测站，之间的距离为海里；
补给船能在分钟之内到达处，
理由：过点作，垂足为，


由题意得：，，
，
在中，，
海里，
在中，，
海里，
补给船从到处的航行时间分钟分钟，
补给船能在分钟之内到达处． 

【解析】过点作于点，可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答；
过点作，垂足为，根据题意得：，，从而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

23.【答案】解：是“平方差数”理由如下：
，
是“平方差数”．
是“平方差数”，
，，
比的个位数字的倍大，
，即，
，
即．
，且均为的正因数，
将分解为或或．
，
解得，
，
；
，
解得，
，
舍；
，
解得或，
，，
舍或．
或． 

【解析】根据“平方差数”的定义计算即可；
由是“平方差数”，得，由比的个位数字的倍大，得，进而得，结合分解分数的方法分解并分情况讨论即可．
本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是理解“平方差数”，明确条件与所求的关系．

24.【答案】把，两点代入解析式，
得，
解得，
抛物线的解析式为．
如图，设与轴的交点为，点，

对于，当时，，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
，
；
，，
，
，
连接，
，
，，
，
，
，
抛物线开口向下，
有最大值，且当时，取得最大值，且为，
此时，
故点．
，
把该抛物线沿水平方向向左平移个单位后得，，
故此函数图象的对称轴为直线，
令，则，
，
把点沿水平方向向左平移个单位后得，
即，
点在直线上，
设点的坐标为
，，
若点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则有：
，即，
，
解得，；
，
，即，
，
整理得，，此时，不存在；
，即，
，
整理得，，此时不存在，
综上，点的坐标为． 

【解析】把，两点代入解析式计算即可；
设与轴的交点为，点，则，确定；根据，计算，于是，结合，确定，继而得到，运用二次函数最值计算即可．
根据平移的性质可得点的坐标为，点坐标为，平移后的抛物线的解析式为，对称轴为直线，设点的坐标为，分，，三种情形列式求出的值即可．
本题考查了待定系数法确定一次函数、二次函数解析式，两点间的距离公式，构造二次函数求最值，熟练掌握解析式的确定，二次函数的最值是解题的关键．

25.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
在直角中，，，
，
，
，
，；
证明：如图中，过点作交的延长线于点．

，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
；
解：如图，

，
，
当时，，
将沿折叠，得到，
，
又，
，，
是等边三角形，
设，则，
，
，
，
在中，，
如图，连接，

，，
，
是等边三角形，
，
，
，
． 

【解析】，利用等腰直角三角性质、，再利用勾股定理求得，计算出即可求出面积；
如图中，过点作交的延长线于点证明≌，推出，再证明≌，推出，，推出，推出是等腰直角三角形，可得结论；
根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，证明是直角三角形，进而勾股定理求得，即可求解．
本题考查了全等三角形全等的证明和性质的综合运用，还考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理；勾股定理解直角三角形，解题的关键是旋转构造全等．