江苏省苏州市苏州工业园区星海实验中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

2023－2024学年第一学期初三十月练习试卷

数学

2023.10

学生练习答题须知：

1．答题前，考生先将自己的姓名、考号、原班级均用阿拉伯数字填写清楚．

2．客观题必须使用2B铅笔填写，主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔，不得用铅笔、红笔或圆珠笔答题，不能用涂改液、修正带，字迹工整，笔迹清楚．

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

4．每道题右侧的方框为评分区，考生不得将答案写在该区域，也不得污损该区域．

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破．

一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．下列方程为一元二次方程的是（    ）

A．x＋2y＝0  B．  C．  D．

2．用配方法解方程时，配方所得的方程为（    ）

A．  B．  C．  D．

3．一元二次方程x（x－2）＋x－2＝0的根为（    ）

A．－1  B．1  C．2或－1  D．2或1

4．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价．某种药品原价为289元，在连续进行两次降价后价格调整为256元．设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（    ）

A．289（1－2x）＝256  B．256（1＋x）2＝289

C．289（1－x）2＝256   D．289（1＋2x）＝256

5．关于x的方程（k－5）x2－2x＋2＝0有两个实数根，则整数k的最大值是（    ）

A．4  B．5  C．6  D．7

6．已知a＜－1，点都在函数y＝3x2的图象上，则（    ）

A．  B．  C．  D．

7．已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为，则方程a（x＋2）2＋b（x＋2）＋1＝0的两根之和为（    ）

A．3  B．－1  C．1  D．0

8．已知等腰三角形的一边长为4，另外两边长是关于x的方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（    ）

A．7  B．8  C．9  D．10

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

9．如果关于x的方程是一元二次方程，那么m＝______．

10．点P（a，9）在函数的图象上，则代数式的值等于______．

11．方程的一个根是另一个根的2倍，则m的值为______．

12．已知点在抛物线上，且，则______．（填“＜”或“＞”或“＝”）

13．若以方程的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，则满足条件的k值为______．

14．若m、n是方程两个根，则______．

15．《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是______尺．

16．二次函数的图象如图，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠ACO＝120°，则菱形OBAC的面积为______．

三、简答题（本大题共11小题，共82分）

17．（本题满分6分）解方程：

（1）  （2）

18．（本题满分6分）先化简，再求值：，其中实数x是方程的一根．

19．（本题满分6分）已知二次函数．

（1）填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．

（2）利用图象写出当时，y的取值范围是______．

20．（本题满分6分）．已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；

（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a＋b）（a＋2b）＝20，求m的值．

21．（本题满分8分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．

（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？

（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

22．（本题满分6分）如图，已知一次函数y＝x＋b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和B（－2，4）．

（1）求两个函数的解析式：

（2）求△AOB的面积，

23．（本题满分8分）如图，矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A，B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿CD向点D移动（不与点C、D重合）．

（1）若点P、Q均以3cm/s的速度移动，经过多长时间四边形BPDQ为菱形？

（2）若点P为3cm/s的速度移动，点Q以2cm/s的速度移动，经过多长时间△DPQ为直角三角形？

24．（本题满分8分）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x．

（1）四边形EFGH的面积为______．（用含x的式子表示）；

（2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？

（3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

25．（本题满分8分）20世纪20年代起，苏州河沿岸集中了大量工厂和棚户简屋，工业污水和生活污水未经处理直接排入河中，使苏州河的水质不断恶化，最终变成一条臭河．90年代起，上海市政府加大监管力度，投放大量财力用于苏州河的治理，并对沿岸工厂的污水排放量实行监控．通过实践表明，若每天有1000吨污水排入苏州河，则每吨需要500元来进行污水处理，并且每减少10吨污水排放，每吨的污水处理费可以减少4元，为了使每天的污水处理费用为30万元，则沿岸的工厂每天的污水排放量是多少吨？

26．（本题满分10分）如图，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am2．

【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？

【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为x（m），BC为y（m）．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x＋y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝－2x＋10的图象在第一象限内点的坐标．同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．

如图2，反比例函数的图象与直线l1：y＝－2x＋10的交点坐标为（1，8）和______，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝______m，BC＝______m．

（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．

   图2

【类比探究】

（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．

【问题延伸】当木栏总长为a（m）时，小颖建立了一次函数y＝－2x＋a．发现直线y＝－2x＋a可以看成是直线y＝－2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝－2x＋a与反比例函数的图象有唯一交点．

（3）请在图2中画出直线y＝－2x＋a过点（2，4）时的图象，并求出a的值．

【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝－2x＋a与图象在第一象限内交点的存在问题”．

（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．

27．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2－6x＋8＝0的两个根（OB＞OC）．请解答下列问题：

（1）求点B的坐标；

（2）若OD：OC＝2：1，直线y＝－x＋2分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．