2021年江苏省苏州市工业园区星海实验中学中考数学二模试卷

2021年江苏省苏州市工业园区星海实验中学中考数学二模试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上.

1．（3分）5的倒数是　　

A． B．5 C． D．

2．（3分）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

3．（3分）已知一组数据1，0，3，，，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是　　

A． B．3 C．和3 D．1和3

4．（3分）如图，和相交于点，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

5．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是　　

A． B． C． D．

6．（3分）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是　　

A． B． C． D．

7．（3分）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是　　

A． B． C． D．

8．（3分）如图，中，，，点在的延长线上，且，连接并延长，作于，若，则的面积为　　

A．8 B．10 C． D．16

9．（3分）二次函数与轴的两个交点的横坐标分别为和，且，下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

10．（3分）如果一个矩形的周长与面积的差是定值，我们称这个矩形为“定差值矩形”．如图，在矩形中，，，，那么这个“定差值矩形”的对角线的长的最小值为　　

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相应位置上.

11．（3分）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 　　．

12．（3分）原子很小，1个氧原子的直径大约为，将0.000000000148用科学记数法表示为　　．

13．（3分）已知二元一次方程组，则　 　．

14．（3分）当　　时，关于的分式方程有增根．

15．（3分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点，，，都在格点上，点在的延长线上，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，且弧经过点，则的长为 　　．

16．（3分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 　　米．

17．（3分）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为　　．

18．（3分）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点．为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连接，若，的面积为6，则的值为　　．

三、解答题：本大题共9小题，共76分。把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.

19．（5分）计算：．

20．（5分）解不等式组．

21．（5分）先化简，再求值：，其中．

22．（5分）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，．求证：．

23．（12分）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：

（1）本次调查所得数据的众数是 　　部，中位数是 　　部；

（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 　　度；

（3）请将条形统计图补充完整；

（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．

24．（8分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示）．已知，，，车轮的半径是．

（1）求点到地面的距离；

（2）求、两点的距离．

25．（12分）已知，，，，其中．

实践操作（1）若，是抛物线上的点，下列命题正确的有 　　．

①若，则

②若．则

③若．则

④若．则

实践思考（2）若，是抛物线上的点，对称轴为直线．

若　　，；若　　，；若　　，则．

实践应用（3）在（2）的条件下，

①若该抛物线的对称轴为直线，当，为何值时，；

②若对于，都有，求的取值范围．

26．（12分）如果三角形的两个内角与叫满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若是“准互余三角形”， ，，则　　．

（2）如图（1），是半圆的直径，，，是半圆上的点，是上的点，交于点．

①若是的中点．则图中共有 　　对“准互余三角形”；

②当是“准互余三角形”时，求的长；

③如图（2）所示，若是上的点（不与、重合），为射线上一点，且满足．当是“准互余三角形”时，求的长．

27．（12分）如图（1），已知矩形中，，，点为对角线上的动点．连接．过作的垂线交于点．

（1）探索与的数量关系，并说明理由．

（2）如图（2），过作的垂线交于点，交于点，连接．若点从

出发沿方向以的速度向终点运动，设的运动时间为．

①是否存在，使得与重合？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

②为何值时，是等腰三角形；

③当时，求的面积．

2021年江苏省苏州市工业园区星海实验中学中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上.

1．（3分）5的倒数是　　

A． B．5 C． D．

【解答】解：，

的倒数是．

故选：．

2．（3分）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，因此选项不符合题意；

，因此选项不符合题意；

，因此选项不符合题意；

，因此选项符合题意；

故选：．

3．（3分）已知一组数据1，0，3，，，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是　　

A． B．3 C．和3 D．1和3

【解答】解：数据1，0，3，，，2，3的平均数是1，

，

解得，

则这组数据为1，0，3，，，2，3，

这组数据的众数为和3，

故选：．

4．（3分）如图，和相交于点，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：．和是对顶角，

，

故正确；

．是的外角，

，

故错误；

．，

故错误；

．是的外角，

；

故错误；

故选：．

5．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是　　

A． B． C． D．

【解答】解：从左面看是一列2个正方形．

故选：．

6．（3分）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是　　

A． B． C． D．

【解答】解：这个圆锥的母线长，

这个圆锥的侧面积．

故选：．

7．（3分）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：当时，

方程无实数根，因此选项不符合题意；

方程无实数根，因此选项不符合题意；

方程无实数根，因此选项不符合题意；

方程的解为，因此选项符合题意，

故选：．

8．（3分）如图，中，，，点在的延长线上，且，连接并延长，作于，若，则的面积为　　

A．8 B．10 C． D．16

【解答】解：如图，过点作于，

，

，

，

，

，

又，

，

，，

，，

，

，

，

又，

，

，

，

的面积，

故选：．

9．（3分）二次函数与轴的两个交点的横坐标分别为和，且，下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：二次函数与轴交点的横坐标为、，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数的图象，如图所示．

观察图象，可知：．

故选：．

10．（3分）如果一个矩形的周长与面积的差是定值，我们称这个矩形为“定差值矩形”．如图，在矩形中，，，，那么这个“定差值矩形”的对角线的长的最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

，

，

当时，有最小值为，

故选：．

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相应位置上.

11．（3分）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 　　．

【解答】解：由题意可得：，

解得：．

故答案为：．

12．（3分）原子很小，1个氧原子的直径大约为，将0.000000000148用科学记数法表示为　　．

【解答】解：．

故答案为：．

13．（3分）已知二元一次方程组，则　　．

【解答】解：方法一：，

解这个方程组得：，

．

方法二：两个方程相减，得

．

14．（3分）当　2　时，关于的分式方程有增根．

【解答】解：两边乘，得

，

解得，

由，得

．

解得，

故答案为：2．

15．（3分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点，，，都在格点上，点在的延长线上，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，且弧经过点，则的长为 　　．

【解答】解：如图，连接，

则，

弧长．

故答案为：．

16．（3分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程（米与时间（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行 　350　米．

【解答】解：当时，设，

将、代入，得：

，

解得：，

；

当时，，

（米

当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，

故答案为：350．

17．（3分）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为　　．

【解答】解：设图2中阴影直角三角形另一条直角边为，依题意有

，

解得，

由勾股定理得，

，

解得（舍去），，

则的值为．

故答案为：．

18．（3分）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点．为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连接，若，的面积为6，则的值为　　．

【解答】解：连接，在中，点是的中点，

，

，

是的角平分线，

，

，

，

，

过作轴于，过作轴于，

易得，，

，，

，

延长交轴于，易得，

设，则，

，，

，，

，

，

，

．

故答案为．

三、解答题：本大题共9小题，共76分。把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.

19．（5分）计算：．

【解答】解：原式

．

20．（5分）解不等式组．

【解答】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为．

21．（5分）先化简，再求值：，其中．

【解答】解：原式

，

当时，原式．

22．（5分）如图，已知点、、、在同一条直线上，，，．求证：．

【解答】证明：，

，

在和中，

，

；

，

，

即．

23．（12分）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：

（1）本次调查所得数据的众数是 　1　部，中位数是 　　部；

（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 　　度；

（3）请将条形统计图补充完整；

（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．

【解答】解：（1）本次调查的人数为：（人，

读2部的学生有：（人，

故本次调查所得数据的众数是1部，中位数是（部，

故答案为：1，2；

（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：，

故答案为：72；

（3）由（1）知，读2部的学生有6人，

补全的条形统计图如右图所示；

（4）《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用字母、、、表示，

树状图如下图所示：

一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，

故他们恰好选中同一名著的概率是，

即他们恰好选中同一名著的概率是．

24．（8分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示）．已知，，，车轮的半径是．

（1）求点到地面的距离；

（2）求、两点的距离．

【解答】解：（1）过点作，垂足为点，交于点，如图3所示．

由题意，得：厘米，．

四边形是矩形，

，

．

在△中，（厘米）．

又厘米，厘米，

厘米，

厘米．

点到地面的距离厘米，

答：点到地面的距离为厘米；

（2）连接，，，如图4所示．

由题意，得：，，

是等边三角形，

．

四边形是矩形，

．

在中，厘米，厘米，

（厘米），

厘米．

答：、两点的距离是厘米．

25．（12分）已知，，，，其中．

实践操作（1）若，是抛物线上的点，下列命题正确的有 　①③　．

①若，则

②若．则

③若．则

④若．则

实践思考（2）若，是抛物线上的点，对称轴为直线．

若　　，；若　　，；若　　，则．

实践应用（3）在（2）的条件下，

①若该抛物线的对称轴为直线，当，为何值时，；

②若对于，都有，求的取值范围．

【解答】解：（1）抛物线开口向上，对称轴为，

距对称轴越近，函数值就越小，距对称距离相等，函数值就相等，

故正确命题为：①③，

故答案为：①③；

（2）由抛物线的性质得：，；若，；若，则，

故答案为：，，；

（3）①当时，，，

所以，的值分别为：0，2；

②，则，

，

即，

，

，即，

，

．

26．（12分）如果三角形的两个内角与叫满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若是“准互余三角形”， ，，则　　．

（2）如图（1），是半圆的直径，，，是半圆上的点，是上的点，交于点．

①若是的中点．则图中共有 　　对“准互余三角形”；

②当是“准互余三角形”时，求的长；

③如图（2）所示，若是上的点（不与、重合），为射线上一点，且满足．当是“准互余三角形”时，求的长．

【解答】解：（1）是“准互余三角形”． ，，

，

；

故答案为：；

（2）①是的中点，

，

，

，

是直径，

，

，

是“准互余三角形”，

故答案为：1；

②是“准互余三角形”，

设，

，

，

，

，

是“准互余三角形”，

，

，

，

，，，

；

③将沿翻折得到，

，

，

，

，

，

，

、、三点共线，

是“准互余三角形”，

，

，

，

，

，

△△，

，即，

．

27．（12分）如图（1），已知矩形中，，，点为对角线上的动点．连接．过作的垂线交于点．

（1）探索与的数量关系，并说明理由．

（2）如图（2），过作的垂线交于点，交于点，连接．若点从

出发沿方向以的速度向终点运动，设的运动时间为．

①是否存在，使得与重合？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

②为何值时，是等腰三角形；

③当时，求的面积．

【解答】解：（1）结论：．

理由：连接，

，

，

四边形是矩形，

，，，

，

、、、四点共圆，

，

，

，

；

（2）①当、重合时，如图（2）所示．

，

，

，，

，，

，

是等边三角形，

，

，

，

；

②如图（2）中，

，为等腰三角形，

为等边三角形，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

；

③如图（3）中，过点作于点，于点交于点，过点作于点．

在中，，，，

，，

四边形，四边形是矩形，

，，

，

，，

，

，

，

，

，，，，

，

，，

，

，

，

，

．