备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题18-数列的综合应用

2024高考数学二轮复习

重难点专题18

数列的综合运用

【题型归纳目录】

题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用

题型二：数列中的新定义问题

题型三：数列与函数、不等式的综合问题

题型四：数列在实际问题中的应用

题型五：数列不等式的证明

题型六：公共项问题

题型七：插项问题

题型八：蛛网图问题

题型九：整数的存在性问题（不定方程）

题型十：数列与函数的交汇问题

题型十一：数列与导数的交汇问题

题型十二：数列与概率的交汇问题

题型十三：数列与几何的交汇问题

【典型例题】

题型一：数列在数学文化与实际问题中的应用

例1．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（       ）

A．2696 B．2697 C．2698 D．2700

例2．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《算书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（       ）

A．18 B．19 C．20 D．21

题型二：数列中的新定义问题

例3．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（       ）

A． B．

C． D．

例4．数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为__________．

题型三：数列与函数、不等式的综合问题

例5．已知数列的前项和为，，当时，.

(1)求；

(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.

题型四：数列在实际问题中的应用

例6．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病.新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，人感染了冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.日前正在世界范围内广泛传播，并对人类生命构成了巨大威胁.针对病毒对人类的危害，科研人员正在不断研发冠状病毒的抑制剂.某种病毒抑制剂的有效率为60%，现设计针对此抑制剂的疗效试验：每次对病毒使用此抑制剂，如病毒被抑制，得分为2分，如抑制剂无效，得分1分，持续进行试验.设得分为时的概率为.

（1）进行两次试验后，总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；

（2）求证：.

例7．足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．

（Ⅰ）为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．

下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率．为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为，求的分布列及数学期望；

（Ⅱ）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．

（i）求（直接写出结果即可）；

（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大．

题型五：数列不等式的证明

例8．已知数列和满足，且对任意都有，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）证明：．

题型六：公共项问题

例9．已知两个等差数列：5，8，11，…与：3，7，11，…，它们的公共项组成数列，则数列的通项公式___________；若数列和的项数均为100，则的项数是___________.

题型七：插项问题

例10．（多选题）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（    ）

A． B． C． D．

题型八：蛛网图问题

例11．已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项中错误的是　　

A．是单调递增数列，是单调递减数列 

B． 

C． 

D．

题型九：整数的存在性问题（不定方程）

例12．在①，②这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答下列题目.

设首项为2的数列的前项和为，前项积为，且___________.

(1)求数列的通项公式；

(2)在数列中是否存在连续三项构成等比数列，若存在，请举例说明，若不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

例13．已知等差数列{an}满足a5=16，a7=22，正项等比数列{bn}的前n项和为Sn，满足S6=5S4－4S2，且b2=a1．

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)是否存在n使得，若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．

题型十：数列与函数的交汇问题

例14．已知定义域为的函数满足，当，时，，设在，上的最大值为则数列的前项和的值为　　

A． B． C． D．

题型十一：数列与导数的交汇问题

例15．函数，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．

（1）求；

（2）讨论的单调性；

（3）设，，证明：．

题型十二：数列与概率的交汇问题

例16．如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点处，若移了次后，棋子落在上底面顶点的概率记为．则（    ）

A． B．

C． D．

题型十三：数列与几何的交汇问题

例17．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，是圆上两个不同的动点，是的中点，且满足．设到直线的距离之和的最大值为，则下列说法中正确的是（    ）

A．向量与向量所成角为

B．

C．

D．若，则数列的前n项和为