备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题36-双切线问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题36

双切线问题

【方法技巧与总结】

双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.

解题思路：

①根据曲线外一点设出切线方程．

②和曲线方程联立，求出判别式．

③整理出关于双切线斜率的同构方程．

④写出关于的韦达定理，并解题．

【题型归纳目录】

题型一：定值问题

题型二：斜率问题

题型三：交点弦过定点问题

题型四：交点弦定值问题

题型五：交点弦最值问题

题型六：交点弦范围问题

【典例例题】

题型一：定值问题

例1．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点，．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设直线，的斜率分别为，，证明：为定值；

（3）求的最小值．

例2．已知抛物线焦点为．过点的弦长最小值为4．过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．另一直线过点与抛物线相交于两点，，与直线相交于点．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）问是否为定值？若是，求出定值；若不是，求其最小值．

题型二：斜率问题

例3．设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．

（Ⅰ）若点为，求直线的方程；

（Ⅱ）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，，求的取值范围．

例4．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，且△的周长是

（1）求椭圆的方程；

（2）设圆，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于、两点，当圆心在轴上移动且时，求的斜率的取值范围．

题型三：交点弦过定点问题

例5．设抛物线的方程为，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，．

（1）当的坐标为时，求过，，三点的圆的方程，并判断直线与此圆的位置关系；

（2）求证：直线恒过定点；

（3）当变化时，试探究直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由．

题型四：交点弦定值问题

例6．已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；

（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．

题型五：交点弦最值问题

例7．如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为、．

（1）设抛物线上一点到直线的距离为，为焦点，当时，求抛物线方程；

（2）若，求线段的长；

（3）求到直线的距离的最小值．

题型六：交点弦范围问题

例8．如图，设抛物线的焦点为，点是半椭圆上的一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，且直线、分别交轴于点、．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求的取值范围．