专题07 一次函数与面积综合运用-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

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专题07 一次函数与面积综合运用（三大题型）
重难点题型归纳
【题型1 常规三角形面积】
【题型2 铅垂法求面积】
【题型3 等底转化】

【题型1 常规三角形面积】
【解题技巧】当三角形的底或高在坐标轴上，或者平行于坐标轴上，这样的三角形为常规三角形，可以直接利用三角形的面积公式进行求解。
【典例1】（2023春•永定区期末）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）并直接写出点C的坐标并求直线BC的表达式；
（3）试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）A（﹣6，0），B（0，3）；
（2）y＝﹣x+3，C（3，0）；
（3）存在，P坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）．
【解答】解：（1）当x＝0时，，
∴B（0，3），
当y＝0时，则：，
解得：x＝﹣6，
∴A（﹣6，0）；
（2）将点B坐标（0，3）代入y＝﹣x+b可得：
﹣3+b＝0，
解得：b＝3，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当y＝0时，则：﹣x+3＝0，
解得：x＝3，
∴C（3，0）；
（3）存在以A，C，P为顶点的三角形的面积为18，
∵A（﹣6，0），C（3，0），
∴AC＝9，
∴，
∴|Py|＝4，
当时，x＝2，
∴点P坐标为（2，4），
当时，x＝﹣14，
∴点P坐标为（﹣14，﹣4），
综上，满足条件的点P坐标为（2，4）或（﹣14，﹣4）．
【变式1-1】（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；

【答案】（1）y＝；
（2）C（﹣3，0）；
（3）存在，（﹣3，﹣4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）．
【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，
∴OA＝8，OB＝6，
∴A（﹣8，0），B（0，6），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
代入A点和B点的坐标得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝；
（2）∵△ABC的面积为15，
∴AC•OB＝15，
即AC×6＝15，
∴AC＝5，
∵OA＝8，
∴OC＝OA﹣AC＝8﹣5＝3，
即C（﹣3，0）；
【变式1-2】（2023春•涪陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l2交x轴、y轴分别于点C（﹣6，0），D（0，6），直线l2与直线l1交于点E，连接BC．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△BCE的面积；
（3）连结OE，若点P是x轴上一动点，连结PE，当△POE为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）y＝x+6；
（2）9；
（3）（﹣8，0），，或．
【解答】解：（1）设直线l的解析式为：y＝kx+b，把点 C（﹣6，0），D（0，6）代入得：
，
解得：，
∴直线l2的解析式为y＝x+6；
（2）解方程组：得：，
∴点E的坐标为（﹣4，2），
令y＝0，则0＝x﹣3，
解得x＝﹣，
∴点A得坐标为 ，
当x＝0时，y＝﹣3，
∴点B得坐标为（0，﹣3），
∵S△BCE＝S△ACE+S△BCA＝AC×|yE|+AC×|yB|＝××2+××3＝9；
（3）如图所示，当OE＝EP时，

由等腰三角形的对称性可得P（﹣8，0）；
如图所示，当OE＝OP时，

OP＝OE＝＝，
∴P（，0）或P（，0）；
如图所示，当PE＝OP时，

设PE＝OP＝x，则PQ＝4﹣x，
在Rt△PQE中，PQ2+EQ2＝PE2，
即（4﹣x）2+22＝x2，
解得：，
∴，
综上所述，点P的坐标为：（﹣8，0），，或．
【变式1-3】（2023春•兰陵县期末）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）．
（1）则k＝　3　，b＝　﹣1　，n＝　2　；
（2）求四边形AOCD的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P的坐标．

【答案】（1）3，﹣1，2；
（2）；
（3）（1，0）或（7，0）．
【解答】解：（1）∵点D在直线y＝x+1上，
∴n＝1+1＝2，
∴D（1，2），
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1）和点D（1，2），
∴，
解得，
故答案为：3；﹣1；2；
（2）在y＝x+1中，令x＝0可得y＝1，
∴A（0，1）
由（1）可知一次函数解析式为y＝3x﹣1，
令y＝0，可求得x＝，
∴C（，0），
∵B（0，﹣1），D（1，2），
∴AB＝2，OC＝，OB＝1，
∴S四边形AOCD＝S△ABD﹣S△OBC＝×2×1﹣×1×＝；
（3）如图2所示，设P（p，0），
∴PC2＝（p﹣）2，
PD2＝22+（p﹣1）2，
CD2＝22+（1﹣）2，
分两种情况考虑：

①当P′D⊥DC时，P′C2＝P′D2+CD2，
∴（p﹣）2＝22+（p﹣1）2+22+（1﹣）2，
∴p＝7，
∴P′（7，0）；
②当DP⊥CP时，由D横坐标为1，得到P横坐标为1，
∵P在x轴上，
∴P的坐标为（1，0），
综上，P的坐标为（1，0）或（7，0）．
【变式1-4】（2023春•连城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，
∴B（0，4）．
∴OB＝4
令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，
∴A（3，0）．
∴OA＝3．
在Rt△OAB中，AB＝＝5．
（2）∵AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，
∴C（8，0）．
设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．
在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，
∴D（0，﹣6）．
（3）存在，理由如下：
∵S△PAB＝S△OCD，
∴S△PAB＝××6×8＝12．
∵点P在y轴上，S△PAB＝12，
∴BP•OA＝12，即×3BP＝12，解得：BP＝8，
∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．
【变式1-5】（2023春•文登区期中）如图，直线l1表达式为y＝﹣3x+3，且与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，），直线l1，l2交于点C．
（1）求直线l2的表达式；
（2）在直线l2上存在点P，能使S△ADP＝3S△ACD，求点P的坐标．

【答案】（1）直线l2的表达式为：y＝x﹣6；（2）点P的坐标（10，9）或（﹣2，﹣9）．
【解答】解：（1）设直线l2的表达式为：y＝kx+b（k≠0），
∵直线l2经过点A（4，0），B（3，﹣），
∴，
∴，
∴直线l2的表达式为：y＝x﹣6；
（2）∵直线l1y＝﹣3x+3与x轴交于点D，
∴D（1，0），
解得，
∴C（2，﹣3），
设P（m，m﹣6），
∵S△ADP＝3S△ACD，
∴×3×|m﹣6|＝3××3×3，
∴m＝10或﹣2，
∴点P的坐标（10，9）或（﹣2，﹣9）．

【变式1-6】（2023•花都区一模）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．
（1）k的值是 　﹣　；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），若四边形OECD的面积是9，求点C的坐标；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，若四边形OECD的周长是10，请直接写出点C的坐标．

【答案】（1）﹣；
（2）①点C的坐标为（3，）；②点C的坐标为（2，3）或（﹣，）．
【解答】解：（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，
解得：k＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）①如图1，由（1）可知直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
∴设C（m，﹣m+4）（0＜m＜8），
∵点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），
∴OD＝6，OE＝1，
∴OM＝m，CM＝﹣m+4，
∵四边形OECD的面积是9，
∴S梯形CEOM+S△CDM＝（1﹣m+4）•m+（﹣m+4）•（6﹣m）＝9，
整理得2m＝6，
解得m＝3，
∴点C的坐标为（3，）；
②∵CE平行于x轴，CD平行于y轴，
∴四边形CEOD是矩形，
∵四边形OECD的周长是10，
∴2（m﹣m+4）＝10或2（﹣m+4﹣m）＝10，
解得m＝2或m＝6，
点C的坐标为（2，3）或（﹣，）．



【题型2 铅垂法求面积】
【解题技巧】对于一般三角形，我们可以选择铅垂法求解三角形的面积。比如求△ABC的面积，我们可以选取任意两点横坐标之差的绝对值作为水平宽，过第三个点作铅垂线，与之前两点所在直线交于一点，第三个点与这个交点纵坐标之差的绝对值作为铅垂高，利用水平宽与铅垂高乘积的一半求出三角形的面积。
【典例2】（2021秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．
（1）求直线l1的解析式；
（2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x+1；
（2）当m时，S＝2m﹣1；当m＜时，S＝1﹣2m；
（3）（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝kx+1交x轴于点B（4，0），
∴0＝4k+1．
∴k＝﹣．
∴直线l1：y＝﹣x+1；

（2）由得：．
∴D（2，）．
∵P（2，m），
∴PD＝|m﹣|．
∴S＝×|4﹣0|•PD＝×|m﹣|×4＝|2m﹣1|．
当m时，S＝2m﹣1；
当m＜时，S＝1﹣2m；

（3）当S△ABP＝3时，2m﹣1＝3，
解得m＝2，
∴点P（2，2），
∵E（2，0），
∴PE＝BE＝2，
∴∠EPB＝∠EBP＝45°，
如图2，∠PBC＝90°，BP＝BC，
过点C作CF⊥x轴于点F，
∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，
∴∠CBF＝∠PBE＝45°，
在△CBF与△PBE中，
，
∴△CBF≌△PBE（AAS）．
∴BF＝CF＝PE＝EB＝2．
∴OF＝OB+BF＝4+2＝6．
∴C（6，2）；
如图3，△PBC是等腰直角三角形，
∴PE＝CE，
∴C（2，﹣2），
∴以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，点C的坐标是（6，2）或（2，﹣2）．
当1﹣2m＝3时，m＝﹣1，可得P（2，﹣1），
同法可得C（3，2）或（5，﹣2）．
综上所述，满足条件的点C坐标为（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．


【变式2】（秋•铁西区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，点B（5，n）在直线y＝x+2上，点C是线段AB上的一个动点，过点C作CP⊥x轴交直线点P，设点C的横坐标为m．
（1）n的值为　7　；
（2）用含有m的式子表示线段CP的长；
（3）若△APB的面积为S，求S与m之间的函数表达式，并求出当S最大时点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，把直线AB沿着y轴向下平移，交y轴于点M，交线段BP于点N，若点D的坐标为，在平移的过程中，当∠DMN＝90°时，请直接写出点N的坐标．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）点B（5，n）在直线y＝x+2上，则n＝7，
故答案为：7；
（2）∵点C的横坐标为m，∴点C（m，m+2），
∵CP⊥x轴交直线于点P，
∴点，
∴＝；

（3）∵直线y＝x+2与x轴交于点A，
∴点A（﹣2，0），
S＝△APC的面积+△BPC的面积＝＝＝＝，
∵，
∴S随m的增大而增大，
∵点C是线段AB上的一个动点，
∴当点C与点B重合时，m有最大值，即m＝5时，S有最大值．
当m＝5时，，
∴点；
（4）过点N作NG⊥y轴于点G，过点D作DH⊥y轴于点H，

设直线向下平移m个单位，则平移后直线的表达式为：y＝x+2﹣m，
故点M（0，2﹣m），点N（5，7﹣m），
直线AB的倾斜角为45°，则∠GMN＝45°，
∵∠DMN＝90°，则∠GMN＝∠MDH＝45°，
故MH＝DH，
即2﹣m﹣（﹣）＝2，解得：m＝，
故：点．
【题型3 等底转化】
【典例3】（秋•雁塔区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足﹣a＝3．

（1）求直线l2的解析式．
（2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．
（3）已知平行于y轴左侧有一动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，点Q为y轴上一动点，且△MNQ为等腰直角三角形，请求出满足条件的点Q的坐标．
【答案】（1）y＝x+4；
（2）（﹣1，5）或（﹣9，5）；
（3）（0，）或（0，）或（0，）．
【解答】解：（1）由﹣a＝3得：a＝﹣3，b＝4，
即A（﹣3，3），B（0，4），
设l2的解析式为y＝kx+b，将A，B点坐标代入函数解析式，得，
解得，
∴l2的解析式为y＝x+4；

（2）如图1，

作PB∥AO，P到AO的距离等于B到AO的距离，
S△AOP＝S△AOB．
∵PB∥AO，PB过B点（0，4），
∴PB的解析式为y＝﹣x+4或y＝﹣x﹣4①，
又P在直线y＝5②上，
联立①②得：﹣x+4＝5或﹣x﹣4＝5，
解得x＝﹣1或﹣9，
∴P点坐标为（﹣1，5）或（﹣9，5）；

（3）设M点的坐标为（a，﹣a），N（a，a+4），
∵点M在点N的下方，
∴MN＝a+4﹣（﹣a）＝+4，
如图2，

当∠NMQ＝90°时，即MQ∥x轴，NM＝MQ，+4＝﹣a，
解得a＝﹣，即M（﹣，），
∴Q（0，）；
如图3，

当∠MNQ＝90°时，即NQ∥x轴，NM＝NQ，+4＝﹣a，
解得a＝﹣，即N（﹣，），
∴Q（0，），
如图4，

当∠MQN＝90°时，即NM∥y轴，MQ＝NQ，a+2＝﹣a，
解得a＝﹣，
∴Q（0，）．
综上所述：Q点的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．
【变式3】（秋•南岸区校级期中）如图，在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（﹣2，0），C（﹣4，1），点D是AC延长线与x轴的交点，点P（﹣1，m）在边AC上．

（1）若某一次函数图象过A，C两点，求此一次函数的解析式；
（2）点N是y轴上一动点，当PN+BN值最小时，求N点坐标．
（3）在线段BD上是否存在一点Q，使直线PQ平分△ABD的面积？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x+4；
（2）点N（0，）；
（3）Q（﹣，0）．
【解答】解：（1）设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（0，4），C（﹣4，1）代入得到，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+4；

（2）作点B关于y轴的对称点B′（2，0），
连接B′P交y轴于点N，则点N为所求点，则PN+BN＝PN+B′N＝PB′为最小，

将点P的坐标代入直线AC的表达式得，y＝﹣+4＝，故点P（﹣1，），
由点P、B′的坐标得，直线PB′的表达式为y＝﹣（x﹣2），
当x＝0时，y＝，
故点N（0，）；

（3）存在，理由：
如图2，取BD的中点K，连接AK、PK，作AQ∥PK，交BD于Q，连接PQ交AK于N．

∵DK＝KB，
∴S△ADK＝S△AKB，
∵PK∥AQ，
∴S△AQK＝S△AQP，
∴S△NKQ＝S△PAN，
∴S△PQD＝S四边形APQB，
∴直线PQ平分△ABD的面积，
由题意得：D（﹣，0），B（﹣2，0），
∵DK＝KB，
∴K（﹣，0），
∴直线PK的解析式为y＝x+，
∵AQ∥PK，
∴直线AQ的解析式为y＝x+4，
令y＝0，得到x＝﹣，
∴Q（﹣，0）．