新教材2023_2024学年高中数学第2章函数测评北师大版必修第一册

第二章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.函数f(x)=的定义域为(　　)

A.[-1,2)∪(2,+∞) 

B.(-1,+∞)

C.[-1,2) 

D.[-1,+∞)

2.函数y=的图象大致是(　　)

3.已知f=2x-5,且f(a)=6,则a=(　　)

A.- B. C. D.-

4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x2+mx+2,且f(1)=-2,则f(2)的值为 (　　)

A.-4 B.0 

C.4 D.2

5.在同一坐标系中,函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图象可能是(　　)

6.为了节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,计费方法如下:

若某户居民本月交纳的电费为380元,则此户居民本月用电量为(　　)

A.475度 B.575度

C.595.25度 D.603.75度

7.若定义运算a⊕b=则函数f(x)=x2⊕|x|的图象是(　　)

8.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0.则当n∈N+时,有(　　)

A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1)

B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1)

C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1)

D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n)

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.下列函数中,满足f(2x)=2f(x)的是(　　)

A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x|

C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x

10.若x∈R,f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)(　　)

A.无最大值 B.最大值为1

C.无最小值 D.最小值为-1

11.已知函数f(x)=,则下列说法正确的是 (　　)

A.f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1]

B.f(x)的值域为(-1,1)

C.f(x)在定义域上是增函数

D.f(x)的图象关于原点对称

12.已知定义在R上的函数y=f(x)的图象关于y轴对称,且对于y=f(x),当x1,x2∈(-∞,0],且x1≠x2时,有<0恒成立.若f(2ax)<f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立,则实数a的取值可以是下面选项中的(　　)

A.1 B.-

C.0 D.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于　　　　　. 

14.已知函数y=f(x)+x3为偶函数,且f(10)=16,若函数g(x)=f(x)+6,则g(-10)=　　　　　. 

15.定义max{a,b}=则max{x2+x-1,|x-2|}的最小值为　　　　　. 

16.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润r(单位:元)与时间t(1≤t≤20,t∈N,单位:天)之间的函数关系式为r=t+10,且日销售量y(单位:箱)与时间t之间的函数关系式为y=120-2t.

(1)第4天的销售总利润为　　　　　元; 

(2)在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠m(m∈N+)元给某学校.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大,则m的最小值是　　　　　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)如图,直角梯形ABCD的两底边分别为AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,直线MN⊥AD于点M,交折线ABC于点N,记AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数.

18.(12分)已知函数f(x)=,且f(1)=2.

(1)求证函数f(x)是奇函数;

(2)求证函数f(x)在(1,+∞)上单调递增;

(3)求函数f(x)在[2,5]上的最大值和最小值.

19.(12分)已知奇函数f(x)=是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求不等式f(x-1)<f(-x)的解集.

20.(12分)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+ax.

(1)若a=-2,求函数f(x)的解析式.

(2)若函数f(x)为R上的减函数,

①求a的取值范围;

②若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求实数t的取值范围.

21.(12分)某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=a+2,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).

(1)当甲城市投资50万元时,求此时该公司的总收益;

(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?

22.(12分)已知一元二次函数f(x)的图象过点(0,4),对任意x满足f(3-x)=f(x),且有最小值.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数h(x)=f(x)-(2t-3)x在区间[0,1]上的最小值,其中t∈R;

(3)在区间[-1,3]上,y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.

参考答案

第二章测评

1.A　由解得x≥-1,且x≠2.

2.B　函数y=的定义域为R,是奇函数,排除AC;函数y在第一象限内单调递增,且增长越来越快,在第一象限图象下凸,故选B.

3.B　令x-1=t,则x=2t+2,

所以f(t)=2(2t+2)-5=4t-1,

所以f(x)=4x-1.

由f(a)=4a-1=6,解得a=.

4.A　∵f(x)是R上的奇函数,

∴f(-1)=-f(1)=2,即1-m+2=2,m=1.

∴f(-2)=(-2)2+(-2)+2=4,

∴f(2)=-f(-2)=-4.故选A.

5.C　对于选项A和D,由于幂函数的图象过第一象限,且是减函数,故a<0,与一次函数的图象不符,故错误;

对于选项B,由于幂函数的图象过第一、三象限,且是增函数,故a>1,与一次函数的图象不相符,故错误;

对于选项C,由于幂函数图象过第一、二象限,且是偶函数,a>0,与一次函数的图象相符,故正确.

6.D　不超过230度的部分费用为230×0.5=115;超过230度但不超过400度的部分费用为(400-230)×0.6=102,115+102<380;

设超过400度的部分为x,则0.8x+115+102=380,

∴x=203.75,故用电603.75度.

7.B　根据运算a?b=

得f(x)=x2?|x|=

由此可得图象如图所示.

8.C　由(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0得f(x)在区间(-∞,0]上为增函数.

又f(x)为偶函数,所以f(x)在区间[0,+∞)上为减函数.

因为0≤n-1<n<n+1,

所以f(n+1)<f(n)<f(n-1),

又f(-n)=f(n),

故f(n+1)<f(-n)<f(n-1).故选C.

9.ABD　在A中,f(2x)=|2x|=2|x|,2f(x)=2|x|,满足f(2x)=2f(x);

在B中,f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x),满足f(2x)=2f(x);

在C中,f(2x)=2x+1,2f(x)=2(x+1)=2x+2,不满足f(2x)=2f(x);

在D中,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x),满足f(2x)=2f(x).

10.BC　在同一平面直角坐标系中作出函数y=2-x2,y=x的图象如图所示,

根据题意,图中实线部分即为函数f(x)的图象.

当x=1时,f(x)取得最大值,且f(x)max=1,由图象知f(x)无最小值.

11.ABD　对于A,由

解得-1≤x≤1且x≠0,

可得函数f(x)=的定义域为[-1,0)∪(0,1],故A正确;

对于B,由A可得f(x)=,即f(x)=,

当0<x≤1时,f(x)=-∈(-1,0],

当-1≤x<0时,f(x)=∈[0,1),可得函数f(x)的值域为(-1,1),故B正确;

对于C,由f(-1)=f(1)=0,则f(x)不是定义域上的增函数,故C错误;

对于D,由f(x)=的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,又f(-x)==-f(x),故f(x)为奇函数,故D正确.

12.AC　f(x)的图象关于y轴对称,即f(x)为偶函数,

又当x1,x2∈(-∞,0],且x1≠x2时,有<0恒成立,∴f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,

则f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.

∵f(2ax)<f(2x2+1),∴|2ax|<|2x2+1|,

即4a2x2<4x4+4x2+1,

即4x4+(4-4a2)x2+1>0恒成立.令t=x2(t≥0),

∴4t2+(4-4a2)t+1>0在区间[0,+∞)恒成立,

令f(t)=4t2+(4-4a2)t+1,

∴当t=≤0,

即-1≤a≤1时,f(t)在区间[0,+∞)上单调递增,

∴f(t)min≥f(0)=1>0符合题意;

当t=>0,即a<-1或a>1时,应满足(4-4a2)2-16<0,

解得-<a<,且a≠0,

此时a的取值范围为-<a<-1或1<a<.

综上可知,a的取值范围为{a|-<a<},故AC符合题意.

13.-2　因为f(1)=3,所以f(a)=-3,

因此解得a=-2.

14.2 022　因为函数y=f(x)+x3为偶函数,

所以f(10)+103=f(-10)+(-10)3.

由f(10)=16,得f(-10)=2016.

因为函数g(x)=f(x)+6,

所以g(-10)=2022.

15.1　作出函数y=x2+x-1与y=|x-2|的图象,

可得函数max{x2+x-1,|x-2|}的图象如图中实线部分.

由图可知,max{x2+x-1,|x-2|}的最小值为1.

16.(1)1 232　(2)5　(1)因为每箱销售利润为×4+10=11元,日销售量为120-2×4=112箱,

所以该天的销售利润为11×112=1232元;

(2)设捐赠后的利润为W元,

则W=y(r-m)=(120-2t)(t+10-m),

化简可得,W=-t2+(2m+10)t+1200-120m.

令W=f(t),因为二次函数的开口向下,对称轴为直线t=2m+10,为满足题意,

所以

解得m≥5,即m的最小值为5.

17.解①当点N在BC上时,y=(2a-x)·a(a<x≤2a);

②当点N在AB上时,y=x2(0<x≤a).

综上,y=

18.(1)证明由题意,函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,

又由f(-x)==-=-f(x),

所以函数f(x)是定义域上的奇函数.

(2)证明因为f(1)=2,可得=2,

解得a=1,

所以f(x)==x+,

任取x2>x1>1,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-),

因为x2>x1>1,

所以x1x2>1,

可得0<<1,

即1->0且x1-x2<0,

所以f(x1)-f(x2)<0,

所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.

(3)解 由(2)知,f(x)在[2,5]上单调递增,

所以f(x)的最大值为f(5)=,最小值为f(2)=.

19.解(1)f(x)=是定义在区间[-1,1]上的奇函数,

则f(0)==0,解得b=0.

又f,则,解得a=1.

所以f(x)=,

经检验,函数f(x)=为奇函数,

故f(x)=.

(2)因为不等式f(x-1)<f(-x),且f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,

所以解得0≤x<,

所以不等式的解集为.

20.解(1)当x<0时,-x>0,

又f(x)为奇函数,且a=-2,

∴f(x)=-f(-x)=x2-2x,

∴f(x)=

(2)①当a≤0时,对称轴x=≤0,

∴f(x)=-x2+ax在区间[0,+∞)上单调递减,

由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,

∴f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,

又在(-∞,0)上f(x)>0,在区间(0,+∞)上f(x)<0,

∴当a≤0时,f(x)为R上的减函数.

当a>0时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,不合题意.

∴若函数f(x)为R上的减函数,则a的取值范围为(-∞,0].

②∵f(m-1)+f(m2+t)<0,

∴f(m-1)<-f(m2+t).

又f(x)是奇函数,

∴f(m-1)<f(-t-m2).

又f(x)为R上的减函数,

∴m-1>-t-m2对于任意实数m恒成立,

∴t>-m2-m+1=-恒成立,∴t∈.

21.解(1)当x=50时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益f(50)=3-6+×70+2=43.5(万元).

(2)由题知,甲城市投资x万元,乙城市投资(120-x)万元,

所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26,

依题意得解得40≤x≤80.

故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).

令t=,则t∈[2,4],

所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.

当t=6,即x=72万元时,y的最大值为44万元,

所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.

22.解(1)由题意知一元二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=,最小值为,

可设f(x)=a(a≠0).

因为f(x)的图象过点(0,4),

所以a=4,

解得a=1,

所以f(x)==x2-3x+4.

(2)h(x)=f(x)-(2t-3)x=x2-2tx+4=(x-t)2+4-t2,其图象的对称轴为直线x=t.

当t≤0时,函数h(x)在区间[0,1]上单调递增,所以h(x)的最小值为h(0)=4;

当0<t<1时,函数h(x)的最小值为h(t)=4-t2;

当t≥1时,函数h(x)在区间[0,1]上单调递减,所以h(x)的最小值为h(1)=5-2t.

所以h(x)min=

(3)由已知得f(x)>2x+m在区间[-1,3]上恒成立,

所以m<x2-5x+4在区间[-1,3]上恒成立,

所以m<(x2-5x+4)min(x∈[-1,3]).

令g(x)=x2-5x+4,

因为g(x)=x2-5x+4在区间[-1,3]上的最小值为-,

所以m<-,故实数m的取值范围为(-∞,-).