北师大版数学 八上 第一章 勾股定理单元精选强化卷

北师大版数学 八上 第一章勾股定理单元精选强化卷

一．选择题（共30分）

1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（    ）

A．如果a2=b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠A=90°

B．如果∠A:∠B:∠C=1:2:3，那么△ABC是直角三角形

C．如果，那么△ABC是直角三角形

D．如果，那么△ABC是直角三角形

2.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：  “今有方池一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐．水深、葭长各几何？ ”．其大意是：如图，有一个水池，水面是 一个边长为 10 尺 (丈、尺是长度单位，1 丈＝10 尺) 的正方形，在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水 的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意，所列方程正 确的是(   )

A．102＋(x－1)2＝x2 B．102＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2

C．52＋(x－1)2＝x2 D．52＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2

3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（ ）

A．cm B．4cm C．cm D．3cm

4．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则这个三角形的形状是（     ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形

5.如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则 等于（　　）

A．9 B．35 C．45 D．无法计算

6.如图，在中，，于点D，E是上一点，且，若，，则的长为（　　）

A． B． C． D．

7.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接成的大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），直角三角形的面积为，小正方形的面积为，则用含，的代数式表示正确的是（    ）

A． B． C． D．

8．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　）

A．m B．m C．6m D．m

9．如图，在四边形中，，，点C是边上一点，，．．下列结论；①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

10．如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为（    ）

A．11 B．14 C．17 D．20

二、填空题（共24分）

11.如图，在中，，以、和为直径分别作半圆，已知，，则          

12．周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前世纪．周髀算经中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是       ．

13.如图，在长方形纸片中，，，点M为上一点，将沿翻至，交于点G，交于点F，且，则的长度是　     　.

14.如图，有一张直角三角形的纸片，.现将三角形折叠，使得边与重合，折痕为.则长为　     　.

15.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．

16.如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，则周长为     ．

三、解答题（共66分）

17.（6分）在5×5的正方形网格中，点A，点B均在格点上，连结AB，请根据要求完成下列作图：

（1）在图1中找一个格点C，使得△ABC是直角三角形．

（2）在图2中找一个格点D，使得△ABD是三个内角都是锐角的等腰三角形．

（2）
 

18．（8分）一架云梯长，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙．

(1)这个梯子的顶端A距地面有多高？

(2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？

19.（8分）请选择一个图形来证明勾股定理．（可以自己选用其他图形进行证明）

解选用第一个图形求证

20.（10分）如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一拖拉机在公路MN上以18km/h的速度沿PN方向行驶，拖拉机行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，试问该校受影响的时间为多长？

21.（10分）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．

(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．

(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？

(3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值．

22．（12分）如图，已知是等腰直角三角形，点P以的速度从点B出发沿着射线运动，连接．以为直角边向右作等腰直角，其中，连接，设运动时间为t秒．

(1)当时，则　 　cm，　 　°；

(2)在点P的运动过程中，能否使为等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；

(3)请用含t的代数式直接写出的面积．

23.（12分）．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．

(1)出发3s后，求PQ的长；

(2)当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？

(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．