题型01 最值问题之将军饮马-2023年中考数学重难点专题最后冲刺之最值问题（全国通用）

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基础模型：如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
模型解析：作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB
当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
模型变式：
1、两定一动之点点
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．
2、两定两动之点点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
3、一定两动之点线
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
针对训练
一、单选题
1．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
【答案】D
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
∴DN=BN，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，
∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CD=4，DM=1
∴CM=CD-DM=4-1=3，
在Rt△BCM中，BM=
故DN+MN的最小值是5．
故选：D．
2．如图所示，在△ABC中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A．118°B．125°C．136°D．124°
【答案】D
【详解】解：在上截取，连接，如图：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：
∵，，
∴．
故选：D．
3．如图，Rt△ABC中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（ ）
A．B．C．5D．
【答案】B
【详解】解：如下图，作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，点P即为所求作的点，此时有最小值，
根据对称性的性质，可知：，
在Rt△ABC中，，
，
根据对称性的性质，可知：，
，
即，
，
，
故选：B．
4．如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（3，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）
【答案】A
【详解】∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函数y得：y1＝2，y2＝1，
∴A（1，2），B（2，1），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y＝kx+b，
把A、B的坐标代入得：，
解得：k＝﹣1，b＝3，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x+3，
当y＝0时，x＝3，
即P（3，0）．
故选：A．
5．如图，如图，⊙M的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，，与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【详解】解：连接，
，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，交⊙M于点，当点位于位置时，取得最小值，
过点作轴于点，
则、，
，
又，
，
，
故选：D．
6．如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（ ）
A．B．3C．2D．4
【答案】C
【详解】解：连接BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴B点与C点关于AD对称，
∴BM＝CM，
∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小，
∵AC＝6，AE＝2，
∴EC＝4，
在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，
∴FC＝2，EF＝2，
在Rt△BEF中，BF＝4，
∴BE＝2，
故选：C．
7．如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【详解】解：连接AM、AC，AM交BD于P，
此时PM+PC最小，连接CP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，AC⊥BD，
∴C和A关于BD对称，
∴AP=PC，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
∴∠BAM=30°，
∴BM=1，
∴AM=，
∴PM+PC=AM=．
故选B．
8．如图1，正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时，与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9，
∵点E是BC的中点，
∴BC=6，
连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标，
∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴CE∥AD，AC=，DE=，
∴△CGE∽△AGD，
∴，
∴，
∴AG=，
故点M的坐标为（，），故A正确．
故选：A．
9．如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．10
【答案】A
【详解】连接，交于P点
∵四边形为正方形
∴A点和C点关于对称
根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长.
∵，
∴的最小值为5
故选：A
10．如图，在矩形中，，，点E是矩形内部一动点，且，点P是边上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
【答案】A
【详解】解：如图，设点O为的中点，由题意可知，
点E在以为直径的半圆O上运动，作半圆O关于的对称图形（半圆），
点E的对称点为，连接,则，
∴当点D、P、、共线时，的值最小，最小值为的长，
如图所示，在中，，，
，
又，
，即的最小值为8，
故选：A．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，，，，垂直平分，点P为直线上任意一点，则的最小值是______．
【答案】4
【详解】解：连接．
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当点A，P，C在一条直线上时，有最小值，最小值为．
故答案为：4．
12．如图，在等边△ABC中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为______．
【答案】
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，
∵△ABC是等边三角形，，
∴∠ABD=∠DBC=，
∴点在上，
∴，则，当在同一条直线上时，有最小值，
∵点关于的对称点，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，即，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，牧童在处，、处相距河岸的距离，的长分别为和，且，两地距离为，天黑前牧童从处将牛牵到河边饮水，再赶回家，那么牧童最少要走______．
【答案】
【详解】解：作点A关于的对称点，连接，则的长即为的最小值，过点作，垂足为，
∵
∴，，
∴，
在中，
．
即牧童最少要走．
故答案为：．
14．如图，菱形草地中，沿对角线修建60米和80米两条道路，M、N分别是草地边、的中点，在线段BD上有一个流动饮水点，若要使的距离最短，则最短距离是 _____米．
【答案】50
【详解】解：作关于的对称点，连接，交于，连接，
当点与重合时，的值最小，
四边形是菱形，
，，
即在上，
，
，
为中点，
为中点，
∵N为中点，四边形是菱形，
，，
四边形是平行四边形，
，
设与的交点为点，
四边形是菱形，
，米，米，
米，
的最小值是50米．
故答案为：50．
15．在平面直角坐标系中，点，点，若有一点，当的值最小时， ________．
【答案】
【详解】如下图所示：因为的坐标满足关系：与的和为，
即点在直线上，
作点关于直线对称的点，得出点坐标为，
连接交直线于点，此时最小，
设直线的解析式为，将代入，
得：，解得，
即直线的解析式为，
联立两直线方程得：，解得：，
即点坐标为，即， ，
解得，
故答案为：．
16．如图，直线与轴，轴分别交于和，点、分别为线段、的中点，为上一动点，当的值最小时，点的坐标为 ___________．
【答案】
【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交x轴于点，此时值最小，最小值为，如图．
令中，则，
∴点的坐标为；
令中，则，解得：，
∴点的坐标为．
∵点、分别为线段、的中点，
∴点，点．
∵点和点关于轴对称，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
令，则，解得：，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
17．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则△PMN周长的最小值是______．
【答案】
【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．
∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，
∴；
∵点P关于的对称点为D，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
∴△PMN的周长的最小值．
故答案为：．
18．如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为______．
【答案】3
【详解】解：作点关于的对称点，则，连接交于点．
．
由两点之间线段最短可知：当、、在一条直线上时，的值最小，此时．
四边形为菱形，周长为，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
的最小值为．
故答案为：．
19．如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为__________度．
【答案】
【详解】如图，作B关于的对称点D，连接，
的值最小，
则交于P，由轴对称可知：
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
20．如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是______．
【答案】
【详解】解：抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，
当时，解得或，即；当时，，即，
由二次函数对称性，关于对称轴对称，即，
，
，
周长的最小值就是的最小值，
根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，，
周长的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
21．如图，抛物线与x轴交于两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，？
(3)设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为；(2)当或时，；(3)Q点坐标为．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为，
∴，解得，
∴所求抛物线的解析式为；
（2）解：观察函数图象，当或时，，
故答案为或；
（3）解：在抛物线对称轴上存在点Q，使的周长最小．
∵长为定值，
∴要使的周长最小，只需最小，
∵点A关于对称轴直线的对称点是，
∴Q是直线与对称轴直线的交点，
设过点B，C的直线的解析式，把代入，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
把代入上式，
∴，
∴Q点坐标为．
22．教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．
(1)问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程．
(2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．如图②，连结OE，则OE的长为____．
(3)如图③，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PC＋PE的最小值为_____．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【详解】（1）四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
．
，
．
四边形ABCD是菱形，
．
∴△ABC是等边三角形．
（2）四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
又∵DE//AC，
四边形ACED是平行四边形，
由（1）可得，
故四边形ACED是菱形；
则，，∠BDC=30°，OA=2，
则．
（3）如图所示，过A作BE的垂线交BE于点F，连接AE，
A点关于BD的对称点为点C，
则PC＋PE的最小值为AE；
∵△ABC为等边三角形，
，
，，
则PC＋PE的最小值为．
23．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.
(1)若E为边OA上的一个动点，求的周长最小值；
(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
【答案】(1)；(2)，
【详解】（1）解：如图，作点D关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接DE，由模型可知的周长最小，
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，
∴D（0，2），C（3，4），，
设直线为y=kx＋b，把C（3，4），代入，
得，，解得k=2，，
∴直线为，
令y=0，得x=1，
∴点E的坐标为（1，0）.
∴OE=1，AE=2，
利用勾股定理得，
，
，
∴△CDE周长的最小值为：．
（2）解：如图，将点D向右平移1个单位得到，作关于x轴的对称点，连接交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，连接，此时四边形CDEF周长最小，
理由如下：
∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值，
∴DE＋CF最小时，四边形CDEF周长最小，
∵，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
根据轴对称可知，，
∴，
设直线的解析式为y=kx＋b，把C（3，4），代入，
得，解得，
∴直线的解析式为，
令y=0，得，
∴点F坐标为，
∴点E坐标为．
24．如图，在中，，斜边，经过原点O，点C在y轴的正半轴上，交x轴于点D，且，反比例函数的图象经过A、B两点．
(1)求反比例函数的解析式．(2)点P为直线上一动点，求的最小值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：如图①，过点A作轴于点E，
∵经过原点O，
∴A、B关于原点对称，
∴O为的中点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：如图②，延长至点F，使得，连接交直线于点P，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
由“两点间线段最短”可得的最小值为线段的长，
由（1）得A、B关于原点对称，
∴，
∵C为线段的中点，
∴，，即，，解得，，
∴点F的坐标为，
∴，即的最小值为．
25．如图，已知抛物线与x轴的交点A（-3，0），B（1，0），与y轴的交点是点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上一点，当PB＋PC的值最小时，求点P的坐标；
(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M，N，使得且以点C，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点M和点N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；(2)P(-1，-4)；(3)M（-1，-8），N（0， ）或M，N（0， ）．
【详解】（1）解：将A（-3，0），B（1，0）代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点P是抛物线对称轴上一点，
∴，
∴，
∴连接AC，AC与对称轴的交点即为点P，如图．
∵对于，令，则，
∴C(0，-6)，
设直线AC的解析式为，
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为．
∵抛物线对称轴为，
∴对于，
令，则，
∴P(-1，-4)；
（3）解：设M点的坐标为（t， ），
当点M在点C下方时，过M点作MD⊥y轴于点D，
当△CMN∽△COA时，∠MCD=∠OCA，
∵∠CMN=∠MDN=90°，
∴∠CMD+∠NMD=∠CMD+∠MCD=90°，
∴∠NMD=∠MCD，
∴△CMN∽△MDN，
tan∠MCD=tan∠OCA=tan∠DMN =，
即，
∴，，
则，
即 ，
即，解得t=-1，
点M和点N的坐标分别为M（-1，-8），N（0， ）
当△CMN∽△AOC时，可得，
则，解得 ，
点M和点N的坐标分别为M，N（0， ）
当t>0时，没有符合的点，
存在点M，N，使得，点M和点N的坐标分别为M（-1，-8），N（0， ）或M，N（0， ）．
26．如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；
(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)点C的坐标为；(2)；(3)存在，点Q的坐标为：，，，
【详解】（1）解：设直线的解析式为，由直线经过、两点可得：
，解得，
直线的解析式为，
又直线与直线交于点C，
，解得，
当时，则，
点C的坐标为；
（2）解：如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，根据两点之间“线段最短”可知，当、、三点共线时，四边形PDCB的周长最小，
直线与x轴的交点为，
又点D和点关于y轴对称，
点，
，
设直线的解析式为，可得，解得，
直线的解析式为，
令，则，得点，
，
又，，
，
，
；
（3）解：由题意可得直线的解析式为，
联立线与直线，即，解得，，
设，
①当ED为菱形对角线时，，
即，解得，
；
②当EQ为菱形对角线时，，
，
，解得或，
，；
③当EF为菱形对角线时，，
即，解得，
，
综上：存在，点Q的坐标为：，，，．
27．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)y＝-x＋5；(2)；；(3)存在，或
【详解】（1）把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，得
，解得，
∴一次函数的表达式为：y=-x+5；
（2）
作A(1，4)关于y轴的对称点A′(-1，4)，连接A′B交y轴于P点，连接PA，此时PA+PB的值最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B，
设A′B的表达式为y=mx+n，则
，解得，
∴直线A′B的表达式为，
当x=0时，y=，
∴P(0， )，
且
，
∴PA+PB的最小值为；
（3）由y=-x+5得C(5，0)，
∴S△AOB=S△AOC-S△BOC
，
设M(xM，yM)，
∵S△MOA=S△AOB，
，
∴，
∴或，
∴M(，0)或（，0），
∴存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积，且M点的坐标为(，0)或（，0）．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB．
(1)求直线AB的解析式；
(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值；
(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝2x+4；(2)；(3)存在以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）
【详解】（1）解：（1）设OB＝OC＝m，
∵OA＝2，
∴AC＝m+2，A（﹣2，0），
∵S△ABC＝12，
∴AC•OB＝12，即m•（m+2）＝12，解得m＝4或m＝﹣6（舍去），
∴OB＝OC＝4，
∴B（0，4），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AB解析式为y＝2x+4；
（2）将直线ABy＝2x+4向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，
∴E（0，﹣2），垂线l2的解析式为y＝﹣2，
∵B（0，4），C（4，0），
设直线BC解析式为y＝px+q，
∴，解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，
由得：，
∴D（2，2），
作D关于y轴的对称点D'，作D关于直线y＝﹣2对称点D''，连接D'D''交y轴于P，交直线y＝﹣2于Q，此时PD+PQ+DQ的最小，如图：
∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），
设直线D'D''解析式为y＝sx+t，
则，解得，
∴直线D'D'解析式为y＝﹣2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），
令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），
∴此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，
∴PD+PQ+DQ的最小值为4．
（3）存在，理由如下：
设P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），
①以AD、MN为对角线，如图：
此时AD中点即为MN中点，
∴，解得，
∴N（0，﹣2）；
②以AM、DN为对角线，如图：
同理可得：，解得，
∴N（0，10）；
③以AN、DM为对角线，如图：
同理可得，解得，
∴N（0，﹣2），
综上所述，以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．
29．在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，∠ECH＝90°，连接AE．
(1)如图1，若点E在CB延长线上，连接AH，且AH＝6，求AE的长；
(2)如图2，若点E在AC上，F为AE的中点，连接BF、BH，当BH＝2BF，∠EHB+∠HBF＝45°时，求证：AE＝CE；
(3)如图3，若点E在线段AC上运动，取AE的中点F，作FH'∥BC交AB于H，连接BE并延长到D，使得BE＝DE，连接AD、CD；在线段BC上取一点G，使得CG＝AF，并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中，当ACD的周长取得最小值时，△AED的面积为25，请直接写出GE+BH′的值．
【答案】(1)AE＝6；(2)见解析；(3)GE+BH′＝
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵∠ECH＝90°，∴∠ACH＝45°，∴∠ACE＝∠ACH，在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，∴∠CHE＝45°，∴CE＝CH，∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACH（SAS），∴AE＝AH＝6；
（2）证明：如图1，连接BE，设BH与AC交于点G，∵∠BCE=∠CEH=45°，∴EH//BC，∴∠EHB=∠CBG，∵∠ABC＝90°，∴∠CBG+∠HBF+∠ABF=45°，∵∠EHB+∠HBF＝45°，∴∠EHB=∠CBG +∠ABF，∴∠CBG =∠ABF，∵AB＝AC，∠A＝∠ACB＝45°，∴△ABF≌△CBG（ASA），∴BG＝BF，∵BH＝2BF，∴BH＝2BG，∵∠HEG＝∠BCG＝45°，∠EGH＝∠CGB，∴△EGH≌△CGB（AAS），∴EG＝CG，∴四边形EBCH是平行四边形，∴BE//CH，∴∠BEG＝∠ECH＝90°，∴AE＝CE；
（3）解：如图2，作DN∥AC，作点A关于直线DN′的对称点A′，连接A′C交DN于D′，连接BD′，交AC与E′，则当点D在D′处，点E在点E′处时，△ACD的周长最小，此时△ACD为等腰直角三角形，∵S△ADE＝＝25，∴AE′＝5，∴AC＝2AE′＝10，∴AB＝BC＝＝10，∵AF＝＝，∴H′F＝AH′＝＝ ，∴BH′＝10﹣＝，∵AF＝CG，∠BAF＝∠BCA＝45°，AB＝CE′，∴△ABF≌△CE′G（SAS），∴BF＝E′G，∴E′G＝BF＝＝＝，∴GE+BH′＝．