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新高考数学一轮复习讲练测课件第1章§1.5一元二次方程、不等式 (含解析)
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这是一份新高考数学一轮复习讲练测课件第1章§1.5一元二次方程、不等式 (含解析)，共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，－aa等内容，欢迎下载使用。
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
{x|xx2}
2.分式不等式与整式不等式(1) >0(<0)⇔ ；(2) ≥0(≤0)⇔ .3.简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为 ，|x|0)的解集为 .
f(x)g(x)>0(<0)
f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.( )(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.( )
A.∅ B.(2,3)C.(－∞，2)∪(3，＋∞) D.(－∞，＋∞)
2.已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为A.1 B.2 C.－1 D.－2
因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，所以k＋m＝2.
3.已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋ ≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.
∀x∈R，x2＋(a－2)x＋ ≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3.
命题点1 不含参数的不等式
例1 (1)不等式|x|(1－2x)>0的解集是
(2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是A.a>0B.不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}C.a＋b＋c>0
∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确；且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误；不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确；不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，
不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，可化为(ax＋2)(x－4)<0.
命题点2 含参数的一元二次不等式
例2 已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.
(2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集.
不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
跟踪训练1 解关于x的不等式.
(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.
移项得mx2－(m＋2)x＋2<0，
当m＝2时，原不等式的解集为空集；
一元二次不等式恒成立问题
当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；
命题点1 在R上恒成立问题
例3 (多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是A.0 B.－24 C.－20 D.－2
于是－24
例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为___________.
要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.
又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，
命题点3 在给定参数范围内的恒成立问题
例5 (2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是A.[－1,3]B.(－∞，－1]C.[3，＋∞)D.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
解得x<－1或x>3.
恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
跟踪训练2 (1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是A.{a|a<－2或a≥2} B.{a|－2
解得－2
由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，
1.(多选)与不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有A.x2＋x－2>0 B.－x2＋x－2>0C.－x2＋x－2<0 D.2x2－3x＋2>0
对于不等式x2－x＋2>0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式x2－x＋2>0的解集为R.对于A项，不等式x2＋x－2>0可变形为(x－1)(x＋2)>0，解得x<－2或x>1；对于B项，不等式－x2＋x－2>0即x2－x＋2<0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式－x2＋x－2>0的解集为∅；对于C项，不等式－x2＋x－2<0等价于x2－x＋2>0，满足条件；对于D项，对于不等式2x2－3x＋2>0，Δ＝9－4×22<0，故不等式2x2－3x＋2>0的解集为R.
2.已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是A.－1
解得－11}
因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1
4.(2023·孝感模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是A.α
当a<0时，不等式等价于(x－1)(x－a)<0，解得a0，解得x>1或x0，解得x≠1；当a>1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，解得x>a或x<1.
6.(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是A.4 B.5 C.6 D.7
画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，
7.不等式 >x的解集是__________________.
(－∞，－1)∪(1,5)
所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,5).
8.(2023·合肥模拟)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为_____.
∵当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，
∴a≥－4，故a的最小值为－4.
9.已知集合：①A＝ ；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题：(1)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，当m＝0时，求A－B；
故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0
由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1,3).由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，即(x－m)[x－(m＋1)]<0，解得B＝(m，m＋1)，因为p是q成立的必要不充分条件，所以BA，
故m的取值范围为[－1,2].
10.已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.(1)若不等式f(x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
∀x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0，
(2)若a<0，解关于x的不等式f(x)
11.(多选)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0,3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的值可以是A.－1 B.0 C.1 D.3
∵|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5，①当x＝0时，a∈R；②当x≠0时，|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5
∴1≤a≤4，综上，1≤a≤4.
12.关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(m，n)(m
13.下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－20.”的一种解法：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－20可化为a(－x)2＋b(－x)＋c>0，所以－2<－x<1，即－10的解集为{x|－1
∵cs2θ＋2msin θ－2m－2<0，∴1－sin2θ＋2msin θ－2m－2＝－sin2θ＋2msin θ－2m－1<0.设x＝sin θ(0
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
{x|x
2.分式不等式与整式不等式(1) >0(<0)⇔ ；(2) ≥0(≤0)⇔ .3.简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为 ，|x|
f(x)g(x)>0(<0)
f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.( )(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.( )
A.∅ B.(2,3)C.(－∞，2)∪(3，＋∞) D.(－∞，＋∞)
2.已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为A.1 B.2 C.－1 D.－2
因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根，所以k＋m＝2.
3.已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋ ≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.
∀x∈R，x2＋(a－2)x＋ ≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3.
命题点1 不含参数的不等式
例1 (1)不等式|x|(1－2x)>0的解集是
(2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是A.a>0B.不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6}C.a＋b＋c>0
∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确；且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误；不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确；不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，
不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，可化为(ax＋2)(x－4)<0.
命题点2 含参数的一元二次不等式
例2 已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.
(2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集.
不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
跟踪训练1 解关于x的不等式.
(2)m>0时，mx2－mx－1<2x－3.
移项得mx2－(m＋2)x＋2<0，
当m＝2时，原不等式的解集为空集；
一元二次不等式恒成立问题
当k＝0时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；
命题点1 在R上恒成立问题
例3 (多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0恒成立，则实数k可以是A.0 B.－24 C.－20 D.－2
于是－24
例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为___________.
要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.
又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，
命题点3 在给定参数范围内的恒成立问题
例5 (2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是A.[－1,3]B.(－∞，－1]C.[3，＋∞)D.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
解得x<－1或x>3.
恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
跟踪训练2 (1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是A.{a|a<－2或a≥2} B.{a|－2
解得－2
由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，
1.(多选)与不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有A.x2＋x－2>0 B.－x2＋x－2>0C.－x2＋x－2<0 D.2x2－3x＋2>0
对于不等式x2－x＋2>0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式x2－x＋2>0的解集为R.对于A项，不等式x2＋x－2>0可变形为(x－1)(x＋2)>0，解得x<－2或x>1；对于B项，不等式－x2＋x－2>0即x2－x＋2<0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式－x2＋x－2>0的解集为∅；对于C项，不等式－x2＋x－2<0等价于x2－x＋2>0，满足条件；对于D项，对于不等式2x2－3x＋2>0，Δ＝9－4×22<0，故不等式2x2－3x＋2>0的解集为R.
2.已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是A.－1
解得－1
因为不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1
4.(2023·孝感模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是A.α
当a<0时，不等式等价于(x－1)(x－a)<0，解得a
6.(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是A.4 B.5 C.6 D.7
画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，
7.不等式 >x的解集是__________________.
(－∞，－1)∪(1,5)
所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,5).
8.(2023·合肥模拟)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为_____.
∵当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，
∴a≥－4，故a的最小值为－4.
9.已知集合：①A＝ ；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题：(1)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，当m＝0时，求A－B；
故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0
由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1,3).由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，即(x－m)[x－(m＋1)]<0，解得B＝(m，m＋1)，因为p是q成立的必要不充分条件，所以BA，
故m的取值范围为[－1,2].
10.已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.(1)若不等式f(x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
∀x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0，
(2)若a<0，解关于x的不等式f(x)
11.(多选)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0,3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的值可以是A.－1 B.0 C.1 D.3
∵|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5，①当x＝0时，a∈R；②当x≠0时，|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5
∴1≤a≤4，综上，1≤a≤4.
12.关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(m，n)(m
13.下面给出了问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2
∵cs2θ＋2msin θ－2m－2<0，∴1－sin2θ＋2msin θ－2m－2＝－sin2θ＋2msin θ－2m－1<0.设x＝sin θ(0
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