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2021年浙江省温州市中考数学真题试卷 解析版
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这是一份2021年浙江省温州市中考数学真题试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年浙江省温州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分
1．计算（﹣2）2的结果是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
2．直六棱柱如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A．218×106 B．21.8×107 C．2.18×108 D．0.218×109
4．如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有（ ）
A．45人 B．75人 C．120人 D．300人
5．解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（ ）
A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x
6．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点A′，则A′B′的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
7．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2），则应缴水费为（ ）
A．20a元 B．（20a+24）元
C．（17a+3.6）元 D．（20a+3.6）元
8．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，∠AOB＝α，则OC2的值为（ ）
A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1
9．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0），AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结AE．若OE＝1，OC＝，AC＝AE，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．2
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：2m2﹣18＝ ．
12．（5分）一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球 ．
13．（5分）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 ．
14．（5分）不等式组的解集为 ．
15．（5分）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝ 度．
16．（5分）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2） ；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，则当点A′，B′，圆的最小面积为 ．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣．
（2）化简：（a﹣5）2+a（2a+8）．
18．（8分）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
19．（8分）某校将学生体质健康测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为4分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况
（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：
小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．”
小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩．”
根据如图学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案．
如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案．
（2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数．
20．（8分）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．
（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．
（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．
21．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
22．（10分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧）
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时
23．（12分）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成份
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
规格
每包食材含量
每包单价
A包装
1千克
45元
B包装
0.25千克
12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0）
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．
2021年浙江省温州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分
1．计算（﹣2）2的结果是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
【分析】(﹣2)²表示2个(﹣2)相乘,根据幂的意义计算即可．
【解答】解:(﹣2)²＝(﹣2)×(﹣6)＝4,
故选：A．
2．直六棱柱如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据简单几何体的三视图进行判断即可．
【解答】解：从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形，
故选：C．
3．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A．218×106 B．21.8×107 C．2.18×108 D．0.218×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将218000000用科学记数法表示为2.18×108．
故选：C．
4．如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有（ ）
A．45人 B．75人 C．120人 D．300人
【分析】利用大学生的人数以及所占的百分比可得总人数，用总人数乘以初中生所占的百分比即可求解．
【解答】解：参观温州数学名人馆的学生人数共有60÷20%＝300（人），
初中生有300×40%＝120（人），
故选：C．
5．解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（ ）
A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x
【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号．
【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，
去括号得：﹣3x﹣2＝x，
故选：D．
6．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点A′，则A′B′的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，
∴＝，即＝，
解得，A′B′＝9，
故选：B．
7．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2），则应缴水费为（ ）
A．20a元 B．（20a+24）元
C．（17a+3.6）元 D．（20a+3.6）元
【分析】应缴水费＝17立方米的水费+（20﹣17）立方米的水费。
【解答】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+2.6）（元）。
故选：D．
8．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，∠AOB＝α，则OC2的值为（ ）
A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1
【分析】在Rt△OAB中，sinα＝,可得OB的长度，在Rt△OBC中，根据勾股定理OB2+BC2＝OC2,代入即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝BC＝1,
在Rt△OAB中，sinα＝,
∴OB＝,
在Rt△OBC中，
OB3+BC2＝OC2,
∴OC6＝()2+22＝．
故选：A．
9．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0），AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结AE．若OE＝1，OC＝，AC＝AE，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．2
【分析】根据题意求得B（k，1），进而求得A（k，），然后根据勾股定理得到∴（）2＝（k）2+（）2，解方程即可求得k的值．
【解答】解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，
∴四边形BDOE是矩形，
∴BD＝OE＝1，
把y＝1代入y＝，求得x＝k，
∴B（k，7），
∴OD＝k，
∵OC＝OD，
∴OC＝k，
∵AC⊥x轴于点C，
把x＝k代入y＝得，
∴AE＝AC＝，
∵OC＝EF＝k，AF＝，
在Rt△AEF中，AE2＝EF5+AF2，
∴（）2＝（k）2+（）2，解得k＝±，
∵在第一象限，
∴k＝，
故选：B．
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T,设BH交CF于M,AE交DF于N．设BE＝AN＝CH＝DF＝a,则AE＝BM＝CF＝DN＝2a,想办法求出BH,CG,可得结论．
【解答】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T,AE交DF于N,则AE＝BM＝CF＝DN＝2a,
∴EN＝EM＝MF＝FN＝a,
∵四边形ENFM是正方形，
∴∠EFH＝∠TFG＝45°,∠NFE＝∠DFG＝45°,
∵GT⊥TF,DF⊥DG,
∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°,
∴TG＝FT＝DF＝DG＝a,
∴CT＝3a,CG＝＝a,
∵MH∥TG,
∴△CMH∽△CTG,
∴CM:CT＝MH:TG＝7,
∴MH＝a,
∴BH＝5a+a＝a,
∴＝＝,
故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：2m2﹣18＝ 2（m+3）（m﹣3） ．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（m2﹣3）
＝2（m+3）（m﹣7）．
故答案为：2（m+3）（m﹣2）．
12．（5分）一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球 ．
【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可得出答案．
【解答】解：∵一共有21个只有颜色不同的球，其中红球有5个，
∴从中任意摸出1个球是红球的概率为，
故答案为：．
13．（5分）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 π ．
【分析】根据弧长公式代入即可．
【解答】解：根据弧长公式可得：
l＝＝＝π．
故答案为：π．
14．（5分）不等式组的解集为 1≤x＜7 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3＜4，得：x＜2，
解不等式≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜2，
故答案为：1≤x＜7．
15．（5分）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝ 85 度．
【分析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，连接OO′，如图，再根据旋转的性质得∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，则判断△OO′B为等边三角形得到∠OBO′＝60°，所以∠ABA′＝60°，然后利用三角形外角性质计算∠OCB．
【解答】解：∵⊙O与△OAB的边AB相切，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
连接OO′，如图，
∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，
∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，
∵OB＝OO′，
∴△OO′B为等边三角形，
∴∠OBO′＝60°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°．
故答案为85．
16．（5分）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2） 6﹣2 ；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，则当点A′，B′，圆的最小面积为 (16﹣8)π ．
【分析】如图，连接FH,由题意可知点A′,O,C′在线段FH上,连接OB′,B′C′,过点O作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°,解直角三角形求出JK,OH,B′H,再求出OB′2,可得结论．
【解答】解：如图，连接FH,O,C′在线段FH上,B′C′．
∵大正方形的面积＝12，
∴FG＝GH＝2,
∵EF＝HK＝2,
∴在Rt△EFG中，tan∠EGF＝＝＝,
∴∠EGF＝30°,
∵JK∥FG,
∴∠KJG＝∠EGF＝30°,
∴d＝JK＝GK＝﹣6)＝6﹣2,
∵OF＝OH＝FH＝,
∴OC′＝﹣,
∵B′C′∥QH,B′C′＝2,
∴∠OC′H＝∠FHQ＝45°,
∴OH＝HC′＝﹣2,
∴HB′＝2﹣(﹣6)＝3﹣,
∴OB′5＝OH2+B′H2＝(﹣1)2+(8﹣)2＝16﹣3,
∵OA′＝OC′＜OB′,
∴当点A′，B′，圆的最小面积为(16﹣8．
故答案为：6﹣2，(16﹣8．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣．
（2）化简：（a﹣5）2+a（2a+8）．
【分析】（1）运用实数的计算法则可以得到结果；
（2）结合完全平方公式，运用整式的运算法则可以得到结果．
【解答】解：(1)原式＝﹣12+8﹣3+5
＝﹣6；
(2)原式＝a2﹣10a+25+a7+4a
＝2a8﹣6a+25．
18．（8分）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）由（1）中DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°,再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．
【解答】解：（1）∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE,
∵∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝45°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝．
19．（8分）某校将学生体质健康测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为4分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况
（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：
小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．”
小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩．”
根据如图学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案．
如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案．
（2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数．
【分析】（1）根据小红和小明抽样的特点进行分析评价即可；
（2）根据中位数、众数的意义求解即可．
【解答】解：（1）两人都能根据学校信息合理选择样本容量进行抽样调查，小红的方案考虑到性别的差异，小明的方案考虑到了年级特点，他们抽样调查不具有广泛性和代表性；
（2）平均数为＝2.75（分），
抽查的120人中，成绩是6分出现的次数最多，因此众数是3分，
将这120人的得分从小到大排列处在中间位置的两个数都是3分，因此中位数是8分，
答：这组数据的平均数是2.75分、中位数是3分．
20．（8分）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．
（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．
（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．
【分析】（1）直接将其中任意四边形向右平移3个单位得出符合题意的图形；
（2）直接将其中任意一三角形边长扩大为原来的倍，即可得出所求图形．
【解答】解：（1）如图2所示，即为所求；
（2）如图3所示，即为所求．
21．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
【分析】（1）将点（﹣2，0）代入求解．
（2）分别求出点A,B坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解．
【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得6＝4a+4a﹣6，
解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣3x﹣8，
∵y＝x2﹣5x﹣8＝（x﹣1）5﹣9,
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣6）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣4x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，
∴m＝16，
把y＝7代入函数解析式得7＝x5﹣2x﹣8，
解得n＝2或n＝﹣3，
∵n为正数，
∴n＝5，
∴点A坐标为（﹣4，16），7）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，
∴抛物线顶点在AB下方，
∴﹣8<xP＜5,﹣9≤yP＜16．
22．（10分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧）
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时
【分析】（1）证AE∥CF，再证△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出AE＝3，BE＝4，再证∠ECF＝∠CBE，则tan∠CBE＝tan∠ECF，得＝，求出EF＝﹣2，进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，
设AE＝4a，则BE＝4a，
由勾股定理得：（3a）3+（4a）2＝52，
解得：a＝1或a＝﹣2（舍去），
∴AE＝3，BE＝4，
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝2，
∵∠CBE＝∠EAF，
∴∠ECF＝∠CBE，
∴tan∠CBE＝tan∠ECF，
∴＝，
∴CF2＝EF×BF，
设EF＝x，则BF＝x+4，
∴52＝x（x+4），
解得：x＝﹣5或x＝﹣,（舍去），
即EF＝﹣2，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝4，
∴BD＝BE+EF+DF＝8+﹣2+4＝8+．
23．（12分）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成份
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
规格
每包食材含量
每包单价
A包装
1千克
45元
B包装
0.25千克
12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时
【分析】（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，根据“用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克”列分式方程解答即可；
（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，根据（1）的结论以及“每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可；
②设A为m包，则B为包，根据“A的数量不低于B的数量”求出m的取值范围；设总利润为W元，根据题意求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，
由题意得，
解得a＝20，
经检验，a＝20是所列方程的根，
∴2a＝40（元），
答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；
（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
由题意得，解得，
答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；
②设A为m包，则B为，
∵A的数量不低于B的数量，
∴m≥2000﹣4m，
∴m≥400，
设总利润为W元，根据题意得：
W＝45m+12(2000﹣4m)﹣18000﹣2000＝﹣3m+4000，
∵k＝﹣4<0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m＝400时，W的最大值为2800,
答：当A为400包时，总利润最大．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0）
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．
【分析】（1）点M是AB的中点，则点M（1,4），则圆的半径AM＝＝，再用待定系数法即可求解；
（2）由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，即可求解；
（3）①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，则△AEP为等腰直角三角形，即可求解；②∠AEP＝∠BDO时，则△EAP∽△DBO，进而求解；③∠AEP＝∠BOD时，同理可解．
【解答】解：（1）∵点M是AB的中点，则点M（1，
则圆的半径为AM＝＝，
设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线CM的表达式为y＝﹣x+；
（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），
由AM＝得：（x﹣3）2+（﹣x+2＝（）8，
解得x＝5或﹣3，
故点D、E的坐标分别为（﹣5、（5；
（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3，
故∠DBO＝45°，
由点A、E的坐标；
由点A、E、B、D的坐标得＝8，
同理可得：BD＝3，OB＝8，
①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，
则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，
故点P的坐标为（5,5），
故OP＝5；
②∠AEP＝∠BDO时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△DBO，
∴，即＝＝，解得AP＝8，
故PO＝10；
③∠AEP＝∠BOD时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△OBD，
∴，即，解得AP＝，
则PO＝5+＝，
综上，OP为5或10或．
2021年浙江省温州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分
1．计算（﹣2）2的结果是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
2．直六棱柱如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A．218×106 B．21.8×107 C．2.18×108 D．0.218×109
4．如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有（ ）
A．45人 B．75人 C．120人 D．300人
5．解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（ ）
A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x
6．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点A′，则A′B′的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
7．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2），则应缴水费为（ ）
A．20a元 B．（20a+24）元
C．（17a+3.6）元 D．（20a+3.6）元
8．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，∠AOB＝α，则OC2的值为（ ）
A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1
9．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0），AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结AE．若OE＝1，OC＝，AC＝AE，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．2
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：2m2﹣18＝ ．
12．（5分）一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球 ．
13．（5分）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 ．
14．（5分）不等式组的解集为 ．
15．（5分）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝ 度．
16．（5分）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2） ；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，则当点A′，B′，圆的最小面积为 ．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣．
（2）化简：（a﹣5）2+a（2a+8）．
18．（8分）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
19．（8分）某校将学生体质健康测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为4分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况
（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：
小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．”
小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩．”
根据如图学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案．
如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案．
（2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数．
20．（8分）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．
（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．
（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．
21．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
22．（10分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧）
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时
23．（12分）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成份
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
规格
每包食材含量
每包单价
A包装
1千克
45元
B包装
0.25千克
12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0）
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．
2021年浙江省温州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分
1．计算（﹣2）2的结果是（ ）
A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1
【分析】(﹣2)²表示2个(﹣2)相乘,根据幂的意义计算即可．
【解答】解:(﹣2)²＝(﹣2)×(﹣6)＝4,
故选：A．
2．直六棱柱如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据简单几何体的三视图进行判断即可．
【解答】解：从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形，
故选：C．
3．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A．218×106 B．21.8×107 C．2.18×108 D．0.218×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将218000000用科学记数法表示为2.18×108．
故选：C．
4．如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有（ ）
A．45人 B．75人 C．120人 D．300人
【分析】利用大学生的人数以及所占的百分比可得总人数，用总人数乘以初中生所占的百分比即可求解．
【解答】解：参观温州数学名人馆的学生人数共有60÷20%＝300（人），
初中生有300×40%＝120（人），
故选：C．
5．解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（ ）
A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x
【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号．
【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，
去括号得：﹣3x﹣2＝x，
故选：D．
6．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点A′，则A′B′的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，
∴＝，即＝，
解得，A′B′＝9，
故选：B．
7．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2），则应缴水费为（ ）
A．20a元 B．（20a+24）元
C．（17a+3.6）元 D．（20a+3.6）元
【分析】应缴水费＝17立方米的水费+（20﹣17）立方米的水费。
【解答】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+2.6）（元）。
故选：D．
8．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，∠AOB＝α，则OC2的值为（ ）
A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1
【分析】在Rt△OAB中，sinα＝,可得OB的长度，在Rt△OBC中，根据勾股定理OB2+BC2＝OC2,代入即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝BC＝1,
在Rt△OAB中，sinα＝,
∴OB＝,
在Rt△OBC中，
OB3+BC2＝OC2,
∴OC6＝()2+22＝．
故选：A．
9．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0），AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结AE．若OE＝1，OC＝，AC＝AE，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．2
【分析】根据题意求得B（k，1），进而求得A（k，），然后根据勾股定理得到∴（）2＝（k）2+（）2，解方程即可求得k的值．
【解答】解：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E，
∴四边形BDOE是矩形，
∴BD＝OE＝1，
把y＝1代入y＝，求得x＝k，
∴B（k，7），
∴OD＝k，
∵OC＝OD，
∴OC＝k，
∵AC⊥x轴于点C，
把x＝k代入y＝得，
∴AE＝AC＝，
∵OC＝EF＝k，AF＝，
在Rt△AEF中，AE2＝EF5+AF2，
∴（）2＝（k）2+（）2，解得k＝±，
∵在第一象限，
∴k＝，
故选：B．
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T,设BH交CF于M,AE交DF于N．设BE＝AN＝CH＝DF＝a,则AE＝BM＝CF＝DN＝2a,想办法求出BH,CG,可得结论．
【解答】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T,AE交DF于N,则AE＝BM＝CF＝DN＝2a,
∴EN＝EM＝MF＝FN＝a,
∵四边形ENFM是正方形，
∴∠EFH＝∠TFG＝45°,∠NFE＝∠DFG＝45°,
∵GT⊥TF,DF⊥DG,
∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°,
∴TG＝FT＝DF＝DG＝a,
∴CT＝3a,CG＝＝a,
∵MH∥TG,
∴△CMH∽△CTG,
∴CM:CT＝MH:TG＝7,
∴MH＝a,
∴BH＝5a+a＝a,
∴＝＝,
故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）分解因式：2m2﹣18＝ 2（m+3）（m﹣3） ．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（m2﹣3）
＝2（m+3）（m﹣7）．
故答案为：2（m+3）（m﹣2）．
12．（5分）一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球 ．
【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可得出答案．
【解答】解：∵一共有21个只有颜色不同的球，其中红球有5个，
∴从中任意摸出1个球是红球的概率为，
故答案为：．
13．（5分）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 π ．
【分析】根据弧长公式代入即可．
【解答】解：根据弧长公式可得：
l＝＝＝π．
故答案为：π．
14．（5分）不等式组的解集为 1≤x＜7 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3＜4，得：x＜2，
解不等式≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜2，
故答案为：1≤x＜7．
15．（5分）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝ 85 度．
【分析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，连接OO′，如图，再根据旋转的性质得∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，则判断△OO′B为等边三角形得到∠OBO′＝60°，所以∠ABA′＝60°，然后利用三角形外角性质计算∠OCB．
【解答】解：∵⊙O与△OAB的边AB相切，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
连接OO′，如图，
∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，
∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，
∵OB＝OO′，
∴△OO′B为等边三角形，
∴∠OBO′＝60°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°．
故答案为85．
16．（5分）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2） 6﹣2 ；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，则当点A′，B′，圆的最小面积为 (16﹣8)π ．
【分析】如图，连接FH,由题意可知点A′,O,C′在线段FH上,连接OB′,B′C′,过点O作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°,解直角三角形求出JK,OH,B′H,再求出OB′2,可得结论．
【解答】解：如图，连接FH,O,C′在线段FH上,B′C′．
∵大正方形的面积＝12，
∴FG＝GH＝2,
∵EF＝HK＝2,
∴在Rt△EFG中，tan∠EGF＝＝＝,
∴∠EGF＝30°,
∵JK∥FG,
∴∠KJG＝∠EGF＝30°,
∴d＝JK＝GK＝﹣6)＝6﹣2,
∵OF＝OH＝FH＝,
∴OC′＝﹣,
∵B′C′∥QH,B′C′＝2,
∴∠OC′H＝∠FHQ＝45°,
∴OH＝HC′＝﹣2,
∴HB′＝2﹣(﹣6)＝3﹣,
∴OB′5＝OH2+B′H2＝(﹣1)2+(8﹣)2＝16﹣3,
∵OA′＝OC′＜OB′,
∴当点A′，B′，圆的最小面积为(16﹣8．
故答案为：6﹣2，(16﹣8．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣．
（2）化简：（a﹣5）2+a（2a+8）．
【分析】（1）运用实数的计算法则可以得到结果；
（2）结合完全平方公式，运用整式的运算法则可以得到结果．
【解答】解：(1)原式＝﹣12+8﹣3+5
＝﹣6；
(2)原式＝a2﹣10a+25+a7+4a
＝2a8﹣6a+25．
18．（8分）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）由（1）中DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°,再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．
【解答】解：（1）∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE,
∵∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝45°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝．
19．（8分）某校将学生体质健康测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为4分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况
（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：
小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．”
小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩．”
根据如图学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案．
如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案．
（2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数．
【分析】（1）根据小红和小明抽样的特点进行分析评价即可；
（2）根据中位数、众数的意义求解即可．
【解答】解：（1）两人都能根据学校信息合理选择样本容量进行抽样调查，小红的方案考虑到性别的差异，小明的方案考虑到了年级特点，他们抽样调查不具有广泛性和代表性；
（2）平均数为＝2.75（分），
抽查的120人中，成绩是6分出现的次数最多，因此众数是3分，
将这120人的得分从小到大排列处在中间位置的两个数都是3分，因此中位数是8分，
答：这组数据的平均数是2.75分、中位数是3分．
20．（8分）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．
（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．
（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．
【分析】（1）直接将其中任意四边形向右平移3个单位得出符合题意的图形；
（2）直接将其中任意一三角形边长扩大为原来的倍，即可得出所求图形．
【解答】解：（1）如图2所示，即为所求；
（2）如图3所示，即为所求．
21．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
【分析】（1）将点（﹣2，0）代入求解．
（2）分别求出点A,B坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解．
【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得6＝4a+4a﹣6，
解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣3x﹣8，
∵y＝x2﹣5x﹣8＝（x﹣1）5﹣9,
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣6）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣4x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，
∴m＝16，
把y＝7代入函数解析式得7＝x5﹣2x﹣8，
解得n＝2或n＝﹣3，
∵n为正数，
∴n＝5，
∴点A坐标为（﹣4，16），7）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，
∴抛物线顶点在AB下方，
∴﹣8<xP＜5,﹣9≤yP＜16．
22．（10分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧）
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时
【分析】（1）证AE∥CF，再证△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出AE＝3，BE＝4，再证∠ECF＝∠CBE，则tan∠CBE＝tan∠ECF，得＝，求出EF＝﹣2，进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，
设AE＝4a，则BE＝4a，
由勾股定理得：（3a）3+（4a）2＝52，
解得：a＝1或a＝﹣2（舍去），
∴AE＝3，BE＝4，
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝2，
∵∠CBE＝∠EAF，
∴∠ECF＝∠CBE，
∴tan∠CBE＝tan∠ECF，
∴＝，
∴CF2＝EF×BF，
设EF＝x，则BF＝x+4，
∴52＝x（x+4），
解得：x＝﹣5或x＝﹣,（舍去），
即EF＝﹣2，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝4，
∴BD＝BE+EF+DF＝8+﹣2+4＝8+．
23．（12分）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成份
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
规格
每包食材含量
每包单价
A包装
1千克
45元
B包装
0.25千克
12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时
【分析】（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，根据“用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克”列分式方程解答即可；
（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，根据（1）的结论以及“每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可；
②设A为m包，则B为包，根据“A的数量不低于B的数量”求出m的取值范围；设总利润为W元，根据题意求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，
由题意得，
解得a＝20，
经检验，a＝20是所列方程的根，
∴2a＝40（元），
答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；
（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
由题意得，解得，
答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；
②设A为m包，则B为，
∵A的数量不低于B的数量，
∴m≥2000﹣4m，
∴m≥400，
设总利润为W元，根据题意得：
W＝45m+12(2000﹣4m)﹣18000﹣2000＝﹣3m+4000，
∵k＝﹣4<0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m＝400时，W的最大值为2800,
答：当A为400包时，总利润最大．
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0）
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．
【分析】（1）点M是AB的中点，则点M（1,4），则圆的半径AM＝＝，再用待定系数法即可求解；
（2）由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，即可求解；
（3）①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，则△AEP为等腰直角三角形，即可求解；②∠AEP＝∠BDO时，则△EAP∽△DBO，进而求解；③∠AEP＝∠BOD时，同理可解．
【解答】解：（1）∵点M是AB的中点，则点M（1，
则圆的半径为AM＝＝，
设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线CM的表达式为y＝﹣x+；
（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），
由AM＝得：（x﹣3）2+（﹣x+2＝（）8，
解得x＝5或﹣3，
故点D、E的坐标分别为（﹣5、（5；
（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3，
故∠DBO＝45°，
由点A、E的坐标；
由点A、E、B、D的坐标得＝8，
同理可得：BD＝3，OB＝8，
①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，
则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，
故点P的坐标为（5,5），
故OP＝5；
②∠AEP＝∠BDO时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△DBO，
∴，即＝＝，解得AP＝8，
故PO＝10；
③∠AEP＝∠BOD时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△OBD，
∴，即，解得AP＝，
则PO＝5+＝，
综上，OP为5或10或．
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