2022年四川省达州市中考数学试卷

这是一份2022年四川省达州市中考数学试卷，共34页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中，最小的数是　　
A．0 B． C．1 D．
2．（3分）在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）2022年5月19日，达州金垭机场正式通航．金垭机场位于达州高新区，占地总面积2940亩，概算投资约为26.62亿元．数据26.62亿元用科学记数法表示为　　
A．元 B．元 C．元 D．元
4．（3分）如图，，直线分别交，于点，，将一个含有角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若，则等于　　

A． B． C． D．
5．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两 ‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为　　
A． B．
C． D．
6．（3分）下列命题是真命题的是　　
A．相等的两个角是对顶角
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．若，则
D．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是
7．（3分）如图，在中，点，分别是，边的中点，点在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是　　

A． B． C． D．
8．（3分）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，，则的长为　　

A．9 B．12 C．15 D．18
9．（3分）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点，，为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为　　

A． B． C． D．
10．（3分）二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，都有成立；④若，，，在该函数图象上，则；⑤方程，为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有　　个．

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：　　．
12．（3分）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为 　　．

13．（3分）如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为 　　．

14．（3分）关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是 　　．
15．（3分）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．，，记，，，，则　　．
16．（3分）如图，在边长为2的正方形中，点，分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点，．点，在运动过程中，始终保持，连接，，．下列结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点作，垂足为，连接，则的最小值为，其中所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）计算：．
18．（6分）化简求值：，其中．
19．（7分）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
96

众数

98
方差
28.6
28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中　　，　　，　　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？

20．（8分）某老年活动中心欲在一房前高的前墙上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为，遮阳篷与水平面的夹角为．如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长度（结果精确到．
（参考数据：，，；，，

21．（8分）某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件恤衫的标价至少是多少元？
22．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）在平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（8分）如图，在中，，点为边上一点，以为半径的与相切于点，分别交，边于点，．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．

24．（11分）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，，延长交于点，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
【初步探究】
（1）如图2，当时，则　　；
（2）如图3，当点，重合时，请直接写出，，之间的数量关系：　　；
【深入探究】
（3）如图4，当点，不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图5，在与中，，若，为常数）．保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，，延长交于点，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．


25．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接，在该二次函数图象上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线为该二次函数图象的对称轴，交轴于点．若点为轴上方二次函数图象上一动点，过点作直线，分别交直线于点，，在点的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．



2022年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个数中，最小的数是　　
A．0 B． C．1 D．
【分析】根据负数小于0，正数大于0即可得出答案．
【解答】解：，
最小的数是．
故选：．
2．（3分）在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：．是轴对称图形，故此选项符合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
3．（3分）2022年5月19日，达州金垭机场正式通航．金垭机场位于达州高新区，占地总面积2940亩，概算投资约为26.62亿元．数据26.62亿元用科学记数法表示为　　
A．元 B．元 C．元 D．元
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：26.62亿．
故选：．
4．（3分）如图，，直线分别交，于点，，将一个含有角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若，则等于　　

A． B． C． D．
【分析】根据平行线的性质得到，由等腰直角三角形的性质得到，即可得到结论．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
5．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两 ‘两’为我国古代货币单位）：马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为　　
A． B．
C． D．
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
【解答】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：．
故选：．
6．（3分）下列命题是真命题的是　　
A．相等的两个角是对顶角
B．相等的圆周角所对的弧相等
C．若，则
D．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是
【分析】根据对顶角的定义、圆周角，不等式的性质、概率公式判断即可．
【解答】解：、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；
、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；
、若，时，则，原命题是假命题；
、在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是，是真命题；
故选：．
7．（3分）如图，在中，点，分别是，边的中点，点在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是　　

A． B． C． D．
【分析】利用三角形中位线定理得到，，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
、当，不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
、，
，
，
，
四边形为平行四边形，故本选项符合题意；
、根据，不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
、，，
，
由，，，不能判定，不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：．
8．（3分）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，，则的长为　　

A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】证明，求得，设，用表示、，由勾股定理列出方程即可求解．
【解答】解：四边形是矩形，
，，
将矩形沿直线折叠，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
中，，
，
解得（舍去0根），
，
故选：．
9．（3分）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点，，为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为　　

A． B． C． D．
【分析】此三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长为，所以根据弧长公式可得，解得，即正三角形的边长为2．那么曲边三角形的面积就三角形的面积三个弓形的面积．
【解答】解：设等边三角形的边长为，
，解得，即正三角形的边长为2，
这个曲边三角形的面积，
故选：．
10．（3分）二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，都有成立；④若，，，在该函数图象上，则；⑤方程，为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有　　个．

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①正确，判断出，，的正负，可得结论；
②正确．利用对称轴公式可得，，当时，，解不等式可得结论；
③错误．当时，；
④错误．应该是，；
⑤错误．当有四个交点或3个时，方程，为常数）的所有根的和为4，当有两个交点时，方程，为常数）的所有根的和为2．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线与轴交于点，
，
，
，
，故①正确，
，
当时，，
，
，故②正确，
当时，，故③错误，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，
点，到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，
，故④错误，
方程，为常数）的解，是抛物线与直线的交点，
当有四个交点或3个时，方程，为常数）的所有根的和为4，
当有两个交点时，方程，为常数）的所有根的和为2，故⑤错误，
故选：．

二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：　　．
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变求解．
【解答】解：，
故答案为：．
12．（3分）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为 　　．

【分析】根据，求出，即可．
【解答】解：，，
，
由作图可知，垂直平分线段，
，
，
，
故答案为：．
13．（3分）如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为 　52　．

【分析】菱形的四条边相等，要求周长，只需求出边长即可，菱形的对角线互相垂直且平分，根据勾股定理求边长即可．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，，
，，
，，
在中，
，
菱形的周长．
故答案为：52．
14．（3分）关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是 　　．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
恰有3个整数解，
，
，
故答案为：．
15．（3分）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．，，记，，，，则　5050　．
【分析】利用分式的加减法则分别可求，，，，利用规律求解即可．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5050．
16．（3分）如图，在边长为2的正方形中，点，分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点，．点，在运动过程中，始终保持，连接，，．下列结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点作，垂足为，连接，则的最小值为，其中所有正确结论的序号是 　①②④⑤　．

【分析】①正确．证明，可得结论；
②正确．证明，推出，推出，由，可得结论；
③错误．可以证明；
④正确．利用相似三角形的性质证明，可得结论；
⑤正确．求出，，根据，可得结论．
【解答】解：如图，四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，故①正确，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，故④正确，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故②正确，
将绕点顺时针旋转得到，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，故③错误，
连接，，
，，
，
的最小值为，故⑤正确，
故答案为：①②④⑤．

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）计算：．
【分析】根据有理数的乘方，绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式

．
18．（6分）化简求值：，其中．
【分析】先对分子分母因式分解，再通分，将除法变为乘法，约分后代入求值即可．
【解答】解：原式



，
把代入．
19．（7分）“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
96

众数

98
方差
28.6
28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中　30　，　　，　　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？

【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；
（2）根据八年级的众数高于七年级，于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1），
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
；
在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多，
，
故答案为：30，96，93；

（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，
理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的众数高于七年级；

（3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是：（人，
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是540人．
20．（8分）某老年活动中心欲在一房前高的前墙上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为，遮阳篷与水平面的夹角为．如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长度（结果精确到．
（参考数据：，，；，，

【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得的长，然后再根据锐角三角函数，即可得到的长．
【解答】解：作交于点，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
，，
，
，
，，
，
解得，
，
，
，
即此遮阳篷的长度约为．

21．（8分）某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件恤衫的标价至少是多少元？
【分析】（1）设该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和元，根据所购数量是第一批购进量的2倍列出方程解答即可；
（2）设每件恤衫的标价至少是元，根据题意列出不等式解答即可．
【解答】（1）解：设该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和元，根据题意可得：
，
解得：，
经检验是方程的解，
，
答：该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是40元和44元；
（2）解：（件，
设每件恤衫的标价至少是元，根据题意可得：，
解得：，
答：每件恤衫的标价至少是80元．
22．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）在平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）求出点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）解方程组求出点的坐标，利用割补法求三角形的面积；
（3）有三种情形，画出图形可得结论．
【解答】解：（1）一次函数经过点，
，
，
，
反比例函数经过点，
，
反比例函数的解析式为；

（2）由题意，得，
解得或，
，
，
；

（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点的坐标为或或．

23．（8分）如图，在中，，点为边上一点，以为半径的与相切于点，分别交，边于点，．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．

【分析】（1）连接，证明，再利用等腰三角形的性质平行线的性质即可解决问题；
（2）连接，过点作于点，，推出，设，，则，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，再根据，构建方程求解即可．
【解答】（1）证明：连接．
是的切线，是半径，是切点，
，
，
，
，
，
，
，
平分；

（2）解：连接，过点作于点，
是直径，
，
，
，
设，，则，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为．

24．（11分）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，，延长交于点，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
【初步探究】
（1）如图2，当时，则　　；
（2）如图3，当点，重合时，请直接写出，，之间的数量关系：　　；
【深入探究】
（3）如图4，当点，不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图5，在与中，，若，为常数）．保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，连接，，延长交于点，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．


【分析】（1）由平行线的性质和等腰直角三角形的定义可得的值；
（2）先根据证明，得，最后由线段的和及等腰直角三角形斜边与直角边的关系可得结论；
（3）如图4，过点作交于点，证，得，，则为等腰直角三角形，，即可得出结论；
（4）先证，得，过点作交于点，再证，得，，然后由勾股定理求出，即可得出结论．
【解答】解：（1）是等腰直角三角形，
，
，
，即，
故答案为：；
（2），理由如下：
如图3，

和是等腰直角三角形，
，，，，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（3）如图4，当点，不重合时，（2）中的结论仍然成立，理由如下：

由（2）知，，
，
过点作交于点，
，，
，
，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
；
（4）．理由如下：
由（2）知，，
而，，
即，
，
，
过点作交于点，如图6所示：

由（3）知，，
，
，
，，
在中，，
．
25．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接，在该二次函数图象上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线为该二次函数图象的对称轴，交轴于点．若点为轴上方二次函数图象上一动点，过点作直线，分别交直线于点，，在点的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．


【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）分两种情况：当点在上方时，根据平行线的判定定理可得轴，可得；当点在下方时，设交轴于点，则，，利用勾股定理即可求得，得出，，再运用待定系数法求得直线的解析式为，通过联立方程组求解即可得出，；
（3）设，且，运用待定系数法求得：直线的解析式为，直线的解析式为，进而求出、的坐标，即可得出答案．
【解答】解：（1）抛物线经过点，，
，
解得：，
该二次函数的表达式为；
（2）存在，理由如下：
如图1，当点在上方时，
，
，即轴，
点与点关于抛物线对称轴对称，
，
抛物线对称轴为直线，
，
；
当点在下方时，设交轴于点，
则，，
，
，
在中，，
，
解得：，
，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，得，
解得：（舍去），，
，，
综上所述，点的坐标为或，；
（3）由（2）知：抛物线的对称轴为直线，
，
设，且，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
同理可得直线的解析式为，
当时，，
，
，，
，
故的值为定值．