2020年四川省达州市中考数学试卷

这是一份2020年四川省达州市中考数学试卷，共36页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2020•达州）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是（　　）
A．1.002×107 B．1.002×106
C．1002×104 D．1.002×102万
2．（3分）（2020•达州）下列各数中，比3大比4小的无理数是（　　）
A．3.14 B． C． D．
3．（3分）（2020•达州）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2020•达州）下列说法正确的是（　　）
A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查
B．确定事件一定会发生
C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98
D．数据6、5、8、7、2的中位数是6
5．（3分）（2020•达州）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（　　）

A．x2+3x+2 B．x2+2x+1 C．x2+4x+3 D．2x2+4x
6．（3分）（2020•达州）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（　　）

A．12（m﹣1） B．4m+8（ m﹣2） C．12（ m﹣2）+8 D．12m﹣16
7．（3分）（2020•达州）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）

A．10 B．89 C．165 D．294
8．（3分）（2020•达州）如图，在半径为5的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，使折叠后的恰好与OA、OB相切，则劣弧AB的长为（　　）

A．π B．π C．π D．π
9．（3分）（2020•达州）如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
10．（3分）（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2020•达州）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是　 　．
12．（3分）（2020•达州）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，则a+b＝　 　．

13．（3分）（2020•达州）小明为测量校园里一颗大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为　 　．（结果精确到lm．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）

14．（3分）（2020•达州）如图，点A、B在反比函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是　 　．

15．（3分）（2020•达州）已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝　 　．
16．（3分）（2020•达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是　 　；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1＝　 　，S1+S2+S3+…+S100的值为　 　．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）（2020•达州）计算：﹣22+（）﹣2+（π﹣）0+．
18．（7分）（2020•达州）求代数式（﹣x﹣1）÷的值，其中x＝+1．
19．（7分）（2020•达州）如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．

20．（7分）（2020•达州）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
a
B
90≤x＜95
8
C
85≤x＜90
5
D
80≤x＜85
4
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：a＝　 　，b＝　 　；
（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

21．（8分）（2020•达州）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．
（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；
（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．

22．（8分）（2020•达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：

原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
380
940
餐椅
a﹣140
160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
23．（8分）（2020•达州）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：
当BC＝6cm时，得表1：
BP/cm
…
1
2
3
4
5
…
CE/cm
…
0.83
1.33
1.50
1.33
0.83
…
当BC＝8cm时，得表2：
BP/cm
…
1
2
3
4
5
6
7
…
CE/cm
…
1.17
2.00
2.50
2.67
2.50
2.00
1.17
…
这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，　 　的长度为自变量，　 　的长度为因变量；
②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．

24．（10分）（2020•达州）（1）[阅读与证明]
如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．
①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝　 　°．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝　 　°．
②求证：BF＝AF+2FG．
（2）[类比与探究]
把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：
①∠FEG＝　 　°；
②线段BF、AF、FG之间存在数量关系　 　．
（3）[归纳与拓展]
如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为　 　．

25．（12分）（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ON的最小值．


2020年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2020•达州）人类与病毒的斗争是长期的，不能松懈．据中央电视台报道，截止北京时间2020年6月30日凌晨，全球新冠肺炎患者确诊病例达到1002万．1002万用科学记数法表示，正确的是（　　）
A．1.002×107 B．1.002×106
C．1002×104 D．1.002×102万
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：1002万用科学记数法表示为1.002×107，
故选：A．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）（2020•达州）下列各数中，比3大比4小的无理数是（　　）
A．3.14 B． C． D．
【分析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解．
【解答】解：3＝，4＝，
A、3.14是有理数，故此选项不合题意；
B、是有理数，故此选项不符合题意；
C、是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意；
D、比4大的无理数，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
3．（3分）（2020•达州）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：A、手的对面是勤，不符合题意；
B、手的对面是口，符合题意；
C、手的对面是罩，不符合题意；
D、手的对面是罩，不符合题意；
故选：B．
【点评】考查了正方体相对两个面上的文字的知识，解题的关键是将手确定为正面，然后确定其对面，难度不大．
4．（3分）（2020•达州）下列说法正确的是（　　）
A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用普查
B．确定事件一定会发生
C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98
D．数据6、5、8、7、2的中位数是6
【分析】根据抽样调查与普查的区别、确定性事件的概念、众数和中位数的定义逐一求解可得．
【解答】解：A．为了解全国中小学生的心理健康状况，应采用抽样调查，此选项错误；
B．确定事件一定会发生，或一定不会发生，此选项错误；
C．某校6位同学在新冠肺炎防疫知识竞赛中成绩分别为98、97、99、99、98、96，那么这组数据的众数为98和99，此选项错误；
D．数据6、5、8、7、2的中位数是6，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．抽样调查与普查的区别、众数和中位数的定义．
5．（3分）（2020•达州）图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，S主＝x2+3x，S左＝x2+x，则S俯＝（　　）

A．x2+3x+2 B．x2+2x+1 C．x2+4x+3 D．2x2+4x
【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【解答】解：∵S主＝x2+3x＝x（x+3），S左＝x2+x＝x（x+1），
∴俯视图的长为x+3，宽为x+1，
则俯视图的面积S俯＝（x+3）（x+1）＝x2+4x+3，
故选：C．
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
6．（3分）（2020•达州）如图，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（　　）

A．12（m﹣1） B．4m+8（ m﹣2） C．12（ m﹣2）+8 D．12m﹣16
【分析】正方体有12条棱，每条棱上的小球数为m，则有12m个小球，而每个顶点处的小球重复计算2次，则正方形边上的所有小球的个数为12m﹣8×2＝12m﹣16，再将各选项化简即可．
【解答】解：由题意得，当每条棱上的小球数为m时，正方体上的所有小球数为12m﹣8×2＝12m﹣16．
而12（m﹣1）＝12m﹣12≠12m﹣16，4m+8（ m﹣2）＝12m﹣16，12（ m﹣2）+8＝12m﹣16，
所以A选项表达错误，符合题意；
B、C、D选项表达正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
7．（3分）（2020•达州）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）

A．10 B．89 C．165 D．294
【分析】根据计数规则可知，从右边第为的计数单位为50，右边第2位的计数单位为51，右边第3位的计数单位为52，右边第4位的计数单位为53……依此类推，可求出结果．
【解答】解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，
故选：D．
【点评】本题考查用数字表示事件，理解“逢五进一”的计数规则是正确计算的前提．
8．（3分）（2020•达州）如图，在半径为5的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，使折叠后的恰好与OA、OB相切，则劣弧AB的长为（　　）

A．π B．π C．π D．π
【分析】作O点关于AB的对称点O′，连接O′A、O′B，如图，利用对称的性质得到OA＝OB＝O′A＝O′B，则可判断四边形OAO′B为菱形，再根据切线的性质得到O′A⊥OA，O′B⊥OB，则可判断四边形OAO′B为正方形，然后根据弧长公式求解．
【解答】解：如图，作O点关于AB的对称点O′，连接O′A、O′B，
∵OA＝OB＝O′A＝O′B，
∴四边形OAO′B为菱形，
∵折叠后的与OA、OB相切，
∴O′A⊥OA，O′B⊥OB，
∴四边形OAO′B为正方形，
∴∠AOB＝90°，
∴劣弧AB的长＝＝π．
故选：B．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了对称的性质和弧长公式．
9．（3分）（2020•达州）如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A、B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意和题目中给出的函数图象，可以得到函数y＝ax2+（b﹣k）x+c的大致图象，从而可以解答本题．
【解答】解：设y＝y2﹣y1，
∵y1＝kx，y2＝ax2+bx+c，
∴y＝ax2+（b﹣k）x+c，
由图象可知，在点A和点B之间，y＞0，在点A的左侧或点B的右侧，y＜0，
故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由矩形得EB＝ED＝EA，∠BAD为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判断①的正误；证明△AOF≌△ABD，便可判断②的正误；连接BF，由线段的垂直平分线得BF＝DF，由前面的三角形全等得AF＝AB，进而便可判断③的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得AG＝OG，进而求得∠AGE＝45°，由矩形性质得ED＝EA，进而得∠EAD＝22.5°，再得∠EAG＝90°，便可判断④的正误．
【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴EB＝ED，
∵BO＝DO，
∴OE平分∠BOD，
故①正确；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAD＝∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵OB＝OD，BE＝DE，
∴OE⊥BD，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠BOE＝∠BDA，
∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，
∴∠ADO＝45°，
∴AO＝AD，
∴△AOF≌△ABD（ASA），
∴OF＝BD，
故②正确；
③∵△AOF≌△ABD，
∴AF＝AB，
连接BF，如图1，

∴BF＝，
∵BE＝DE，OE⊥BD，
∴DF＝BF，
∴DF＝，
故③正确；
④根据题意作出图形，如图2，

∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，
∴AG＝OG，
∴∠AOG＝∠OAG，
∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，
∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，
∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，
∴∠EAG＝90°，
∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，
∴∠AEG＝45°，
∴AE＝AG，
∴△AEG为等腰直角三角形，
故④正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形，关键是熟记这些图形的性质．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2020•达州）2019年是中华人民共和国成立70周年，天安门广场举行了盛大的国庆阅兵式和群众游行活动．其中，群众游行队伍以“同心共筑中国梦”为主题，包含有“建国创业”“改革开放”“伟大复兴”三个部分，某同学要统计本班学生最喜欢哪个部分，制作扇形统计图．以下是打乱了的统计步骤：
①绘制扇形统计图
②收集三个部分本班学生喜欢的人数
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比
其中正确的统计顺序是　②③①　．
【分析】根据扇形统计图的制作步骤求解可得．
【解答】解：正确的统计顺序是：
②收集三个部分本班学生喜欢的人数；
③计算扇形统计图中三个部分所占的百分比；
①绘制扇形统计图；
故答案为：②③①．
【点评】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
12．（3分）（2020•达州）如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，则a+b＝　﹣5　．

【分析】利用轴对称的性质求出等Q的坐标即可．
【解答】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线1（y＝﹣1）对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5，
故答案为﹣5．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．（3分）（2020•达州）小明为测量校园里一颗大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°．若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为　11　．（结果精确到lm．参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28）

【分析】过点D作DE⊥AB，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出AE，进而求出AB即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意得，BC＝DE＝8，∠ADE＝52°，DE＝CD＝1
在Rt△ADE中，AD＝DE•tan∠ADE＝8×tan52°≈10.24，
∴AB＝AE+BE＝10.24+1≈11（米）
故答案为：11．

【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
14．（3分）（2020•达州）如图，点A、B在反比函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是　9　．

【分析】根据图象上点的坐标特征求得A、B的坐标，将三角形AOB的面积转化为梯形ABED的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可，
【解答】解：∵点A、B在反比函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，
∴A（4，3），B（2，6），
作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，
∴S△AOD＝S△BOE＝×12＝6，
∵S△OAB＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，
∴S△AOB＝（4+2）×（6﹣3）＝9，
故答案为9．

【点评】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是掌握y＝（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15．（3分）（2020•达州）已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝　1　．
【分析】由非负性可求a，b，c的值，由勾股定理的逆定理可证△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，由面积法可求△ABC的内切圆半径．
【解答】解：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，
∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（）2＝0，
∴c＝3，a＝4，b＝5，
∵32+42＝25＝52，
∴c2+a2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
设内切圆的半径为r，
根据题意，得S△ABC＝×3×4＝×3×r+×4×r+×r×5，
∴r＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，利用三角形面积公式求内切圆半径是本题的关键．
16．（3分）（2020•达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是　（﹣1，1）　；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1＝　　，S1+S2+S3+…+S100的值为　　．
【分析】变形解析式得到两条直线都经过点（﹣1，1），即可证出无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）；先求出y＝kx+k+1与x轴的交点和y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出Sk，求出S1＝×（1﹣）＝，S2＝×（ ），以此类推S100＝×（ ﹣），相加后得到 ×（1﹣）．
【解答】解：∵直线11：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，
∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）；
∵直线12：y＝（k+1）x+k+2＝k（x+1）+（x+1）+1＝（k+1）（x+1）+1，
∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）．
∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）．
∵直线11：y＝kx+k+1与x轴的交点为（﹣，0），
直线12：y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点为（﹣，0），
∴SK＝|﹣+|×1＝，
∴S1＝＝；
∴S1+S2+S3+…+S100＝[++…]
＝[（1﹣）+（）+…+（﹣）]
＝×（1﹣）
＝
＝．
故答案为（﹣1，1）；；．
【点评】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）
17．（5分）（2020•达州）计算：﹣22+（）﹣2+（π﹣）0+．
【分析】直接利用零指数幂的性质和立方根的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣4+9+1﹣5
＝1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（7分）（2020•达州）求代数式（﹣x﹣1）÷的值，其中x＝+1．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝）÷
＝•
＝﹣x（x﹣1）
当x＝+1时，
原式＝﹣（+1）（+1﹣1）
＝﹣（+1）×
＝﹣2﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19．（7分）（2020•达州）如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．

【分析】（1）根据要求，利用尺规作出图形即可．
（2）证明直线AE是⊙O的切线即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，⊙O，射线BM，直线DE即为所求．

（2）直线DE与⊙O相切，交点只有一个．
理由：∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴AE⊥OD，
∴直线AE是⊙O的切线，
∴⊙O与直线AE只有一个交点．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
20．（7分）（2020•达州）争创全国文明城市，从我做起．尚理中学在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，分数如下：
94 83 90 86 94 88 96 100 89 82
94 82 84 89 88 93 98 94 93 92
整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：
等级
成绩/分
频数
A
95≤x≤100
a
B
90≤x＜95
8
C
85≤x＜90
5
D
80≤x＜85
4
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：a＝　3　，b＝　40　；
（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数；
（3）已知A等级中有2名女生，现从A等级中随机抽取2名同学，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

【分析】（1）由四个等级的人数之和等于总人数可得a的值，利用百分比的概念可得b的值；
（2）用总人数乘以样本中A、B等级人数和所占比例即可得；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）由题意知a＝20﹣（8+5+4）＝3，b%＝×100%＝40%，即b＝40；
故答案为：3、40；
（2）估计该校1200名八年级学生中，达到优秀等级的人数为1200×＝660（人）；
（3）列表如下：

男
女
女
男

（男，女）
（男，女）
女
（男，女）

（女，女）
女
（男，女）
（女，女）

所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，
∴恰好抽到一男一女的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21．（8分）（2020•达州）如图，△ABC中，BC＝2AB，D、E分别是边BC、AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得△AFE．
（1）判断四边形ABDF的形状，并证明；
（2）已知AB＝3，AD+BF＝8，求四边形ABDF的面积S．

【分析】（1）结论：四边形ABDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
（2）设OA＝x，OB＝y，构建方程组求出2xy即可解决问题．
【解答】解：（1）结论：四边形ABDF是菱形．
∵CD＝DB，CE＝EA，
∴DE∥AB，AB＝2DE，
由旋转的性质可知，DE＝EF，
∴AB＝DF，AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵BC＝2AB，BD＝DC，
∴BA＝BD，
∴四边形ABDF是菱形．

（2）连接BF，AD交于点O．
∵四边形ABDF是菱形，
∴AD⊥BF，OB＝OF，AO＝OD，设OA＝x，OB＝y，
则有，
∴x+y＝4，
∴x2+2xy+y2＝16，
∴2xy＝7，
∴S菱形ABDF＝×BF×AD＝2xy＝7．

【点评】本题考查中心对称，三角形的面积，三角形的中位线定理，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（8分）（2020•达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：

原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
380
940
餐椅
a﹣140
160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据数量＝总价÷单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出a值；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，由餐桌和餐椅的总数量不超过200张，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润＝单件（单套）利润×销售数量，即可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得a＝260，
经检验，a＝260是原分式方程的解．
答：表中a的值为260．

（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，
根据题意得：x+5x+20≤200，
解得：x≤30．
设销售利润为y元，
根据题意得：y＝[940﹣260﹣4×（260﹣110）]×x+（380﹣260）×x+[160﹣（260﹣110）]×（5x+20﹣4×x）＝250x+1000，
∵k＝250＞0，
∴当x＝30时，y取最大值，最大值为：250×30+1000＝8500．
答：当购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是8500元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用一次函数的性质解决最值问题．
23．（8分）（2020•达州）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：
当BC＝6cm时，得表1：
BP/cm
…
1
2
3
4
5
…
CE/cm
…
0.83
1.33
1.50
1.33
0.83
…
当BC＝8cm时，得表2：
BP/cm
…
1
2
3
4
5
6
7
…
CE/cm
…
1.17
2.00
2.50
2.67
2.50
2.00
1.17
…
这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，　BP　的长度为自变量，　EC　的长度为因变量；
②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．

【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．
（2）①根据函数的定义判断即可．
②设BP＝xcm，CE＝ycm．利用相似三角形的性质构建二次函数，两条二次函数的性质求出y的最大值即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝90°，
∴∠APB+∠EPC＝90°，
∵∠EPC+∠PEC＝90°，
∴∠APB＝∠PEC，
∴△ABP∽△PCE．

（2）解：①根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP的长度为自变量，EC的长度为因变量，
故答案为：BP，EC．

②设BP＝xcm，CE＝ycm．
∵△ABP∽△PCE，
∴＝，
∴＝，
∴y＝﹣x2+mx＝﹣（x﹣m）2+，
∵﹣＜0，
∴x＝m时，y有最大值，
∵点E在线段CD上，CD＝2cm，
∴≤2，
∴m≤4，
∴0＜m≤4．

【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形梯形，二次函数最值等知识点，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决问题，属于中考常考题型．
24．（10分）（2020•达州）（1）[阅读与证明]
如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．
①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝　60　°．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝　30　°．
②求证：BF＝AF+2FG．
（2）[类比与探究]
把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：
①∠FEG＝　45　°；
②线段BF、AF、FG之间存在数量关系　BF＝AF+FG　．
（3）[归纳与拓展]
如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为　BF＝2AF•sinα+　．

【分析】（1）①利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理解决问题即可．
②如图1中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．证明△BCT≌△ACF（SAS）可得结论．
（2）①如图2中，利用圆周角定理解决问题即可．
②结论：BF＝AF+FG．如图2中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．证明△BCT∽△ACF，推出＝＝，推出BT＝CF可得结论．
（3）如图3中，连接CF，BC，在BF上取一点T，使得FT＝CF．构造相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】（1）①解：如图1中，∵点E是点C关于AM的对称点，
∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．
∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴AE＝AB，得∠3＝∠4．
在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，
∴∠1+∠3＝60°．
在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，
∴∠FEG＝30°．
故答案为60，30．

②证明：如图1中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．

∵C，E关于AM对称，
∴AM垂直平分线段EC，
∴FE＝FC，
∴∠FEC＝∠FCE＝30°，EF＝2FG，
∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝60°，
∵FC＝FT，
∴△CFT是等边三角形，
∴∠ACB＝∠FCT＝60°，CF＝CT＝FT，
∴∠BCT＝∠ACF，
∵CB＝CA，
∴△BCT≌△ACF（SAS），
∴BT＝AF，
∴BF＝BT+FT＝AF+EF＝AF+2FG．

（2）解：①如图2中，∵AB＝AC＝AE，
∴点A是△ECB的外接圆的圆心，
∴∠BEC＝∠BAC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FEG＝45°．
故答案为45．

②结论：BF＝AF+FG．
理由：如图2中，连接CF，在FB上取一点T，使得FT＝CF，连接CT．

∵AM⊥EC，CG＝CE，
∴FC＝EF，
∴∠FEC＝∠FCE＝45°，EF＝FG，
∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝90°，
∵CF＝CT，
∴△CFT是等腰直角三角形，
∴CT＝CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AC，
∴＝，
∵∠BCA＝∠TCF＝45°，
∴∠BCT＝∠ACF，
∴△BCT∽△ACF，
∴＝＝，
∴BT＝CF，
∴BF＝BT+TF＝AF+EAF+FG．．

（3）如图3中，连接CF，BC，在BF上取一点T，使得FT＝CF．

∵AB＝AC，∠BAC＝α，
∴＝sinα，
∴＝2•sinα，
∵AB＝AC＝AE，
∴∠BEC＝∠BAC＝α，EF＝，
∵FC＝FE，
∴∠FEC＝∠FCE＝α，
∴∠CFT＝∠FEC+∠FCE＝α，
同法可证，△BCT∽△ACF，
∴＝＝2•sinα，
∴BT＝2AF•sinα，
∴BF＝BT+FT＝2AF•sinα+EF．即BF＝2AF•sinα+．
故答案为：BF＝2AF•sinα+．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．（12分）（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+ON的最小值．

【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP解析式，EP''的解析式，联立方程组可求解；
（3）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，m2﹣m﹣2），则点F（m，m﹣2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝﹣（m﹣2）2+4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KN＝ON，可得MN+ON＝MN+KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+ON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣2），
设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），
∴﹣2＝﹣4a，
∴a＝，
∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣4）＝x2﹣x﹣2；
（2）如图，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线与点P，

∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABP是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y＝x，
联立方程组可得，
解得：或，
∴点P（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）；
当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，
∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，
∴S△ABP''＝S△ABO，
∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），
∴直线EP''解析式为y＝x﹣4，
联立方程组可得，
解得，
∴点P''（2，﹣3），
综上所述：点P坐标为（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）或（2，﹣3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，

设点M（m，m2﹣m﹣2），则点F（m，m﹣2），
∴MF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣（m﹣2）2+2，
∴△MAB的面积＝×4×[﹣（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2，﹣3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，

∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN＝ON，
∴MN+ON＝MN+KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y＝x，
当x＝2时，点Q（2，2），
∴QM＝2+3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM＝QM＝+，
∴MN+ON的最小值为+．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，垂线段最短等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/7/22 9:14:11；用户：时代卓锦初数；邮箱：sdzjsx@xyh.com；学号：37287009