【期中单元知识点归纳】（苏科版）2023-2024学年七年级数学上册 第二章 有理数 试卷（知识归纳+题型突破）

第二章 有理数（知识归纳+题型突破）

 1．理解有理数及其运算的意义，发展运算能力；了解无理数的概念，会判断无理数.
2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．
3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．

4．会用科学记数法表示较大的数，能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断，发展数感．

一、有理数与无理数

1．有理数的分类：

（1）按定义分类：                                    （2）按性质分类：

2．无理数：无限不循环小数叫做无理数．

诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式．

　 　 　 （2）目前常见的无理数有两种形式：①含类．②看似循环而实质不循环的数，

　 　 　 　  如：1．313113111……（相邻两个3之间1的个数逐渐增加）． 

3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．

诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．

（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．

4．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．

诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．

（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．

（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．

5．绝对值：

（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． 

（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．

二、有理数的运算

1、法则：

（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．

（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．

（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．

（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ．

  （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．

　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；

③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

诠释：“奇负偶正”口诀的应用：

（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，

－[+（－3）]=3．

（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．

（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ．

2．运算律：

（1）交换律: ①加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba；

（2）结合律: ①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；  ②乘法结合律：（ab）c=a(bc)

（3）分配律：a(b+c)=ab+ac

三、有理数的大小比较

比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．

四、科学记数法

把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．

题型一 正负数的意义

【例1】如果向东走千米记为千米，那么千米表示的是（      ）

A．向东走了千米 B．向西走了千米 C．向南走了千米 D．向北走了千米

【例2】一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负，向右为正．向右运动记作，则向左运动，记作      ．

巩固训练：

1、下列各数： ，， ， ， ， ，，，其中是负数的有（　　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．如果“盈利”记作，那么表示（    ）

A．盈利  B．亏损  C．少赚  D．亏损

题型二 数的分类

【例3】在实数，（相邻两个 1 之间的 0 依次增加 1 个），， ， 中，无理数有（   ）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

【例4】在这几个数中，是非负数的有（　　）

A．个 B．个 C．个 D．个

【例5】把下列各数填入表示它所在的数集的括号里：

，3， ，0， 0.02，，，，，2020．

正数集：                            ；

负数集：                            ；

非负整数集：                            ；

正分数集：                            ；

有理数集：                            ．

巩固训练：

3．把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，，．

(1)正数集合：．

(2)整数集合：．

(3)分数集合：．

4．把下列各数填入相应的集合中：

，，，，，，，，，，（每相邻两个之间的个数逐次加1）．

正分数集合：______；

正整数集合：______；

整数集合：______；

有理数集合：______．

5．将下列各数填在相应的横线上．

，，，，，，，，．

(1)整数：________________________________________；

(2)负数：________________________________________；

(3)正分数：______________________________________；

(4)正有理数：____________________________________；

(5)非正整数：____________________________________；

(6)非负数：______________________________________．

题型三 数轴的定义和特点

【例6】下列说法正确的是（    ）

A．在数轴上与原点的距离越远的点表示的数越大 B．在数轴上与之间的有理数为

C．任何一个有理数都可以在数轴上表示出来 D．的绝对值等于

【例7】下列四个选项中，所画数轴正确的是（  ）

A．   B．  

C．   D．  

【例8】下面图形是数轴的是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

巩固训练：

6．下列表示数轴的图形中，正确的是（  ）

A．B．

C．D．

7．如图，在数轴上表示的点是（    ）．

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点

8．在数轴上，点，关于原点对称．若点对应的数为5，则点对应的数是（    ）

A． B．10 C．0 D．5

题型四 绝对值的定义与性质

【例9】绝对值最小的有理数是（    ）

A．1 B． C．0 D．没有

【例10】，则的值是（    ）

A． B． C． D．1

巩固训练：

9．若，则     ，     ．

10．      ．

11．对于任意有理数，下列结论正确的是（　　）

A．是正数 B．是负数 C．是负数 D．不是正数

题型五 相反数以及化简多重符号

【例11】的相反数等于（    ）

A． B． C．2 D．

【例12】的相反数是（    ）

A． B． C． D．

【例13】下列几组数中，不相等的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

巩固训练：

12．的相反数是（    ）

A． B．2023 C． D．

13．比较大小：            ．（用“>”或“<”填空）

14．化简符号：            ．

题型六 根据数轴比较有理数大小a

【例14】在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“<”将这些数连接起来：

，，，．

【例15】把下列各数表示在数轴上，并用“”连接．

，，，，．

巩固训练：

15．将下列各数在数轴上表示出来，并按照从小到大的顺序排列．

，， ，，．

16．将有理数，，，用“”连接，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

题型七 绝对值化简

【例16】已知、、在数轴上的位置如图所示，用不等号填空：

(1) ；

(2) ；

(3)　　　；

(4)　　　；

(5)  ；

(6) ．

【例17】有理数在数轴上的位置如图所示，

化简：

巩固训练：

17．若有理数、、数轴上的位置如图所示，化简：      ．

18．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简       ．

题型八 有理数的加减法以及实际应用

【例18】写成省略加号的和的形式后为的式子是（    ）

A． B．

C． D．

【例19】计算：      ．

【例20】计算：

(1)；

(2)．

【例21】某人用元购买了套儿童服装，准备以一定价格出售，如果每套儿童服装以元的价格作为标准卖出，超出的记为正数，不足的记为负数，记录如下：，，，，，，，．

(1)当他卖完这种套儿童服装后共卖了多少钱？

(2)是盈利还是亏损了多少元？

巩固训练：

19．计算的结果是（    ）

A．4 B．8 C． D．

20．计算的结果等于（    ）

A．6 B． C．12 D．

21．计算：．

22．计算：．

23．某辆出租车一天下午以公园为出发地在东西方向行驶，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里）依先后次序记录如下：、、、、、、、、、、

(1)将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公园的什么方向?离公园多远?

(2)若出租车每公里耗油量为0.1升，则这辆出租车这天下午耗油多少升?

(3)规定出租车的收费标准是4公里内付7元，超过4公里的部分每公里加付1元（不足1公里按1公里算），那么该出租车司机在前四位客人中共收了多少钱?

24．某检测小组乘汽车检修供电线路，约定向东方向出发为正，向西方向出发为负，某天检测小组自地出发到收工时，行驶情况单位：为：，，，，，，，，，，

(1)收工时车辆停在何处？

(2)若每千米耗油升，从地出发到收工共耗油多少升？

题型八 有理数的乘法

【例22】计算：        ．

【例23】从数，0，，4，1中任取两个数相乘，其最小的积是           ．

【例24】用简便算法计算：

巩固训练：

25．下列运算结果为负数的是（    ）

A． B． C． D．

26．计算：（    ）

A．20 B． C． D．9

27．计算的结果等于（   ）

A．7 B． C．6 D．

题型九 倒数与除法

【例25】有理数的倒数是（    ）

A． B． C． D．

【例26】已知，则a，，，的大小关系为（　　）

A． B．

C． D．

【例27】的倒数是（    ）

A． B． C． D．

【例28】与结果相同的是（   ）

A． B．

C． D．

巩固训练：

28．的倒数是（    ）

A． B． C． D．

29．计算：           ．

30．计算       ．

题型十 科学计数法

【例29】国家智慧教育平台于年月日上线，截至年月，已在基础教育平台提供资源万，在职业教育平台上线个教育资源库、门在线精品课，在高等教育平台上线课程万门，其中数据万用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

【例30】2020年永州约为2100亿元，数据2100亿用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

【例31】“一方有难，八方支援”是中华民族的优秀传统，在2008年5月汶川大地震后，全国各界纷纷捐款捐物．某企业捐款9840万元人民币，数9840万用科学记数法表示为（　　）

A． B． C． D．

巩固训练：

31．2023年春节由张艺谋导演的《满江红》获得春节档最高电影票房的收入．这个数字用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

32．世界上最长的跨海大桥是港珠澳大桥，这座大桥集跨海大桥、人工岛、海底隧道于一身，全长约55000米．其中55000用科学记数法可表示为（    ）

A． B． C． D．

33．今年“五一”假期，全省级景区接待游客人次，数用科学记数法表示是      ．

34．“梨花风起正清明，游子寻春半出城”，不少市民朋友在今年清明节离开都市，选择郊游踏青、亲近自然，享受春意盎然的乐趣．据相关部门发布的数据，今年清明节当天全省高速流量高达约次，将这个数用科学记数法表示为           ．

题型十一  乘方

【例32】等于（   ）

A． B． C． D．

【例33】下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　）

A．与 B．与

C．与 D．与

【例34】若，则的值为    ；

【例35】观察下列等式：，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是（    ）

A．2 B．4 C．8 D．6

巩固训练：

35．计算的结果等于（    ）

A． B． C． D．

36．计算：          ，          ．

37．计算：（    ）

A． B．1 C．0 D．2023

38．在计算时，结果可表示为（   ）

A． B． C． D．

题型十二 加减乘除乘方混合

【例36】计算：．

【例37】（1）；

（2）．

【例38】

【例39】计算：

【例40】计算：

(1)；

(2)．

巩固训练：

39．计算：

40．计算：

(1)；

(2)；

(3)．

41．计算

(1)；

(2)

42．计算：

(1)

(2)