奥数五年级下册 第9讲：长方体与正方体的体积 教案

（ 五年级 ）                                         备课教员：***

第九讲    长方体与正方体的体积

一、教学目标：

知识目标

1. 知道长方体、正方体体积公式的推导过程。

2. 学会解决实际生活中有关长方体和正方体体积

   的计算问题。

能力目标

1. 经历长方体、正方体体积计算公式的探究过程。

2. 通过实验操作、讨论归纳等活动发展学生的空

   间观念。

情感目标

在活动中使学生感受数学与实际生活的密切联系，体验学数学、用数学的乐趣，从而激发学生的学习兴趣。

二、教学重点：

正确、熟练地运用长方体和正方体的体积公式。

三、教学难点：

理解体积公式，正确计算长方体与正方体的体积。

四、教学准备：

PPT、1立方厘米的小正方体木块若干

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

【设计意图：通过学生自己动手操作，理解体积的概念，了解长方体与正方体的体积计算公式。】

师：同学们，大家已经认识了体积和体积单位。现在请大家看屏幕上的这个长

方体，（出示PPT）它是用1立方厘米的小正方体木块摆成的，你们能数出

它的体积吗？

生：……

师：是的，我们换一种方法试试看。大家看，一行有几个木块？

生：……

师：有几行呢？

生：……

师：大家用每行的个数乘行数，得出是多少？

生：……

师：那么一共有几层呢？大家再用刚刚求出的积乘层数，看看得出的是多少？

生：……

师：是的，与我们刚刚数出来的答案是一样的。现在四个人为一组，大家手上

都有正方体小木块，自己动手摆出一个长5厘米，宽3厘米，高4厘米的

长方体，然后告诉老师它的体积是多少。

生：……

师：你是怎么求出它的体积的？

生1：数出了的。

生2：用长乘宽乘高。

师：是的，这就是我们刚才用每行的个数×行数×层数求出的结果。那么同学

    们再来做一做这个练习，求出它们的体积。（PPT出示题目）

生：……

师：大家仔细观察一下刚刚小正方体的数量与长、宽、高有什么关系？

生：……

师：每行的个数就是长，行数就是宽，层数就是高。长方体的体积=长×宽×高。

   （PPT上出示图示）或者我们用a表示长，b表示宽，h表示高，V表示长方

   体的体积，那么也可以表示为V=a×b×h（或V=abh）。

【探究新知，引入新课：学生们已经学过了体积及体积单位，对体积的知识有一定的了解，这节课将深入地学习求长方体和正方体的体积及体积的应用。】

【板书课题：长方体与正方体的体积】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（10分）

  从长为15厘米，宽为12厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为3厘米的正方形，然后沿线折叠成长方体容器，这个容器的体积是多少立方厘米？

讲解重点：知道长方体的高就是被剪去的正方形的边长，长就是长方形的长剪

          去2个正方形的边长的差，宽也是长方形的宽剪去2个正方形的边

          长的差。

（请一位学生读题）

师：同学们能从题中找出什么已知条件？

生：一块长方形的硬纸板的四角被剪去了边长为3厘米的正方形。

师：是的。那么减掉之后的纸板能拼成一个什么图形呢？

生：一个长方体。

师：是完整的长方体吗？

生：不是，没有盖的。

师：问题是让我们求什么呢？

生：求容器的体积。

师：那么长方体的体积公式是什么？

生：长×宽×高

师：你知道这个长方体的长、宽、高吗？

生：长是15-2×3=9（厘米），宽是12-2×3=6（厘米），高是……

师：大家开动自己的大脑，找找看，哪条边是纸板折叠后长方体的高呢？

生：小正方形的边长。

师：是的。我们将它折叠之后，会发现，剪下正方形的那条短边就是长方体的

    高，那么高是多少呢？

生：3厘米。

师：好。那么请一位同学将求这个长方体体积的过程板书出来，其他同学在草

    稿纸上做。

生：

板书：

（15-2×3）×（12-2×3）×3=162（立方厘米）

答：这个容器的体积是162立方厘米。

练习1：（5分）

   有一块正方形铁皮，如图所示，从四个顶点各剪下一个边长为3.5分米的正方形后，所剩部分正好焊接成一个无盖的长方体铁盒（铁皮厚度忽略不计），这个铁皮盒的体积是多少立方分米？

分析：

    找出这个长方体铁盒的长、宽、高，长、宽为正方形边长减去2个正方形后剩下的长度，高为剪下的小正方形的边长。

板书：

     （11-3.5×2）×（11-3.5×2）×3.5=56（立方分米）

答：这个铁皮盒的体积是56立方分米。

（二）例题2：（10分）

 一个长方体的鱼缸，长8分米，宽4.5分米，高6分米，已知每立方分米水重1千克，这个鱼缸最多能装多少千克水？

讲解重点：熟练运用体积公式解决问题，知道从题中找出已知条件求体积。

（请一位学生读题）

师：你知道题目是要求什么吗？

生：这个鱼缸最多能装多少千克水。

师：已知每立方分米的水重1千克，那么要求出能装的水的重量，我们要先求

    出什么呢？

生：鱼缸的体积。

师：如何求鱼缸的体积呢？

生：用长方体体积公式，求出体积为8×4.5×6=216（立方分米）

师：求出体积之后呢？

生：216×1=216（千克），求出总的能装水的重量。

师：非常好，同学们做一做练习1。

板书：

8×4.5×6×1=216（千克）

答：这个鱼缸最多能装216千克水。

练习2：（5分）

    一个长方体铁块，长10分米，宽5分米，高4分米，每立方分米铁块重7.8千克，这个铁块重多少千克？ 

分析：

    求出铁块的体积，然后乘每立方分米铁块的重量，求出总重量。

板书：

10×5×4=200（立方分米）

7.8×200=1560（千克）

答：这个铁块重1560千克。

三、小结：（5分）

长方体的体积=长×宽×高（或V=a×b×h）

正方体的长、宽、高都相等，体积=棱长×棱长×棱长（或V=a×a×a）。

第二课时（50分）

一、导入（3分）

【设计意图：通过设置悬念，尝试解决、交流讨论，发现长方体与正方体之间有一个共同的求体积公式，即底面积×高。】

师：同学们，你们会做这道题吗？（出示PPT）

生：……

师：已知底面积为12平方厘米，高为5厘米，我们学的都是长、宽、高，该怎

    么办呢？

生：……

师：我们来仔细分析题目，同学们想想，底面积是什么意思呢？

生：……

师：是的，就是指长方体底下的面。那么长方体底下这个面的面积是怎么求呢？

生：……

师：是的，那么其实我们求长方体的体积只需要用底面积乘高即可求出（板书：

长方体=底面积×高）。我们可以用字母s表示底面积，h表示高，体积用

V表示，那么可以将这个公式写成V=sh。这个公式对正方体同样适用。同

学们课后再去思考思考。

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（10分）

在一个棱长为13分米的正方体的前后、左右、上下各个面的中心位置各挖去一个棱长为3分米的正方体后，现在这个物体的体积是多少？

讲解重点：这个物体的体积等于大正方体体积减去6个小正方体的体积。

（请一位学生读题）

师：这个物体看着复杂吗？

生：……

师：大家不要被吓到，我们来看这个物体，从正方体的前后、左右、上下各个

    面的中心位置各挖去一个小正方体，一共挖掉几个正方体？

生：6个。

师：大正方体被挖掉6个小正方体之后的，大正方体的体积少了多少呢？

生：少了6个小正方体的体积。

师：是的，那么该怎么求它的体积呢？

生：用大正方体的体积减去6个小正方体的体积。

师：嗯，那么请一位同学来板书，其他同学做在草稿纸上，做完之后对照一下

    自己做的和黑板上的，有不同意见的可以提出来。

生：

板书：

13×13×13=2197（立方分米）

3×3×3×6=162（立方分米）

2197-162=2035（立方分米）

答：现在这个物体的体积是2035立方分米。

师：我们这一题挖去的几个小正方体是没有挖去共同部分的，如果挖去的正方

体的棱长的2倍大于大正方体的棱长，我们要重新考虑。同学们以后做题

的时候自己要留心。

练习3：（5分）

在一个长为9厘米、宽为7厘米、高为6厘米的长方体上面挖去一个棱长为5厘米的正方体后，剩下这个物体的体积是多少？

分析：

    用长方体的体积减去被挖去的正方体的体积，即剩下物体的体积。

板书：

9×7×6-5×5×5=253（立方厘米）

答：剩下这个物体的体积是253立方厘米。

（二）例题4：（12分）

 有一只长方体纸箱，底面是边长为60厘米的正方形，高80厘米，要装棱长是2分米的正方体纸盒。这只纸箱最多可以装这样的纸盒多少个？                                

讲解重点：长方体的棱长都是正方体棱长的整倍数，那么长方体纸箱能装满正

          方体纸盒。如果不是整倍数，要减去一定数量，使其变成整倍数。

（请一位学生读题）

师：读完题目之后，你知道题目让我们求什么吗？

生：……

师：往纸箱内装纸盒，是纸盒的体积占位置，纸盒多大，就要占多大的纸箱的

位置。题中已经告诉我们长方体纸箱和正方体纸盒的棱长，同学仔细观察

长方体的棱长与正方体的棱长，看看它们有什么关系？

生：长方体棱长都是正方体棱长的倍数。

师：是的，那么纸箱正好被纸盒装满。该怎么求装的纸盒的个数呢？

生：……

师：请一位同学说说你的解题思路，其他同学有不同意见的可以提出来。

板书：

    2分米=20厘米

60×60×80÷（20×20×20）=36（个）

答：这只纸箱最多可以装这样的纸盒36个。 

练习4：（5分）

    有一个长、宽、高分别是12分米、7分米、6分米的长方体盒子，在它里面摆棱长为2分米的小正方体，最多能放几个这样的小正方体？（盒子的厚度忽略不计）

分析：

    长方体的宽不是正方体棱长的倍数，因此要将7分米减1变成正方体棱长的倍数，然后用宽减1后的长方体的体积除以正方体的体积求出能装的个数。剩下的（12×1×6）立方分米的这部分空间无法放下正方体，因此舍去。

板书：

12×（7-1）×6÷（2×2×2）=54（个）

答：最多能放54个这样的小正方体。

例题5：（选讲）

有两个长方体水缸，甲水缸长6分米，宽5分米，高7分米；乙水缸长4分米，宽3分米，高5分米。两个水缸内的水高分别是6分米和2.5分米，甲倒一些水给乙，使两缸的水一样高，求水现在水的高度。                                  

讲解重点：根据两水缸底面积的倍数关系，得出倒入水高度变化的倍数关系。

（请一位学生读题）

师：你从题中能得出哪些信息？

生：甲水缸长6分米，宽5分米，高7分米，水深6分米；乙水缸长4分米，

    宽3分米，高5分米，水深2.5分米。

师：那么让我们求什么呢？

生：甲倒一些水给乙后，使两水缸的水一样高，求现在水的高度。

师：问题看起来很难，但其实没那么复杂，我们慢慢分析。同学们能求出两个

    水缸的底面积吗？

生：甲水缸的底面积：6×5=30（平方分米）；乙水缸底面积：4×3=12（平方

    分米）。

师：那么甲水缸的底面积是乙水缸底面积的几倍呢?

生：30÷12=2.5，是2.5倍。

师：甲水缸的底面积是乙水缸底面积的2.5倍，如果两个水缸的水高相等，那

    么甲水缸中水的体积是乙水缸中的几倍？

生：2.5倍。

师：是的。我们将两个水缸中的水放到一起，那么水的总体积是多少？

生：6×5×6+4×3×2.5=210（立方分米）

师：现在我们将这些水分别倒入两个水缸中，水的总体积是210立方分米，甲

水缸中的水是乙水缸中的2.5倍。题目就变成了和倍问题。那么同学们自

己尝试将答案求出来。

生：

板书：

6×5=30（平方分米）

4×3=12（平方分米）

30÷12=2.5

6×5×6+4×3×2.5=210（立方分米）

210÷（1+2.5）=60（立方分米）

60÷12=5（分米）

答：现在水高5分米。

师：做这一类问题，我们要仔细分析数量之间的关系，找出解题的突破口。

练习5：（选做）

一堆黄土如图所示，已知A的面积是25平方米，B的面积是15平方米，h是A比B处高的4米，现把A处的土推向B处，使两处一样高。A处下降了多少？

分析：

    找出A、B两部分土堆的底面积之间的倍数关系，和就是A比B多出来的那堆土，将问题转化为和倍问题来做。

板书：

15÷25=0.6

4×25÷（1+0.6）=62.5（立方米）

4-62.5÷25=1.5（米）

答：A处下降了1.5米。

三、总结：（5分）

    长方体的体积=长×宽×高       

正方体的体积=棱长×棱长×棱长

长方体、正方体体积=底面积×高

容积：是指容器所能容纳物体的体积。

容积单位：1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米

四、随堂练习：

1. 从长为11厘米，宽为7厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正

   方形，然后沿线段折叠成长方体容器，这个容器的体积是多少立方厘米？

板书：

     （11-2×2）×（7-2×2）×2

      =7×3×2

      =42（立方厘米）
答：这个容器的体积是42立方厘米。

2. 一个长方体形状的水池，长50米，宽35米，池内原来水深20分米。如果

   用水泵向外排水，每分钟排水2.5立方米，24小时内能把池中的水排完吗？

板书：

     50×35×20÷10=3500（立方米）

     2.5×60×24=3600（立方米）

     3600立方米＞3500立方米

答：24小时能把池中的水排完。

3. 一个零件的形状如图所示，求它的体积。（单位：厘米）                                                  

板书：

       10×9×4-2×3×9=360-54=306（立方厘米）

答：它的体积是306立方厘米。

4. 有一个长、宽、高分别是40厘米、24厘米、20厘米的长方体木块，最多能

   锯成多少个棱长为4厘米的正方体小木块？

板书：

      40÷4=10（个） 24÷4=6（个） 20÷4=5（个）

      10×6×5=300（个）

答：最多能锯成300个。

5. 一个长方体水箱，长为80厘米，宽为40厘米，高为60厘米，箱内水面离

   箱口9厘米。箱内共有多少升水？如果把这些水倒进另一个底面是正方形的

   长方体水箱内，底面边长是40厘米。要使两个水箱的水面一样高，水高是

   多少厘米？

板书：
     80×40×（60-9）=163200（立方厘米）=163.2（升）

     底面积：80×40=3200（平方厘米） 40×40=1600（平方厘米）

     3200÷1600=2

     高相等，长方体水箱内水的体积是正方体水箱内的2倍

     163200÷（1+2）÷1600=34（厘米）

答：箱内共有163.2升水。水高是34厘米。