鲁教版 (五四制)七年级上册2 一次函数教案

§6.2  一次函数

一．教学目标

(一)教学知识点

1.理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系.

2.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.

(二)能力训练要求

1.经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力.

2.通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力.

(三)情感与价值观要求

1.通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数学思维.

2.经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力.

二．教学重点

1.一次函数、正比例函数的概念.

2.一次函数、正比例函数的关系.

3.会根据已知信息写出一次函数的表达式.

三．教学难点

一次函数知识的运用.

四．教学方法

老师引导学生自学法.

五．教具准备

投影片三张：

第一张：补充练习(记作§6.2 A)；

第二张：补充练习(记作§6.2 B)；

第三张：补充练习(记作§6.2 C).

六．教学过程

Ⅰ.创设问题情境，导入新课

［师］在上节课我们已学习过函数的概念，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数(fanction)，其中x是自变量，y是因变量.在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题.大家能不能举一些例子呢？

［生］假设某人骑自行车的速度为10公里/时，则他骑自行车用的时间t(小时)和所走过的路程S之间的关系为S=10t,这就是一个函数关系式，t是自变量，y是因变量，y是t的函数.

［生］上网的费用为2元/时，则上网t小时，费用y是y=2t，这也是一个函数关系式，t是自变量，y是t的函数.

［生］李明有20元钱，他要买2个笔记本，设每个笔记本为x元( x＜10),则所剩的钱y与x之间的关系为y=20－2x,这也是一个函数关系式，其中x是自变量，y是x的函数.

［师］非常好，可见大家对函数的概念已理解了，并且大家能把身边的事和函数联系在一起，这确实是相当不错的，学习的目的就是要把所学知识运用于实际生活中，所以大家就应把生活中的问题联系到所学知识中.在以后的学习中大家还要继续发扬下去.

刚才三位同学举出了三个函数关系式，即s=10t;y=2t;y=20－2x这三个关系式一样吗？本节课就来研究此问题。

Ⅱ.讲授新课

［师］有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系.究竟有什么样的关系，请看：

一、试一试

某弹簧的自然长度为3厘米.在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克、弹簧长度y增加0.5厘米.

(1)计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度，并填入下表：

(2)你能写出x与y之间的关系式吗？

［生］(1)计算如下：

(2)当不挂物体时，弹簧长度为3厘米，当挂1千克物体时，增加0.5厘米，总长度为3.5厘米，当增加1千克物体，即所挂物体为2千克时，弹簧又增加0.5厘米，总共增加1厘米，由此可见，所挂物体每增加1千克，弹簧就伸长0.5厘米，所挂物体为x千克，弹簧就伸长0.5x厘米，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即y=3+0.5x.

［师］这位同学不仅做的对，而且分析得非常好.

二、做一做

某辆汽车油箱中原有汽油60升，汽车每行驶50千米耗油6升.

(1)完成下表：

(2)你能写出x与y之间的关系吗？

(3)你能写出邮箱剩余油量z与x之间的关系式吗？

［生］解：(1)表格中依次填0升，6升，12升，18升，24升，36升.

(2) y=0.12x

(3)因为剩余油量等于原有汽油减去耗去的油，每行驶50千米耗油6升，当行驶x千米时，耗油应为×6升，所以y=60－0.12x.

三、一次函数，正比例函数的概念.

［师］上面的两个函数关系式为y=3+0.5x,y=60－0.12x,大家讨论一下，这两个函数关系式有什么关系吗？

［生］左边是因变量y,右边是含自变量的代数式.

［生］自变量和因变量的指数都是一次.

［师］请大家从形式上加以考虑.

［生］形式为y=kx+b,k,b为常数.

［师］若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(linear function)(x为自变量，y为因变量).特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.

四、例题讲解

［例1］写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断，y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？

(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系；

(2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系；

(3)一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y(厘米).

［师］这个例题主要是要考查大家对正比例函数和一次函数的概念的理解.请大家根据自己的理解回答问题.

［生］解：(1)由路程=速度×时间，得y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数；

(2)由圆的面积公式，得y=πx2,y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.

(3)这棵树每月长高2厘米，x个月长高了2x厘米，因而y=50+2x,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.

［例2］我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……
(1)当月收入大于3500元而小于5000元时，写出应缴所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式。
(2)某人月收入4160元，应缴纳所得税多少元？
(3)如某人本月缴所得税19.2元，则此人本月工资、薪金是多少元？
［师］分析，所缴税等于应缴税的工资部分乘以3%，即(x－3500)×3%;当月收入为4160元时，应缴税为(4160－3500)×3%；如果已知缴税19.2元，首先应判断应缴税的工资是否在范围之内，即是否在3500~5000之间，如果是则可用(1)中的方法求解；若不在这个范围之内，税率将不全是3%，在3500~5000之间的按3%计算，超过3500的另按税率计算.

解：(1)当月收入大于3500元而小于5000元时，

y=0.03×(x－3500);

(2)当x=4160时，

y=0.03×(4160－800)=19.8(元)；

(3)当x=5000时，

y=0.03×(5000－3500)=45(元)

∵45＞19.2

∴此人本月工资少于5000元.

设此人本月工资是x元，则

0.03×(x－3500)=19.2

∴x=4140

即此人本月工资薪金是4140元.

Ⅲ.课堂练习

(一)随堂练习

1.解：y=5x

y是x的一次函数，也是x的正比例函数.

2.解：y=100+8x

y是x的一次函数.

(二)补充练习

投影片(§6.2 A)

［生］解：y=2x是一次函数，也是正比例函数.

y=－3x+1是一次函数.

投影片(§6.2 B)

［生］

∵8+0.4=8×1+0.4×1

16+0.8=8×2+0.4×2

24+1.2=8×3+0.4×3

32+1.6=8×4+0.4×4……

∴y=8x+0.4x=8.4x

当x=2.5时

y=8.4×2.5=21(元)

投影片(§6.2 C)

［生］解：(1)每月用水量不超过6米3时，

y=0.6x,y是x的一次函数，也是正比例函数；

每月用水量超过6米3时.

y=x－2.4.

y是x的一次函数.

(2)y=8－2.4=5.6(元)

答：该用户5月份的水费为5.6元.

Ⅳ.课时小节

本节课学习了如下内容：

1.一次函数、正比例函数的概念，以及它们之间的关系，正比例函数是一次函数的特殊情况.正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数.

2.会根据已知信息写出一次函数的表达式.

Ⅴ.课后作业

习题6.2

Ⅵ.活动与探究

某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，每通话1分交费0.4元；B类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分收费0.6元，完成下列各题.

(1)写出每月应缴费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系式；

(2)若每月通话时间为300分，你选择哪类收费方式？

(3)每月通话时间多长时，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等？

(4)你选择哪类收费标准？

解：(1)A类收费的关系式为：y1=50+0.4x;

B类收费方式的关系式为:y2=0.6x;

(2)当x=300分时，

y1=50+0.4×300=170(元)

y2=0.6×300=180(元)

所以每月通话时间为300分时，应选择A类收费方式.

(3)当y1=y2,即50+0.4x=0.6x时，

∴x=250(分)时，两类收费方式所缴话费相等.

(4)∵y1=50+0.4x,y2=0.6x

当y1＜y2,即50+0.4x＜0.6x,x＞250时，选择A类收费方式；

当y1=y2,即50+0.4x=0.6x,x=250时，选择A、B两类收费方式都可以；

当y1＞y2,即50+0.4x＞0.6x,x＜250时，选择B类收费方式.

七．板书设计