奥数六年级上册 第15讲：抽屉原理 教案

（ 六年级 ）                                         备课教员：××× 

第十五讲    抽屉原理

一、教学目标：

1. 熟悉抽屉原理，灵活利用所学知识解决问题。

2. 培养学生的逻辑推理思维和能力。

3. 经历探究抽屉原理的过程，提高学生对解决数学问题的能

   力和兴趣，感受数学的魅力。

二、教学重点：

掌握抽屉原理的两个“原理”，利用“最不利原则“解决问题。

三、教学难点：

找到抽屉原理中的“抽屉”。

四、教学准备：

ppt

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（7分)

师：同学们，老师想和大家玩个游戏，你们想要玩吗？

生：想。

师：这个游戏的内容是——老师说一句话，看老师说得准不准，好不好？

生：好。

师：老师认为，你们之中一定有2个人在同一个月过生日（视学生人数而定）！

    你们信不信？

生：不信。

师：好，那老师先和大家打个赌，如果老师赢了，你们要给老师一个降龙十巴

掌；如果老师输了，就给大家每人两个大拇指（视具体情况而定）。好不

好？

生：好。

师：那我们就来说一下，自己是在哪个月过生日的？

（根据学生人数而定）

生：……

师：好，大家给老师降龙十巴掌吧。

师：你们想知道老师为什么猜得这么准吗？

生：想。

师：想的话，要好好听今天的课哦，今天上课的内容就是抽屉原理。

【板书课题：抽屉原理】

师：同学们知道什么是抽屉原理吗？

生：……

师：有的同学之前学过，已经知道了，有的同学还没有学过，还不知道。那么

没关系，只要你认真学今天的内容，都能学得很好。首先我们要来知道什

么是抽屉原理。知道的同学可以说一下吗？

生：把几个苹果放到抽屉里，有一个抽屉一定有多个苹果。

师：嗯，说得很棒，但还不够准确。应该是，如果有10个苹果，把10个苹果

放到9个抽屉里面，一定有一个抽屉至少有2个苹果。想知道为什么吗？

生：想！

师：好，那就让我们在实战中来慢慢掌握吧。

【出示例题一】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（13分）

    一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日，为什么？

师：大家发现没有，刚才我们已经玩的游戏，其实和这个题目是一样的？

生：发现了。

师：为什么呢？

生：……

师：其实我们可以从最不利于事实的情况去考虑，也就是尽量不让有一个月过

生日的同学最少，最好都不要超过2个。那么我们就要尽量让所有的同学

分散在不同的月过生日，对吗？

生：对。

师：那好，现在有13名同学，要尽量分散开，也就是，12个月每个月都有一名

同学过生日。也就需要12名同学，可是这个小组有13名同学，多出来的

一个同学怎么办呢？

生：和其他一个同学在一个月过生日。

师：没错，所以每个月都不超过2人过生日的情况是不可能发生的，对吗？

生：对。

师：遇到这一类的题目我们就要从最不利的情况来考虑。

板书：

答：假设12个月都有1名同学过生日，则多出来的1名同学一定与另1名同学

在同一个月过生日。

练习1：（6分）

在367个1996年出生的儿童中，至少有多少个人是同一天出生的？

分析：

解题过程与例题相同，需要注意的是1996年是闰年，有366天。假设每天都有一个人出生，则多出来的一个人一定和另一个人在同一天过生日。

【邀请两名学生讲解自己的思路，其他同学指出问题，引导学生独立思考】

板书：

367÷366＝1……1

1＋1＝2（个）

答：至少有2个人是在同一天出生的。

（二）例题2：（13分）

    有10个红球，2个蓝球，从中抽取一个球，至少要抽多少个才能抽到红球？

师：大家看这道题，首先我们要明确什么是至少？

生：保证能够拿到红球需要抽的最少的球数。

师：我们应该怎么来做呢？

生：……

师：老师提醒一下大家，从最不利的角度来考虑。

生：假如先抽到的都是蓝球，也就是第3次才能抽到红球。

师：没错，所以至少要抽几个呢？

生：3个。

【教师引导学生独立思考】

板书：

答：至少要抽3个才能抽到红球。

练习2：（8分）

    有25人到招聘会求职，其中软件设计有10人，市场营销有8人，财务管理有7人。那么至少有多少人找到工作才能保证一定有7人找的工作专业相同呢？

分析：

    遇到这一类题目时，需要从最不利的情况来考虑，那么我们就可以先从少于7人找到相同工作的情况来考虑。假设每个工作都只有6人找到工作，这时候再有一个人找到工作，就会出现题目的情况。

【邀请两名学生讲解自己的思路，其他同学指出问题，引导学生独立思考】

板书：

    6×3＋1＝19（人）

答：至少有19人找到工作才能保证一定有7人找到的工作专业相同。

三、小结：（3分）

最不利原则：从最不利条件发生的情况考虑。

原理1：把不少于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两个。

第二课时（50分）

一、复习导入（5分）

师：同学们，还记得上节课我们学习了什么内容吗？

生：抽屉原理。

师：嗯，同学们的记性都不错。那么大家还记得我们在做抽屉原理的题目的时

候有哪些方法吗？

生：……

师：嗯，很好。接下来的内容会更有意思，同学们要注意听哦。

（出示PPT)

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（13分）

任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？

师：首先，我们要来考虑什么是“至少”？

生：“至少”就是任意4个自然数中有不少于两个数的差是3的倍数。

师：非常好，那我们应该怎么来思考这个题呢？

生：……

师：同学们可能一下子想不到，老师提醒一下大家。可以从余数的角度来考虑。

生：……

师：看来同学们还是想不到，那就老师自己先来讲一遍吧。任意四个自然数除

以3的余数有几种可能？

生：整除（0）、1、2，三种可能。

师：嗯，也就是说，四个余数中一定？

生：一定有两个余数是相等的。

师：没错，那么余数相等的两个数，它们的差有什么特点呢？

生：是3的倍数。

师：回答正确。但是怎么得出这个结论呢？

生：……

师：我们可以把这两个差是3倍数的自然数先减去相同的余数，可以得到都是3

的倍数的数。这样就很明显了。

【教师引导学生独立思考】

板书：

答：任意4个自然数除以3的“余数”有3种可能：0、1、2，因此至少有两个自然数的余“余数”是相同的。它们的差一定是3的倍数。

练习3：（7分）

任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。为什么？

分析：

    解题思路与例题相同。找出这8个自然数除以7的余数有7种可能，因此一定存在两种余数是相同的，它们的差是7的倍数。

【邀请两名学生讲解自己的思路，其他同学指出问题，引导学生独立思考】

板书：

答：任意8个自然数除以7的“余数”有7种可能：0、1、2、3、4、5、6，因

此至少有两个自然数的“余数”是相同的。它们的差一定是7的倍数。

（二）例题4：（13分）

    11名学生到老师家借书，老师的书房中有A、B、C、D四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。

师：我们还记得上节课刚开始的时候说什么是抽屉原理吗？

生：把10个苹果放到9个抽屉中，一定有一个抽屉至少有2个苹果。

师：很好，那么既然我们的课题是抽屉原理，这道题一定也与抽屉原理有关，

那么这道题的抽屉是什么呢？

生：……

师：每名同学可以最多借两本不同的书，那么借的书有哪几种情况呢？

生：A、B、C、D、AB、AC、AD、BC、BD、CD。

师：嗯，一共有几种呢？

生：10种。

师：所以，假如前面已经有10个学生借了10种不同情况的书，现在又来一个

    同学，他借书的情况是不是会和上面的10种重复？

生：是。

师：也就是说11个人来借书必定有两个学生所借的书的类型相同。同学们发现

遇到这一类的题目时我们有什么方法吗？

生：列举。

【教师引导学生独立思考】

板书：

答：学生所借的书有10种可能：A、B、C、D、AB、AC、AD、BC、BD、CD。11

个学生借书必定有两个学生借的书类型是相同的。

练习4：（7分）

有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。

分析：

    首先要搞清楚什么是单循环比赛，可以以几个学生进行下象棋比赛为例解释。50名运动员进行单循环比赛每个运动员会进行49场比赛。没有平局，没有全胜，也就是说最多赢48场，最少赢0场。一共有49种情况。

【邀请两名学生讲解自己的思路，其他同学指出问题，引导学生独立思考】

板书：

答：每个运动员会进行49场比赛，最多赢48场，最少赢0场。一共有49种情

况，有50名运动员，所以一定会有两个运动员积分相同。

（三）例题5（选讲）：

    从1，3，5，...，99中任选26个数，其中必有两个数的和是100。

师：上一题我们运用了举例的方法，这道题能够通过举例来做吗？

生：……

师：有两个数的和是100，那么这两个数有可能是？

生：1和99、2和98……

师：那么，考虑这道题是只有奇数的，所以有哪几种情况？

生：1和99、3和97……

师：一共有几组这样的数呢？

生：25组。

师：嗯，那么什么是抽屉呢？

生：这25组数。

师：对，我们要抽取几个数？

生：26个。

师：所以一定会有一个抽屉抽到几个数？

生：2个数。

师：而这两个数的和是？

生：100。

【教师引导学生独立思考】

板书：

答：和是100的有25组数：1和99、3和97、5和95……。从25组数中抽取26个数，一定有两个数来自一个数组，它们的和是100。

练习5（选做）：

从1，2，3，……，25中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。

分析：

    先把这25个数分成大数不超过小数1.5倍的几组。找出分组后问题就好解决了。

【邀请两名学生讲解自己的思路，其他同学指出问题，引导学生独立思考】

板书：

答：把1—25分成6组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10）（11，

12，13，14，15，16），（17，18，19，20，21，22，23，24，25）。每

组数中的最大数与最小数的比都不大于1.5，所以从6组数中抽取7个数，

一定有两个数来自一个组，这两个数大数不超过小数的1.5倍。

三、总结：（5分）

原理1： 把不少于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两个；

    原理2：把不少于m×n+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。

    解题的关键是找到“抽屉”，最不利原则可以让解题简单化。

四、随堂练习：

1. 15个学生要分到6个班，至少有几个人要分进同一个班？

板书：

15÷6＝2（个）……3（个）

2＋1＝3（个）

答：至少有3个人分进同一个班。

2. 一副完整的扑克牌，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同

   的点数？

板书：

    13＋2＋1＝16（张）(还有大王和小王）

答：最少抽取16张牌。

3. 任取12个自然数，必有两个数的差是11的倍数。为什么？

板书：

答：任意自然数除以11，“余数”可能是：0，1，2，……，10，共有11种可

能。抽取12个数，必有两个数的差是11的倍数。

4. 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。

   请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

板书：

答：任意摸出3枚棋子有4种可能：黑黑黑，黑黑白，黑白白，白白白。5个人

抽则至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

5. 从1、2、3、4，..，12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中

   一定包括两个数，它们的差是7？

板书：

答：差是7的两个数有以下5种可能：（1，8），（2，9），（3，10），（4，11），（5，12）。剩下6，7两个数，一共有7个抽屉，至少任选8个数，就能保证其中一定包括两个数的差是7。

家庭作业

线上作业：第15讲

主管评价

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处