江西省全南中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

2023-2024学年第一学期高中学段开学考试

三年级数学

一、单选题（每题5分，共40分）

1．若倾斜角为的直线与直线平行，则（　　）

A． B． C． D．

2．方程在区间内（    ）

A．没有解 B．有唯一的解 C．有两个不相等的解 D．不确定

3．在等比数列中，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．2

4．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”．由此推断，该女子到第日时，大约已经完成三十日织布总量的(    )

A．% B．% C．% D．%

5．已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上的点，为坐标原点，且，，则该椭圆的离心率为

A． B． C． D．

7．棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（    ）

A． B．1 C． D．

8．已知函数，且，则实数a的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题（每题5分，共20分）

9．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ）

A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于

C．与直线垂直 D．上存在与原点距离等于1的点

10．函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（    ）

A．函数的图像关于点成中心对称的图形的充要条件是为奇函数

B．函数的图像的对称中心为

C．函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数是偶函数

D．函数的图像关于直线对称

11．已知数列满足，其中，为数列的前项和，则下列四个结论中，正确的是（    ）

A．数列的通项公式为： B．数列为递减数列

C． D．若对于任意的都有，则

12．已知P是椭圆上的一动点，离心率为e，椭圆与x轴的交点分别为A、B，左、右焦点分别为，，下列关于椭圆的四个结论中正确的是（    ）

A．若PA、PB的斜率存在且分别为，，则

B．若椭圆C上存在点M使，

C．若的面积最大时，，则

D．根据光学现象知道：从发出的光线经过椭圆一次反射后恰好经过.若一束光线从发出经椭圆反射，当光线第n次到达时，光线通过的总路程为

三、填空题（共20分）

13．已知空间向量，且与垂直，则等于      .

14．圆与圆内切，则的值为      .

15．已知数列满足，若不等式 恒成立，则实数的取值范围是         

16．函数（其中为实数）若不是的极值点，则        ．

四、解答题（共70分）

17．已知函数．

(1)求在点处的切线方程（其中为自然对数的底数）；

(2)当时，证明：．

18．某中学的学习兴趣小组随机调查了该校110名学生的到校形式，整理后得到如下的列联表：

（1）根据列联表的数据判断，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为到校形式与性别有关系？

（2）若以上述样本的频率作为概率，在该校中随机抽取6人，用X表示6人中“独自到校”的人数，求X的数学期望和方差.

附表：

附：

19．如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，，，点G是线段BF的中点．

(1)证明：平面DAF；

(2)求直线EF与平面DAF所成角的正弦值．

20．已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足＋ (≥2)．

（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

21．已知抛物线：的焦点F也是双曲线：的一个焦点，与公共弦的长为.

(1)求的方程；

(2)过F的直线l与交于A，B两点，与上支交于C，D两点，且与同向.

（i）若，求直线l的斜率；

（ii）设在点A处的切线与x轴交于点M，试判断点F与以MD为直径的圆的位置关系.

22．已知函数．

(1)当时，求函数的极小值；

(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围．

答案

1．A

因为，所以为锐角，

，，

所以．

故选：A

2．B

因为在上单调递增，在上单调递增，

故在上单调递增，

又，

由零点存在性定理可得在区间有唯一的解.

故选：B

3．C

解：在等比数列中，，则

所以，所以，

所以等比数列的公比，

所以.

故选：C.

4．B

由题知,则,则，．

故选：B

5．B

若数列与数列的公共项，

则设，即

，

因为为偶数，所以也为偶数，

所以令数列与数列的公共项为：

，

所以，

所以

，

故选：B.

6．B

设PF1＝m，PF2＝n，则由椭圆的性质可得m+n＝2a，且m=3n

故，

由勾股定理可得m2+n2＝4c2，故 故

故选：B．

7．A

以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，设，，

所以，，

因为平面，

所以，故，

，故，

其中，

故，

故当时，，此时满足要求，

所以线段PQ的最小值为.

故选：A

8．C

令，定义域为R，

，

所以为奇函数，

又.

当时，令，

则有，

因为，所以，

所以在上单调递增，

所以，

所以，所以在上单调递增，

又因为为奇函数，所以在R上单调递增，

所以，可转化为，

，

所以，

所以，即，

解得

即实数a的取值范围是.

故选：C.

9．CD

解：因为直线的一个方向向量为，

所以直线的斜率为，

设直线的倾斜角为（），则，所以，所以A错误；

因为经过点，所以直线的方程为，令，则，

所以在轴上的截距为，所以B错误；

因为直线的斜率为，直线的斜率为，

所以，所以与直线垂直，所以C正确；

因为原点到直线的距离为，

所以上存在与原点距离等于1的点，所以D正确，

故选：CD

10．ABD

对于A，函数的图像关于点成中心对称的图形，

则有

函数为奇函数，则有，

即有

所以函数的图像关于点成中心对称的图形的充要条件是

为为奇函数，A正确；

对于B,，则

因为为奇函数，结合A选项可知函数关于点对称，B正确；

对于C，函数的图像关于成轴对称的充要条件是，

即函数是偶函数，因此C不正确；

对于D，，

则，

则，

所以关于对称，D正确

故选:ABD.

11．BD

对A：由可得：

当时，则；

当时，则，

两式相减得：，即，

也适合上式，

综上所述：，A错误；

对B：，当时恒成立，

故，即数列为递减数列，B正确；

对C：∵，

∴，C错误；

对D：∵当时恒成立，故，

若对于任意的都有，则，D正确.

故选：BD.

12．AC

A选项，依题意，，设，

则，，

则，A选项正确.

B选项，设，

则

，当，即时等号成立.

若椭圆C上存在点M使，即存在，使，

所以，

所以，所以B选项错误.

C选项，当上椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，

依题意，此时，则，

则，C选项正确.

D选项，当时，光线通过的总路程为，所以D选项错误.

故选：AC

13．4

因为，且与垂直，

所以，解得，

故答案为：4

14．或

圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

所以两圆的圆心距，

又因为两圆内切，有，

解得或.

故答案为：或.

15．

由数列满足，

可得，且，

所以数列表示首项为，公差为的等差数列，

所以，所以，

又由恒成立，即对恒成立，

因为，

当且仅当时取等号，所以，

即实数的取值范围是.

16．

，

，令，

，

当时，恒成立，所以在上单调递增，

也即在上单调递增，

所以在区间上单调递减；

在区间上单调递增，

所以是的极小值点，不符合题意.

当时，令，解的，

所以也即在区间上，函数单调递减；

在区间上，函数单调递增.

由于，且不是的极值点，所以.

故答案为：

17．(1)

(2)证明见解析

（1），切线的斜率为，

由得切点坐标为，

所以在点处的切线方程.

（2）当时，

令，得，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以在处取得最小值，即.

18．（1）错误的概率不超过0.01的前提下认为到校形式与性别有关系；（2），.

解：（1）假设性别与到校形式无关，根据列联表中的数据，得到

，

因此，错误的概率不超过0.01的前提下认为到校形式与性别有关系.

（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6.

若以样本的频率视为概率，则在该校中随机抽取1人为“独自到校”的概率为，

在该校中随机抽取6人，可视为6次独立重复试验，

所以，

故，.

19．(1)证明见解析

(2)

（1）证法一：连接OE，OG．

在圆柱OE中，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，所以．

又平面DAF，平面DAF，所以平面DAF．

在中，点O，G分别是AB和BF的中点，所以．

又平面DAF，平面DAF，所以平面DAF．

又，OE，平面OEG，所以平面平面DAF．

又平面OEG，所以平面DAF．

证法二：取AF的中点M，连接MD，MG．

因为点M，G分别是FA和FB的中点，所以．

在圆柱OE的轴截面四边形ABCD中，，

所以，因此四边形DEGM是平行四边形．

因此．

又平面DAF，平面DAF，所以平面DAF．

证法三：以O为坐标原点，AB的中垂线为x轴，OB为y轴，OE为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

则，．

因为AB为底面圆O的直径，点F在圆O上，所以．

又，所以，因此．

因为点G是线段BF的中点，所以，

因此．

因为平面ABF，平面ABF，所以．

又，，AF，平面DAF，所以平面DAF，

因此是平面DAF的一个法向量．

因为，

又平面DAF，所以平面DAF．

（2）法一：以O为坐标原点，AB的中垂线为x轴，OB为y轴，OE为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系．

则，．

因为AB为底面圆O的直径，点F在圆O上，所以．

又，所以，因此．

因此，．

因为平面ABF，平面ABF，所以．

又，，AF，平面DAF，所以平面DAF，

因此是平面DAF的一个法向量．

设EF与平面DAF所成角为，，

则，

所以EF与平面DAF所成角的正弦值为．

法二：由（1）得平面DAF，

所以点E到平面DAF的距离等于点G到平面DAF的距离．

因为平面ABF，平面ABF，所以．

因为AB为底面圆O的直径，点F在圆O上，所以．

又，AF，平面DAF，所以平面DAF．

所以点E到平面DAF的距离．

连结OE，OF，则，所以．

设EF与平面DAF所成角为，，则，

所以EF与平面DAF所成角的正弦值为．

法三：过F作AD的平行线交上底面于点H，连结DH，

则平面ADF即为平面AFHD．

过E作，K为垂足，

平面DHC，平面DHC，

故，平面AFHD，则平面AFHD，

则为EF与平面ADF所成的角．

连接HC，则，则,

而E为DC中点，故K为DH的中点，故，

由于HCBF为平行四边形，故，

故，．

设EF与平面DAF所成角为，，则，

所以EF与平面DAF所成角的正弦值为．

20．（1）证明略，；（2）

(1)因为，

又当时

即，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，得

所以

又 ，也适合，

所以；

(2)因为，

所以，

要使不等式恒成立，只需恒成立，

解得或，

故实数的取值范围是

21．(1)

(2)（i）；（ii）点F在以MD为直径的圆内

（1）的焦点为，所以①

又与公共弦的长为，且与都关于y轴对称，

所以公共点的横坐标为，代入可得纵坐标为3，

所以公共点的坐标为，

所以②

联立①②得，，故的方程为.

（2）设，，，，

（i）因为与同向，且，所以，

从而，即，

所以，

设直线l的方程为，

联立，得，，则，，

联立，得，，

则，，

所以，即，

所以，所以或，

由图可知，，得，故

所以直线l的斜率为.

（ii）由得，所以在点A处的切线方程为，

令得，即，所以，而，

于是，

因此是锐角，从而是钝角，

故点F在以MD为直径的圆内.

22．(1)极小值为

(2)

（1）解：当时，，可得，

令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以函数的极小值为.

（2）解：若时，，令，解得，

当时，；当时，，

所以函数在区间上有且只有一个零点.

若时，由，令，解得或，

①若时，此时，可得在上单调递增，且，此时函数在区间上有且只有一个零点；

②若时，可得，令，可得或，

令，可得，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

又由，只需讨论的符号，

当时，，函数在区间上有且只有一个零点；

当时，，函数在区间上无零点.

③若，则，令，可得或，

令，可得，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

又由，

此时函数在区间上有且只有一个零点，

综上可得，，即实数的取值范围为.