2023-2024学年江西省宁冈中学高二上学期开学考试数学试题

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开学考试数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可.
【详解】∵，∴或，
若，解得或，
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，集合，满足题意，故成立，
若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去，
综上所述，．
故选：B．
2. 若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据象限角的概念判断即可.
【详解】若是第一象限角，则，
，则是第四象限角，故D错误；
，则是第一象限角，故A错误；
，则是第二象限角，故B错误；
，则是第三象限角，故C错误.
故选：C.
3. 下列各命题中，正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 与非零向量共线的单位向量是
C. 长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量概念可判断AD选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用共线向量的定义可判断C选项.
【详解】对于A选项，若，则、的方向关系无法确定，A错；
对于B选项，与非零向量共线的单位向量是，B错；
对于C选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量，C对；
对于D选项，若，但向量、不能比大小，D错.
故选：C.
4. 已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】由平行于同一平面的两直线的位置关系判定A；由面面垂直、线面垂直判定线面关系判断B；由两平行平面内两直线的位置关系判断C；由平面与平面垂直的判定定理判断D．
【详解】若，，则或m与n相交或m与n异面，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，，则或m与n异面，故C错误；
若，，由平面与平面垂直的判定可得，故D正确.
故选：D
5. 函数的一条对称轴为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数性质求出对称轴通式即可求出结果.
【详解】函数的对称轴满足，
解得，令，则，
故选：A.
6. 圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（ ）
A. 圆台的母线长是20B. 圆台的表面积是
C. 圆台的高是D. 圆台的体积是
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，作出圆台侧面展开图，求出圆台的母线长和高，再利用表面积和体积公式求解判断作答.
【详解】依题意，圆台侧面展开图，如图，

设圆台的上底面周长为，由扇环的圆心角为，得，又，
则，同理，于是圆台的母线，高，
表面积，
体积，ABD正确，C错误.
故选：C
7. 如图所示，为了测量湖中两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲､乙两位测量人员，甲测量员在处测量发现亭子位于北偏西亭子位于东北方向，乙测量员在处测量发现亭子位于正北方向，亭子位于北偏西方向，则两亭子间的距离为（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知，结合图形，利用三角形的性质以及正弦定理、余弦定理求解.
【详解】
连接，在中，由条件可得，则，
，
在中，由正弦定理得，
在中，由条件得，且，
在中，由余弦定理得
，
，故A，C，D错误.
故选：B
8. 如图，已知正方形的边长为2，，分别是，的中点，平面，且，则与平面所成角的正弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接、，且、分别交于、，证明平面，再利用面面垂直的判定得平面平面，再作出，利用面面垂直的性质有平面，最后根据线面角的定义计算相关长度即可.
【详解】如图，连接、，且、分别交于、.
因为四边形是正方形，、分别为和的中点，
故为的中点，因为平面，平面，
所以平面，所以到平面的距离就是点到平面的距离.
，即，平面，
平面，，平面，
平面平面平面平面，
作交于点，因为平面，平面平面，
平面，所以线段的长就是点到平面的距离.
正方形的边长为.
平面，平面，所以，
在中，，根据，
有，得，
因为，平面，所以的长即为点到平面的距离，
，即与平面成角的正弦值为.
故选：D.

二、多选题（每题5分，共20分）
9. 已知复数满足，则下列说法错误的是（ ）
A. 的虚部为B. 的共轭复数
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再分别判断选择即可；此题还可以利用复数相等条件求复数.
【详解】法一：；
法二：设复数，，，则，
即，则有，解得，
故.
对选项A，的虚部为，选项A错误；
对选项B，的共轭复数， 选项B错误；
对选项C，， 选项C正确；
对选项D，， 选项D错误；
故选：ABD.
10. 如图，E，H分别在线段PA，PD上，C是线段AD的中点，F是线段EH的中点，，PC与EH交于点G，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由题意，选定和作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，将和用基底表示出来，比较系数即可求得．
【详解】设，，
因为是线段的中点，则有，
由，可得，
设
，
则由平面向量基本定理可得，解得，
又，，三点共线，
故可设，
设，由为中点可知，
，将代入可得，
即，正确；
又，
，
，
设，
则有，
即，解得，，
故，正确；
故选：CD．
11. 设函数，则（ ）．
A. 函数的最小正周期为
B. 是函数图象的一个对称中心
C. 函数在上单调递减
D. 函数在上单调递增
【答案】ABC
【解析】
【分析】先利用二倍角的余弦公式将函数化简，然后根据余弦函数的性质逐项进行检验即可求解.
【详解】函数，
对于选项A，函数的最小正周期为，故选项A正确；
对于选项B，令，解得，，
因为当，所以是函数图象的一个对称中心，
故选项B正确；
对于选项C，当时，，因为函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，故选项C正确；
对于选项D，当时，，因为函数在上先增后减，所以函数在上先增后减，故选项D错误，
故选：ABC
12. 已知O为坐标原点，点，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】AB选项，利用向量模长公式计算得到，；C选项，由向量数量积公式得到不一定相等；D选项，由向量数量积运算法则，和差化积公式计算出，D正确.
【详解】A选项，，，
故，A正确；
B选项，，
故
，
，
故
，
由于，故，B正确；
C选项，，
，
因为不一定相等，故不一定相等，C错误；
D选项，由和差化积可得
，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：和差化积公式：，
，
，
积化和差公式：，
，
，
.
三、填空题（共20分）
13. 过直线l外两点可以作l的平行线的条数为________．
【答案】0条或1条
【解析】
【分析】应用空间中点线面的位置关系即可求解.
【详解】连接直线l外两点得到直线a.
当直线l外两点与直线l在同一平面内时，直线a与直线l相交或平行，此时过直线l外两点可以作l的平行线的条数为0条或1条；
当直线l外两点与直线l不在同一平面内时，直线a与直线l异面，此时过直线l外两点可以作l的平行线的条数为0条；
综上所诉，过直线l外两点可以作l的平行线的条数为0条或1条.
故答案为：0条或1条.
14. 已知平面向量的夹角为，则________
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算作答.
【详解】因为向量的夹角为，则，
所以.
故答案为：
15. 函数的部分图象如图所示，若、，且，则__________.

【答案】
【解析】
【分析】利用图象求出函数的解析式，求出、的取值范围，结合正弦型函数的对称性求出的值，由此可求得的值.
【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，
所以，，则，
因为，且函数在附近单调递增，
所以，，则，
因为，所以，，则，
因为、，则，，
又因为，则，可得，
因此，.
故答案为：.
16. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是___________．

【答案】
【解析】
【分析】根据线面平行判定定理以及面面平行判定定理，利用线面角的定义，结合锐角三角函数的定义，可得答案.
【详解】如图，取的中点，的中点M，连接AM，AN，MN，，，

由正方体，E，N分别为，的中点，
易知，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面BEF，平面BEF，所以平面BEF，
因为E，F分别为，的中点，由中位线性质可得，同理可知，所以，
又因为平面，平面，所以平面，又，平面AMN，所以平面平面，
因为P底面上一点，且平面，所以点，
由分别为的中点，且，，则，，即，
由，则
在等腰中，底边上的高，
则AP的长度的取值范围为，
设与平面成角为，在正方体中，易知平面，且为垂足，
所以．
故答案为：.
【点睛】本题的解题关键在于面面平行的性质定理以及线面角定义的理解，利用正方体的几何性质，得以解题.
四、解答题（共70分）
17. 已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得，将要求的表达式转化只含的形式，由此求得表达式的值.
（2）利用“”的代换的方法求得表达式的值.
【小问1详解】
由于，所以，
所以.
【小问2详解】
.
18. 已知函数．

（1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
（2）求的单调递增区间．
【答案】（1）答案见解析
（2），．
【解析】
【分析】（1）分别令，，，，，列表描点连线可得函数图像；
（2）将表示出来并化简，利用三角函数的单调性求解即可．
【小问1详解】
分别令，，，，，可得：
画出在一个周期的图像如图所示：
【小问2详解】
，
若求单调递增区间，需满足，，
，，
则的单调递增区间为，．
19. 已知复数，．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由实部为且虚部不为列式求解；
（2）由实部与虚部均小于得到不等式组，求出的取值范围．
【小问1详解】
是纯虚数，
故，解得
【小问2详解】
因为在复平面内对应的点在第三象限，
所以，解得，
故的取值范围为．
20. 如图，在直三棱柱中，，D是棱的中点，

（1）求证：平面；
（2）求平面与侧面所成锐角的正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件结合勾股定理的逆定理可证得，再由线面垂直的性质可得，然后由面面垂直的判定定理可证得结论；
（2）由（1）可得，，则可得就是平面与侧面所成的平面角，在可求得结果.
【小问1详解】
证明：因为直三棱柱中，，D是棱的中点，
所以，，，
所以，
所以，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，所以，
因为，平面，所以平面，
所以平面，所以，
因为，平面，
所以平面；
【小问2详解】
因为平面，平面，所以，
因为，平面平面，
所以就是平面与侧面所成的平面角，
因为平面，平面，所以，
在中，，则，
所以平面与侧面所成锐角的正切值为.
21. 在锐角中，角的对边分别为，，，已知且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换运算求解；
（2）先利用余弦定理求得，进而可求面积；
（3）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性运算求解.
【小问1详解】
因为，
且，则，可得，
整理得，所以.
【小问2详解】
由余弦定理，即，
解得或（舍去），
所以的面积.
【小问3详解】
由正弦定理，可得，
则
，
因为锐角三角形，且，则，解得，
则，可得，
则，
所以的取值范围为.
22. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知AB⊥AD，，=．函数．

（1）若，求的值域；
（2）若对于任何有意义的边a，在上有解，求b的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换知识化简，再借助二次函数即可求值域；
（2）利用正弦定理和三角形面积公式结合数量积运算公式计算可得的取值范围，将所求的不等式变形为有解，利用换元法结合函数的单调性进一步计算可得的取值范围．
【小问1详解】
由题设知：，
又a＝b＝1，故
，
即，
∵令，∴，抛物线开口向上，对称轴，
因为，所以当时，最小且为，
当t＝1时，最大且为，所以．故的值域为；
【小问2详解】
，根据条件得，得到，
又，所以．设，则，，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得，
可得
，
因为，可得，
当时，即，可得，
当时，即，可得，所以，0＜a＜2．
由（1）易知：
．
依题意对于任意a值，使得恒成立，
因为，所以，
即，
又－4＜－2a＜0，所以，有解即可．
令，，，容易知道在上是增函数，
故，只需的最大值大于等于0即可，又，故．
【点睛】易错点睛：本题考查了三角恒等变换以及函数的值域问题，考查了与三角函数有关的有解问题，属于中档题．.解决该问题应该注意事项：
(1)三角函数与恒等变换结合时，注意三角函数次数变化，选择合适的恒等变换关系；
(2)正弦型函数与二次函数复合时，注意换元处理时新变量的取值范围；
(3)正余弦定理与正弦型函数结合应用注意角度范围变化.0
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