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四川省蒲江县蒲江中学2023-2024学年高一数学上学期入学摸底试题（Word版附解析）
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这是一份四川省蒲江县蒲江中学2023-2024学年高一数学上学期入学摸底试题（Word版附解析），共28页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
高2023级高一上入学考试数学试题
本卷共22题，满分150分考试，时间120分钟
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果.科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】A
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义判断即可.
【详解】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案.
亿年年年，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可.
【详解】对A：，原式计算错误；
对B：，原式计算错误；
对C：，原式计算错误；
对D：，计算正确.
故选：D.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定
B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D. 是不等式的一个解，这是一个必然事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义逐项分析判断即可.
【详解】对于A：甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则甲的成绩更稳定，故该选项不正确，不符合题意；
对于B：某奖券的中奖率为，买100张奖券，可能会中奖1次，故该选项不正确，不符合题意；
对于C：要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查,故该选项不正确，不符合题意；
对于D：解：因为，所以，解得：，所以是不等式的解，这是一个必然事件，故该选项正确，符合题意.
故选：D.
4. 如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（ ）
A. 15 B. 18 C. 24 D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据三角形重心的性质可知P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知，证明和，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答.
【详解】如图所示，连接，
由点P是的重心，点D是边的中点，可知P在上，
所以，，又，
所以，因此；
又，所以，
所以；
设的面积为，则的面积为，的面积为，
因为四边形的面积为6，
即，解得；
所以的面积为9，
因此的面积是18.
故选：B.
5. 根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（ ）
A. 解的整数部分是，十分位是 B. 解的整数部分是，十分位是
C. 解的整数部分是，十分位是 D. 解的整数部分是，十分位是
【答案】B
【解析】
【分析】通过观察表格可得时，，即可求解.
【详解】由表格可知，
当时，，
当时，，
∴时，，
∴解的整数部分是，十分位是.
故选：B.
6. 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律.
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A. 2或4 B. 2或 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可.
【详解】由规律可得：，
令，，∴，
∵，∴，∴，∴或，
故选：A
7. 如图，是的外接圆，连接，若，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得出.
【详解】
在优弧上取一点，连接
四边形内接于，且
又
故选：C.
8. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是.
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】对于①：根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；对于②：点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；对于③：设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；对于④：设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断.
【详解】对于①：因为，，所以，
所以，则是点的“倍增点”；
因为，，所以，
所以，则是点的“倍增点”；故①正确，符合题意；
对于②：设点，因为点A是点的“倍增点”,所以，
解得：，所以，故②不正确，不符合题意；
对于③：设抛物线上点是点的“倍增点”，所以，
整理得：，所以因，所以方程有两个不相等实根，
即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；故③正确，符合题意；
对于④：设点，因为点是点的“倍增点”，所以，因为，，
所以，
因为，所以的最小值为，所以的最小值是，故④正确，符合题意.
综上：正确的有①③④，共3个.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入.小莹同学通过登陆国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对28个省份的分配额度（亿元），并对数据进行整理和分析.图1是反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图，且在这一组分配的额度分别是：25，28，28，30，37，37，38，39，39.图2是反映年中央财政脱贫专项资金对自治区和自治区的分配额度变化折线图.则下列说法中正确的是（ ）
A. 2020年，中央财政脱贫专项资金对各省份的分配额度的中位数为37.5亿元
B. 2020年，某省获得分配额度为95亿元，该额度在28个省份中由高到低排第六名
C. 2016-2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区的分配额度逐年增加
D. 2016-2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区的分配额度比对自治区的稳定
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，观察频数分布直方图，结合已知信息求出第14､第15位分配的额度，取平均值即可求得中位数；B选项，根据频数分布直方图判断95亿元所排名次即可；C选项，观察自治区A的分配额度折线图可判断；D选项，观察自治区A､B的分配额度折线图可判断.
【详解】A选项，将这28个省､直辖市､自治区分配扶贫资金额度从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，
其中第14个数为37，第15个数为38，故（亿元），
因此中位数是37.5亿元，故说法正确；
B选项，由频数分布直方图可知，的有2个省，的有2个省，
的有1个省，而95亿元在且只有1个省，
因此它位于第六名；故B说法正确；
C选项，由统计图可知，年，中央财政脱贫专项资金对自治区的分配额度逐年增加，故C说法正确；
D选项，由两个自治区年中央财政脱贫专项资金变化情况的折线统计图可直观得到，
自治区的比自治区的变化､波动要大，
所以中央财政脱贫专项资金对自治区的分配额度比对自治区的稳定，故D说法错误.
故选：ABC.
10. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图.图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C､D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D.若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 当与相切时， D. 当时，
【答案】AC
【解析】
【分析】如图，由题意可得：，，，，从而可判断A，B，如图，当与相切时，求解，可得，可判断C；当时，如图，可得，，，可判断D.
【详解】如图，由题意可得：
，，，，
∴，故A符合题意；
，故B不符合题意；
如图，当与相切时，∴，
∴，∴，故C符合题意；
当时，如图，∴，
∴，，
∴，故D不符合题意.
故选：AC
11. 如图，在菱形中，按以下步骤作图：
①分别以点和点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，；
②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接.
则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项：由作法可得AE是CD的垂直平分线，然后结合菱形的性质得出，得出，即可求出的度数；B选项：由题意可得AB是DE的两倍，然后结合三角形面积的求法即可判断出；C选项：由题意求出DE的长度，然后根据30°角直角三角形的性质求出AE的长度，然后在三角形ABE中利用勾股定理即可求出BE的长度；D选项：作交BC的延长线于H，设AB的长度为4a，然后根据题意表示出EH和BH的长度，即可求出的值.
【详解】由作法得AE垂直平分CD，即，，
∵四边形为菱形，∴，，
在中， ，∴，∴，∴A选项的结论正确，符合题意；
∵，，而，
∴，∴B选项的结论正确，符合题意；
若，则，∴，在中， ，
∴C选项的结论错误，不符合题意；
作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，
设，则，， ，在中，，∴， ，
∴，∴D选项的结论正确，符合题意.
故选：ABD.
【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质等知识.
12. 二次函数的顶点为P，其图像与x轴有两个交点，，交y轴于点以下说法中正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得是顶角为的等腰三角形
D. 抛物线上存在点N，当为直角三角形时，有
【答案】ACD
【解析】
【分析】二次函数与x轴有两个交点，，交y轴于点代入抛物线，
解方程组，可得可判断A；
由，可得抛物线解析式为，抛物线的顶点由，可求，由，可判断B；
先在第一象限内作求出点代入抛物线验证可判断C；
由点N在抛物线上，为直角三角形，，以为直径作，点N在上，与抛物线有交点，交点就是点N，当点P在上或外，抛物线与只有3个交点，或4个交点，存在直角三角形，可得即，解得，可判断D.
【详解】对于A选项：因为二次函数与轴有两个交点，交轴于点，
所以，所以，解得，
，故选项A正确；
对于B选项：如下图所示：
∵，∴，设抛物线解析式为，∴抛物线的顶点，∵A､B两点关于对称轴对称，，∴，，设抛物线的对称轴与轴交于G，则，
∴，∴，故选项B错误；
对于C选项：如下图所示：
第一象限内作，过点M作轴于H， ，所以
，所以点 ，当时，，
∴点M在抛物线上，点M关于抛物线的对称轴对称点也在抛物线上，故选项C正确；
对于D选项：如下图所示：
∵点N在抛物线上，为直角三角形，，以为直径作，点N在上，∴与抛物线有交点，交点就是点N，当点P在内，抛物线与只有两个交点，不存在直角三角形，当点P在上或外，抛物线与只有3个交点，或四个交点，存在直角三角形，所以即解得，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：利用抛物线的性质，抛物线内接等腰三角形，内接直角三角形，锐角三角函数，以及辅助圆的点与圆的位置关系解题是关键.
第Ⅱ卷
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若、是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求得所求代数式的值.
【详解】因为、是一元二次方程的两个根，则，
上述两个等式相加可得.
故答案：.
14. 若，，则的值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂的乘方逆运算和同底数幂的除法逆运算法则解答即可.
【详解】；
故答案为：.
15. 若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是___________.
【答案】4
【解析】
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案.
【详解】解不等式①得：，解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，∴，解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，∴
解得：，即，，且为整数，
即，且a为奇数.
∴a的取值范围是，且a为奇数，
∴a可以取：1，3，∴.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键.
16. 如图，直线与函数（）的图象只有一个公共点A，且直线与x轴､y轴分别交于B､C两点，过点A分别作x轴､y轴的垂线，垂足分别为D､E，则下列说法正确的有___________（将正确的序号填在横线上）.
①；
②点恒在抛物线上；
③是定值；
④矩形面积为定值；
⑤和的面积之和为定值.
【答案】①②④⑤
【解析】
【分析】分别求解， ，即可根据直角三角形的性质判故①，根据即可判断②；根据即可判断③错误；由反比例函数k的几何意义即可判断的④；根据面积间的关系即可判断⑤.
【详解】令直线，得，即B的坐标为，
令，，即C的坐标为，令，得①，
∵与（）的图象只有一个公共点A，
∴，∴方程①的解，
∴A的坐标为，∴A为的中点，即，
由直角三角形斜边中线等于斜边一半得：，故①正确；
∵，∴点恒在抛物线上，故②正确；
∵，∴的值与b相关，不是定值，故③错误；
由反比例函数k的几何意义得：矩形面积为2，恒为定值，故④正确；
∵的面积，
∴和的面积之和的面积矩形面积，恒为定值，故⑤正确.
故答案为：①②④⑤.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出演算步骤.
17. 回答下列各题：
（1）计算：.
（2）求不等式组的解.
（3）先化简，再求值，其中x的值是方程的根.
【答案】（1）；
（2）；
（3），.
【解析】
【分析】（1）先化简绝对值，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数，二次根式的化简与乘方运算，再合并即可；（2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分即可；（3）先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算得到化简的结果，再解一元二次方程结合分式有意义的条件确定的值，再代入计算即可.
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
由不等式①得：；
由不等式②得：；
∴原不等式组的解集为：；
【小问3详解】
原式
；
解方程
得
，；
，
原式.
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握以上基本运算的运算法则与解题步骤是解本题的关键.
18. 图1是“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度.他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，.请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离.（结果精确到.参考数据：，）
【答案】
【解析】
【分析】过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，分别解作出的直角三角形即可解答.
【详解】如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，
∴四边形、四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，则，
∴，
答：展板最高点A到地面的距离为.
19. 2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动.A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理､描述和分析，得到如下信息：
信息一：
甲小区3月份用水量频数分布表
用水量（x/）
频数（户）
4
9
10
5
2
信息二：甲､乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
甲小区
乙小区
平均数
9.0
9.1
中位数
9.2
a
信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）___________；
（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，大小，并说明理由；
（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数；
（4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率.
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）甲小区有40户，乙小区有50户
（4）
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可；
（2）根据题意分别求出3月份用水量低于平均数的户数，再计算进行比较即可；
（3）用总户数乘以不低于所占的比例即可求解；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有8种，再由概率公式求解即可.
【小问1详解】
∵随机抽取了30户居民，故中位数是数据从小到大排列的第15个和第16个的平均数；
根据条形统计图可知：用水量在的有3户，用水量在的有11户，
用水量在的有10户，用水量在的有4户，
用水量在的有2户，故中位数是在第三组中，且是第三组中第1个和第2个的平均数，
∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6.
∴乙小区3月份用水量的中位数是；
【小问2详解】
在甲小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.0；
低于本小区平均用水量的户数为（户），
故在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；
在乙小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.1；
低于本小区平均用水量的户数为（户），
故在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；
∵，故.
【小问3详解】
甲小区3月份用水量不低于的总户数为（户），
乙小区3月份用水量不低于的总户数为（户），
即甲小区3月份用水量不低于的总户数有40户，
乙小区3月份用水量不低于的总户数有50户.
【小问4详解】
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，
∴抽取的两名同学都是男生的概率为.
20. 某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本､销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：.
（1）若将10万元资金投入A项目，一年后获得收益是多少？
（2）若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
（3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【答案】（1）4万元 （2）
（3）当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元
【解析】
【分析】（1）把代入可得答案；
（2）当时，可得，再解方程可得答案；
（3）设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，，而，再利用二次函数的性质可得答案.
【小问1详解】
∵投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为，
当时，（万元）；
【小问2详解】
∵对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，
∴，整理得：，解得：，（不符合题意），∴m的值为8.
【小问3详解】
设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，
∴，而，
∴当时，（万元），
∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元.
21. 如图，在正方形ABCD中，.求证：.
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
∴.
∵，∴.
∴.∴.
∴.∴.
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
（1）【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且.试猜想的值，并证明你的猜想.
（2）【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，，，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且.则___________.
（3）【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，，，，点E､F分别在线段AB､AD上，且.求的值.
【答案】（1）1；证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）过点A作交BC于点M，作交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD，，求证即可.
（2）过点A作交BC于点M，作交CD的延长线于点N，利用在矩形ABCD中，，，求证.再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；
（3）先证是等边三角形，设，过点，垂足为，交于点，则，在中，利用勾股定理求得的长，然后证，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求
【小问1详解】
，
理由为：过点A作交BC于点M，作交CD的延长线于点N，
∵四边形是正方形，∴，，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，∴，，
在正方形中，，
∵，∴，∴，
在和中，，，
∴∴，即，∴；
【小问2详解】
过点A作交BC于点M，作交CD的延长线于点N，
∵四边形是矩形，∴，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，∴，，
在矩形中，，，
∵，∴，∴.∴，∴，
∵，，，，
∴，∴；故答案为：
【小问3详解】
∵，，
∴是等边三角形，∴设，
过点，垂足为，交于点，则，
在中，，
∵，，∴，，
又∵，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即.
【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题.
22. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线上的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程.其中原点O为的中点，例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为.其中.
（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程；
（2）【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
（3）【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点，若求a的值；
（4）【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把点C称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l与y轴交于点，E为线段的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当时，求出的面积值.
【答案】（1），
（2）或
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；
（2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；
（3）如图所示，过点B作轴于D，过点A作轴于E，证明，推出，则，点B的纵坐标为，从而求出，证明，即可求出点A的坐标为，再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作于N，则，先证明是等腰直角三角形，得到，设点M的坐标为，则，求出，然后根据黄金分割点的定义求出，则；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时的面积.
【小问1详解】
由题意得抛物线的焦点坐标和准线l的方程分别为.
【小问2详解】
由题意得抛物线的准线方程为，
因为点到准线的距离为6，所以点的纵坐标为4，
∴当时，，解得，∴点P的坐标为或.
小问3详解】
如下图所示：
过点B作轴于D，过点A作轴于E，
由题意得点F的坐标为，直线l的解析式为：，
∴，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴点B的纵坐标为，
∴，解得（负值舍去），∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴点A的坐标为，∴，∴，∴，解得（负值舍去）；
【小问4详解】
如图下图所示：
当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作于N，则，
∵在中，，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，
设点M的坐标为，∴，∴，∴.
∵点E是靠近点F的黄金分割点，
∴，∴；
同理当E时靠近H的黄金分割点点，，
∴，∴，
综上所述， 或.
高2023级高一上入学考试数学试题
本卷共22题，满分150分考试，时间120分钟
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果.科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ）
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】A
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义判断即可.
【详解】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案.
亿年年年，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方法则进行判断即可.
【详解】对A：，原式计算错误；
对B：，原式计算错误；
对C：，原式计算错误；
对D：，计算正确.
故选：D.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定
B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次
C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D. 是不等式的一个解，这是一个必然事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义逐项分析判断即可.
【详解】对于A：甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则甲的成绩更稳定，故该选项不正确，不符合题意；
对于B：某奖券的中奖率为，买100张奖券，可能会中奖1次，故该选项不正确，不符合题意；
对于C：要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查,故该选项不正确，不符合题意；
对于D：解：因为，所以，解得：，所以是不等式的解，这是一个必然事件，故该选项正确，符合题意.
故选：D.
4. 如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（ ）
A. 15 B. 18 C. 24 D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据三角形重心的性质可知P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知，证明和，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答.
【详解】如图所示，连接，
由点P是的重心，点D是边的中点，可知P在上，
所以，，又，
所以，因此；
又，所以，
所以；
设的面积为，则的面积为，的面积为，
因为四边形的面积为6，
即，解得；
所以的面积为9，
因此的面积是18.
故选：B.
5. 根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（ ）
A. 解的整数部分是，十分位是 B. 解的整数部分是，十分位是
C. 解的整数部分是，十分位是 D. 解的整数部分是，十分位是
【答案】B
【解析】
【分析】通过观察表格可得时，，即可求解.
【详解】由表格可知，
当时，，
当时，，
∴时，，
∴解的整数部分是，十分位是.
故选：B.
6. 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律.
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A. 2或4 B. 2或 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由规律可得：，令，，可得，再解方程即可.
【详解】由规律可得：，
令，，∴，
∵，∴，∴，∴或，
故选：A
7. 如图，是的外接圆，连接，若，则的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得出.
【详解】
在优弧上取一点，连接
四边形内接于，且
又
故选：C.
8. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是.
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】对于①：根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；对于②：点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；对于③：设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；对于④：设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断.
【详解】对于①：因为，，所以，
所以，则是点的“倍增点”；
因为，，所以，
所以，则是点的“倍增点”；故①正确，符合题意；
对于②：设点，因为点A是点的“倍增点”,所以，
解得：，所以，故②不正确，不符合题意；
对于③：设抛物线上点是点的“倍增点”，所以，
整理得：，所以因，所以方程有两个不相等实根，
即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；故③正确，符合题意；
对于④：设点，因为点是点的“倍增点”，所以，因为，，
所以，
因为，所以的最小值为，所以的最小值是，故④正确，符合题意.
综上：正确的有①③④，共3个.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入.小莹同学通过登陆国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对28个省份的分配额度（亿元），并对数据进行整理和分析.图1是反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图，且在这一组分配的额度分别是：25，28，28，30，37，37，38，39，39.图2是反映年中央财政脱贫专项资金对自治区和自治区的分配额度变化折线图.则下列说法中正确的是（ ）
A. 2020年，中央财政脱贫专项资金对各省份的分配额度的中位数为37.5亿元
B. 2020年，某省获得分配额度为95亿元，该额度在28个省份中由高到低排第六名
C. 2016-2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区的分配额度逐年增加
D. 2016-2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区的分配额度比对自治区的稳定
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，观察频数分布直方图，结合已知信息求出第14､第15位分配的额度，取平均值即可求得中位数；B选项，根据频数分布直方图判断95亿元所排名次即可；C选项，观察自治区A的分配额度折线图可判断；D选项，观察自治区A､B的分配额度折线图可判断.
【详解】A选项，将这28个省､直辖市､自治区分配扶贫资金额度从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，
其中第14个数为37，第15个数为38，故（亿元），
因此中位数是37.5亿元，故说法正确；
B选项，由频数分布直方图可知，的有2个省，的有2个省，
的有1个省，而95亿元在且只有1个省，
因此它位于第六名；故B说法正确；
C选项，由统计图可知，年，中央财政脱贫专项资金对自治区的分配额度逐年增加，故C说法正确；
D选项，由两个自治区年中央财政脱贫专项资金变化情况的折线统计图可直观得到，
自治区的比自治区的变化､波动要大，
所以中央财政脱贫专项资金对自治区的分配额度比对自治区的稳定，故D说法错误.
故选：ABC.
10. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图.图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C､D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D.若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 当与相切时， D. 当时，
【答案】AC
【解析】
【分析】如图，由题意可得：，，，，从而可判断A，B，如图，当与相切时，求解，可得，可判断C；当时，如图，可得，，，可判断D.
【详解】如图，由题意可得：
，，，，
∴，故A符合题意；
，故B不符合题意；
如图，当与相切时，∴，
∴，∴，故C符合题意；
当时，如图，∴，
∴，，
∴，故D不符合题意.
故选：AC
11. 如图，在菱形中，按以下步骤作图：
①分别以点和点为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，；
②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接.
则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项：由作法可得AE是CD的垂直平分线，然后结合菱形的性质得出，得出，即可求出的度数；B选项：由题意可得AB是DE的两倍，然后结合三角形面积的求法即可判断出；C选项：由题意求出DE的长度，然后根据30°角直角三角形的性质求出AE的长度，然后在三角形ABE中利用勾股定理即可求出BE的长度；D选项：作交BC的延长线于H，设AB的长度为4a，然后根据题意表示出EH和BH的长度，即可求出的值.
【详解】由作法得AE垂直平分CD，即，，
∵四边形为菱形，∴，，
在中， ，∴，∴，∴A选项的结论正确，符合题意；
∵，，而，
∴，∴B选项的结论正确，符合题意；
若，则，∴，在中， ，
∴C选项的结论错误，不符合题意；
作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，
设，则，， ，在中，，∴， ，
∴，∴D选项的结论正确，符合题意.
故选：ABD.
【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质等知识.
12. 二次函数的顶点为P，其图像与x轴有两个交点，，交y轴于点以下说法中正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 当时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得是顶角为的等腰三角形
D. 抛物线上存在点N，当为直角三角形时，有
【答案】ACD
【解析】
【分析】二次函数与x轴有两个交点，，交y轴于点代入抛物线，
解方程组，可得可判断A；
由，可得抛物线解析式为，抛物线的顶点由，可求，由，可判断B；
先在第一象限内作求出点代入抛物线验证可判断C；
由点N在抛物线上，为直角三角形，，以为直径作，点N在上，与抛物线有交点，交点就是点N，当点P在上或外，抛物线与只有3个交点，或4个交点，存在直角三角形，可得即，解得，可判断D.
【详解】对于A选项：因为二次函数与轴有两个交点，交轴于点，
所以，所以，解得，
，故选项A正确；
对于B选项：如下图所示：
∵，∴，设抛物线解析式为，∴抛物线的顶点，∵A､B两点关于对称轴对称，，∴，，设抛物线的对称轴与轴交于G，则，
∴，∴，故选项B错误；
对于C选项：如下图所示：
第一象限内作，过点M作轴于H， ，所以
，所以点 ，当时，，
∴点M在抛物线上，点M关于抛物线的对称轴对称点也在抛物线上，故选项C正确；
对于D选项：如下图所示：
∵点N在抛物线上，为直角三角形，，以为直径作，点N在上，∴与抛物线有交点，交点就是点N，当点P在内，抛物线与只有两个交点，不存在直角三角形，当点P在上或外，抛物线与只有3个交点，或四个交点，存在直角三角形，所以即解得，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：利用抛物线的性质，抛物线内接等腰三角形，内接直角三角形，锐角三角函数，以及辅助圆的点与圆的位置关系解题是关键.
第Ⅱ卷
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若、是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求得所求代数式的值.
【详解】因为、是一元二次方程的两个根，则，
上述两个等式相加可得.
故答案：.
14. 若，，则的值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂的乘方逆运算和同底数幂的除法逆运算法则解答即可.
【详解】；
故答案为：.
15. 若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是___________.
【答案】4
【解析】
【分析】先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案.
【详解】解不等式①得：，解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，∴，解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，∴
解得：，即，，且为整数，
即，且a为奇数.
∴a的取值范围是，且a为奇数，
∴a可以取：1，3，∴.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键.
16. 如图，直线与函数（）的图象只有一个公共点A，且直线与x轴､y轴分别交于B､C两点，过点A分别作x轴､y轴的垂线，垂足分别为D､E，则下列说法正确的有___________（将正确的序号填在横线上）.
①；
②点恒在抛物线上；
③是定值；
④矩形面积为定值；
⑤和的面积之和为定值.
【答案】①②④⑤
【解析】
【分析】分别求解， ，即可根据直角三角形的性质判故①，根据即可判断②；根据即可判断③错误；由反比例函数k的几何意义即可判断的④；根据面积间的关系即可判断⑤.
【详解】令直线，得，即B的坐标为，
令，，即C的坐标为，令，得①，
∵与（）的图象只有一个公共点A，
∴，∴方程①的解，
∴A的坐标为，∴A为的中点，即，
由直角三角形斜边中线等于斜边一半得：，故①正确；
∵，∴点恒在抛物线上，故②正确；
∵，∴的值与b相关，不是定值，故③错误；
由反比例函数k的几何意义得：矩形面积为2，恒为定值，故④正确；
∵的面积，
∴和的面积之和的面积矩形面积，恒为定值，故⑤正确.
故答案为：①②④⑤.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出演算步骤.
17. 回答下列各题：
（1）计算：.
（2）求不等式组的解.
（3）先化简，再求值，其中x的值是方程的根.
【答案】（1）；
（2）；
（3），.
【解析】
【分析】（1）先化简绝对值，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数，二次根式的化简与乘方运算，再合并即可；（2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式的解集的公共部分即可；（3）先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算得到化简的结果，再解一元二次方程结合分式有意义的条件确定的值，再代入计算即可.
【小问1详解】
原式
；
【小问2详解】
由不等式①得：；
由不等式②得：；
∴原不等式组的解集为：；
【小问3详解】
原式
；
解方程
得
，；
，
原式.
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握以上基本运算的运算法则与解题步骤是解本题的关键.
18. 图1是“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度.他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，.请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离.（结果精确到.参考数据：，）
【答案】
【解析】
【分析】过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，分别解作出的直角三角形即可解答.
【详解】如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，
∴四边形、四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，则，
∴，
答：展板最高点A到地面的距离为.
19. 2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动.A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理､描述和分析，得到如下信息：
信息一：
甲小区3月份用水量频数分布表
用水量（x/）
频数（户）
4
9
10
5
2
信息二：甲､乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
甲小区
乙小区
平均数
9.0
9.1
中位数
9.2
a
信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）___________；
（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，大小，并说明理由；
（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数；
（4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率.
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）甲小区有40户，乙小区有50户
（4）
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可；
（2）根据题意分别求出3月份用水量低于平均数的户数，再计算进行比较即可；
（3）用总户数乘以不低于所占的比例即可求解；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有8种，再由概率公式求解即可.
【小问1详解】
∵随机抽取了30户居民，故中位数是数据从小到大排列的第15个和第16个的平均数；
根据条形统计图可知：用水量在的有3户，用水量在的有11户，
用水量在的有10户，用水量在的有4户，
用水量在的有2户，故中位数是在第三组中，且是第三组中第1个和第2个的平均数，
∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6.
∴乙小区3月份用水量的中位数是；
【小问2详解】
在甲小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.0；
低于本小区平均用水量的户数为（户），
故在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；
在乙小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.1；
低于本小区平均用水量的户数为（户），
故在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；
∵，故.
【小问3详解】
甲小区3月份用水量不低于的总户数为（户），
乙小区3月份用水量不低于的总户数为（户），
即甲小区3月份用水量不低于的总户数有40户，
乙小区3月份用水量不低于的总户数有50户.
【小问4详解】
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，
∴抽取的两名同学都是男生的概率为.
20. 某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本､销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：.
（1）若将10万元资金投入A项目，一年后获得收益是多少？
（2）若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
（3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【答案】（1）4万元 （2）
（3）当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元
【解析】
【分析】（1）把代入可得答案；
（2）当时，可得，再解方程可得答案；
（3）设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，，而，再利用二次函数的性质可得答案.
【小问1详解】
∵投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为，
当时，（万元）；
【小问2详解】
∵对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，
∴，整理得：，解得：，（不符合题意），∴m的值为8.
【小问3详解】
设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，
∴，而，
∴当时，（万元），
∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元.
21. 如图，在正方形ABCD中，.求证：.
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
∴.
∵，∴.
∴.∴.
∴.∴.
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
（1）【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且.试猜想的值，并证明你的猜想.
（2）【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，，，点E､F､G､H分别在线段AB､BC､CD､DA上，且.则___________.
（3）【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，，，，点E､F分别在线段AB､AD上，且.求的值.
【答案】（1）1；证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）过点A作交BC于点M，作交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD，，求证即可.
（2）过点A作交BC于点M，作交CD的延长线于点N，利用在矩形ABCD中，，，求证.再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；
（3）先证是等边三角形，设，过点，垂足为，交于点，则，在中，利用勾股定理求得的长，然后证，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求
【小问1详解】
，
理由为：过点A作交BC于点M，作交CD的延长线于点N，
∵四边形是正方形，∴，，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，∴，，
在正方形中，，
∵，∴，∴，
在和中，，，
∴∴，即，∴；
【小问2详解】
过点A作交BC于点M，作交CD的延长线于点N，
∵四边形是矩形，∴，，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，∴，，
在矩形中，，，
∵，∴，∴.∴，∴，
∵，，，，
∴，∴；故答案为：
【小问3详解】
∵，，
∴是等边三角形，∴设，
过点，垂足为，交于点，则，
在中，，
∵，，∴，，
又∵，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即.
【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题.
22. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点的距离，始终等于它到定直线上的距离（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程.其中原点O为的中点，例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为.其中.
（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程；
（2）【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
（3）【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点，若求a的值；
（4）【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把点C称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l与y轴交于点，E为线段的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当时，求出的面积值.
【答案】（1），
（2）或
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；
（2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；
（3）如图所示，过点B作轴于D，过点A作轴于E，证明，推出，则，点B的纵坐标为，从而求出，证明，即可求出点A的坐标为，再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；
（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作于N，则，先证明是等腰直角三角形，得到，设点M的坐标为，则，求出，然后根据黄金分割点的定义求出，则；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时的面积.
【小问1详解】
由题意得抛物线的焦点坐标和准线l的方程分别为.
【小问2详解】
由题意得抛物线的准线方程为，
因为点到准线的距离为6，所以点的纵坐标为4，
∴当时，，解得，∴点P的坐标为或.
小问3详解】
如下图所示：
过点B作轴于D，过点A作轴于E，
由题意得点F的坐标为，直线l的解析式为：，
∴，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴点B的纵坐标为，
∴，解得（负值舍去），∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴点A的坐标为，∴，∴，∴，解得（负值舍去）；
【小问4详解】
如图下图所示：
当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作于N，则，
∵在中，，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，
设点M的坐标为，∴，∴，∴.
∵点E是靠近点F的黄金分割点，
∴，∴；
同理当E时靠近H的黄金分割点点，，
∴，∴，
综上所述， 或.
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