四川省成都棠湖外国语学校2023-2024学年高一数学上学期入学考试试题（Word版附解析）

成都棠湖外国语学校高2023级入学考试

数学试题（求实班）

本卷满分150分，考试时间120分钟

注意本项：

1．考试前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在试卷和答题卡规定的位置.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后、再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3．考试结束后，监考人员将答题卡收回.

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 二次函数的顶点坐标、对称轴分别是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据配方法将一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解；

【详解】原式化成顶点式，

顶点坐标是,对称轴是过点且平行于轴的直线.

故选:A.

2. 如图，已知是的切线，为切点，是的直径，，则的大小是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】连接，先求出，再根据即可得解.

【详解】连接，

因为是的切线，所以，

又，则，

因为，所以.

故选：D.

3. 若二次根式有意义，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解.

【详解】若二次根式有意义，

则，解得.

故选：C.

4. 如果关于的一元二次方程中，是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据求出的取值，再根据概率即可得解.

【详解】若关于的一元二次方程有两个不等实数根，

则，解得或，

又是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），

故此时，

所以该二次方程有两个不等实数根的概率.

故选：A.

5. 下列事件中是不可能事件的是（    ）

A. 抛一枚硬币正面朝上 B. 三角形中有两个角为直角

C. 打开电视正在播广告 D. 两实数和为正

【答案】B

【解析】

【分析】根据必然事件、不可能事件、不确定事件即随机事件的定义解答即可．

【详解】A．抛一枚硬币正面朝上是随机事件，故A错误；

B．三角形中有两个角为直角是不可能事件，故B正确；

C．打开电视正在播广告是随机事件，故C错误；

D．两实数和为正是随机事件，故D错误．

故选：B．

6. 二次函数上有，，，，当时，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先判断出点关于二次函数的对称轴对称，再求出，代入函数解析式即可得解.

【详解】因为，，

所以点关于二次函数的对称轴对称，

所以，

当时，.

故选：D.

7. 如图，的直径，弦，垂足为．若，则的长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出，进而可求得，再利用勾股定理求出，即可得解.

【详解】连接，

因为的直径，所以，

因，所以，

因为，垂足为，

所以，

所以.

故选：C.

8. 用12个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，标有正确小正方体个数的俯视图是（    ）

A.    B.  

C.    D.  

【答案】A

【解析】

【分析】根据俯视图得定义即可得解.

【详解】从上面一行看可得三列小正方形的个数从左至右依次为，

从中间一行看可得到两列小正方形的个数从左至右依次为，

从下面一行看可得到一列小正方形的个数，

由此可判断选项为A.

故选：A.

9. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分类讨论进行求解.

【详解】解：对一切实数都成立，

①时，恒成立，

②时，，解得，

综上可得，，

故选：C.

10. 如图，已知两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，半径为1．若是上的一个动点，线段与轴交于点E，则面积的最小值是（    ）

A. 2 B. 4 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意首先确定三角形面积最小时点的位置，然后结合圆的性质和三角形相似的性质可得最大的面积值.

【详解】若面积的最小，则与相切，

如图，当与相切时，连接，则，

在中，，

，

由勾股定理可得，

在和中，

因为，所以，

所以，

所以，所以，

所以，

所以.

故选：C.

11. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A. 或 B.

C  D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】由的两根为，得出，再由一元二次不等式的解法得出答案.

【详解】因为不等式的解集为，

所以的两根为，即，解得.

所以不等式可化，其解集为或.

故选：A

12. 如图，拋物线的对称轴是直线，并与轴交于两点，若，则下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则，其中正确的是（    ）

A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④

【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线的开口可得，与轴的交点在下方可得，抛物线的对称轴可得可判断①；设，，由可得，从而，可判断②③④.

【详解】因为抛物线的开口向上，所以，与轴的交点在下方，所以，

抛物线的对称轴是，可得，所以，故①错误；

设，，抛物线对称轴是，

即，可得，

因为，所以，可得，

所以，即，

可得，故②正确；

可得，故③正确；

因为，若为任意实数，

则，故④正确.

故选：B.

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共20分）

13. 分解因式_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据提公因式法和平方差公式求解即可.

【详解】

.

故答案为：.

14. 函数中，自变量x的取值范围是_________．

【答案】且

【解析】

【分析】根据分母不等于零，开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解.

【详解】由题意，，解得且，

所以自变量x的取值范围是且.

故答案为：且.

15. 已知反比例函数的图象经过点，则此函数的关系式是_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意直接代入运算求解即可.

【详解】因为反比例函数的图象经过点，则，解得，

所以函数的关系式是.

故答案为：.

16. 如图，在中，，，如果的半径为，且经过点，那么线段_________．

【答案】或

【解析】

【分析】连接，设直线与交于点，先求出，再利用勾股定理求出，再分点与点位于的同侧和异侧两种情况讨论即可得解.

【详解】连接，设直线与交于点，

由题意可得，，

因为，，

所以，故，

由勾股定理可得，

则当点与点位于的同侧时，，

当点与点位于的异侧时，，

所以线段或.

故答案为：或.

17. 已知函数，计算_________．

【答案】

【解析】

分析】先求出，再观察所求，倒序相加即可得解.

【详解】由，得，

令，

则，

两式相加得，

所以.

故答案为：.

三、解答题（共6小题，共82分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. （1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来；

（2）先化简，再求值：已知，求的值．

【答案】（1），数轴见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）根据一元一次不等式组的解法求解即可；

（2）由分式的运算法则化简，再把代入即可.

【详解】（1）由，

解①得，解②得，

所以不等式的解集为，

在数轴上表示如图所示，

（2）

，

因为，所以原式.

19. 如图，在正方形中，分别是边上的点，，，连接并延长交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若正方形的边长为4，求的长．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得证；

（2）由，可得，再根据求出，即可得解.

【小问1详解】

因为四边形为正方形，

所以，，

因为，所以，

因为，所以，

所以，

所以；

【小问2详解】

因为四边形为正方形，

所以，所以，

又因，正方形的边长为4，

所以，所以，

所以.

20. 已知关于的方程.

（1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根；

（2）若等腰三角形的一边长，另两边的长、恰好是这个方程的两个根，求三角形的周长.

【答案】（1）证明见解析；（2）三角形周长为.

【解析】

【分析】（1）计算出可证得结论成立；

（2）分两种情况讨论：①或中至少有一个等于；②.求出的值，可求得和的值，进而可求得的周长.

【详解】（1），

所以：无论取何值，关于的方程总有实数根；

（2）三角形为等腰三角形，可能有两种情况：

①或中至少有一个等于，即：方程有一根为，

则，解得.

方程为，另一根为，此时三角形周长为；

②时，，解得，

方程为，得，则，此时不能构成三角形.

综上，三角形周长为.

【点睛】本题考查一元二次方程根的情况的判断，同时也考查了一元二次方程根与系数关系的应用，考查计算能力，属于中等题.

21. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为．

（1）求与的函数关系式；

（2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少？

（3）能围成比更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）   

（3）能围成比更大的花圃，最大面积为

【解析】

【分析】（1）利用矩形的面积公式建立函数关系式即可；

（2）根据函数关系式，令，解一元二次方程，注意墙的最大可用长度为；

（3）利用函数解析式，根据函数的性质及自变量的取值范围求出最大值即可.

【小问1详解】

解：由题意得，

即；

【小问2详解】

解：当时，

则，解得或，

当时，符合题意，

当时，，不符合题意，舍去，

所以如果要围成面积为的花圃，的长是；

【小问3详解】

解：，

由题意可得，得，

又当时，随增大而减小，

所以当时，，

所以能围成比更大的花圃，最大面积为.

22. 已知抛物线经过，两点，与轴交于点C，直线与抛物线交于两点．

（1）写出点的坐标并求出此抛物线的解析式；

（2）当原点为线段的中点时，求的值及两点的坐标；

（3）是否存在实数使得的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）；   

（3）存在，或

【解析】

【分析】（1）根据坐标轴上点的特征以及待定系数法进行求解即可；

（2）联立和，根据根与系数的关系推出再根据题意易求得，将其代入，进而求得点A和点B的坐标；

（3）结合图形可知利用根与系数的关系进行代入求解即可．

【小问1详解】

令抛物线中，则，

∴点C的坐标为，

∵抛物线经过，两点，

代入得，

解得，

∴抛物线的解析式为

【小问2详解】

将代入得：，

整理得：，

∴

∵原点O为线段AB的中点，

∴，

解得，

将代入，

解得：

∴,

故当原点O为线段AB的中点时，k的值为-2，点A、B坐标分别为；

小问3详解】

假设存在，

由（2）可知

根据题意，

解得，

∴，

∴或，

故存在或，使得的面积为．

23. 已知函数，是否存在实数，使得当时，函数有最小值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【答案】或

【解析】

【分析】求出函数的对称轴为，再分，和三种情况讨论求出最小值，即可得解.

【详解】函数的对称轴为，

当，即时，随增大而增大，

则时，函数取得最小值，

则，解得或，

又，所以；

当，即时，随增大而减小，

则时，函数取得最小值，

即，解得，

又，所以；

当，即时，

则时，函数取得最小值，

即，解得，

又，所以此时不存在，

综上所述，或.