四川省成都外国语学校2023-2024学年高三上学期入学考试数学（理科）试卷

成都外国语学校2023–2024学年度高2021级高三上学期入学考试

数学试卷（理科）

考试时长：120分钟  满分：150分

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．底面半径为1的圆锥的侧面展开扇形面积是它的底面积的两倍，则母线长为（    ）

A．1 B． C．2 D．

3．已知，则z的共轭复数（    ）

A． B． C． D．

4．已知为抛物线上一点，为抛物线焦点，，点到轴的距离为6，则（    ）

A．2 B．8 C．6 D．10

5．水稻是世界上最重要的粮食作物之一，也是我国以上人口的主粮．以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明”．育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献．在应用该技术的两块面积相等的试验田中，分别种植了甲、乙两种水稳，观测它们连续6年的产量（単位：）如表所示：甲、乙两种水稻连续6年产量

根据以上数据，下列说法正确的是（    ）

A．甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数小

B．甲种水稻产量的中位数比乙种水稳产量的中位数小

C．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等

D．甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定

6．若实数x，y满足，则的最大值为（    ）

A．8 B．6 C． D．

7．在上随机取一个数，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．第十四届全国人民代表大会于3月5日至13日在北京召开，政府工作报告总结了过去五年的巨大成就，绘就出未来五年的美好蓝图，既鼓舞人心，又催人奋进．为学习贯彻会议精神，现组织4名宣讲员宣讲会议精神，分配到3个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（    ）

A．72 B．12 C．36 D．24

9．我国魏晋时期的数学家刘徽用“割圆术”科学地求出了圆周率的结果．他的方法是从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正十二边形、正二十四边形……割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，他通过计算正3072边形的面积估算出了的值．某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计了如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于、两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

11．设，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

12．如图，在棱长为1的正方体中，点分别在线段和上．给出下列四个结论中所有正确结论的个数有（    ）个

①的最小值为1

②四面体的体积为

③存在无数条直线与垂直

④点为所在边中点时，四面体的外接球半径为

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．在2023年8月15日，成都市物价部门对金牛区5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：，则______．

14．若的二项展开式中的系数是－16，则实数的值是______．

15．若函数在上单减，则实数的取值范围为______．

16．已知函数与轴有两个交点，则实数的取值范围为______．

三、解答题（共70分）

17．已知函数，

（1）当时，求的最值；（2）求的单调区间．

18．2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：、、、…、，统计结果如图所示：

（1）试估计这100名学生得分的平均数；

（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在的人数为，试求的分布列和数学期望．

19．如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点（不包含端点）．

（1）若为的中点，求证：平面；

（2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．

20．已知椭圆的离心率为，，是的左、右焦点，是的上顶点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）A是椭圆的右顶点，斜率为的直线与交于两点（与不重合）．设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值．

21．已知函数，．

（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值；

（2）设，若有两个极值点为，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．

22．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线的参数方程为：（为参数），直线与曲线分别交于两点．

（1）写出曲线和直线的普通方程；

（2）若点，求的值．

成都外国语学校高2021级高三上学期入学考试

数学答案（理科）

考试时长：120分钟   满分：150分

一、选择题（每小题5分，共60分）

1－5：BCDBB    6－12：AACBB   DB

二、填空题

13．40   14．2   15．   16．

三、解答题

17．【详解】（1）当时定义域为，

则，所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极小值即最小值，即，无最大值．

（2）定义域为，且，

当时恒成立，所以在上单调递减，

当时，令解得，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

综上可得：当时在上单调递堿；

当时在上单调递减，在上单调递增．

18．【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：

分．

（2）由频率分布直方图的数据，可得，，［90，100]的人数之比为6：3：2，

∴在分组中抽6人，在分组中抽3人，在［90，100]分组中抽取2人，

∴的可能取值为0，1，2，

则，，，

∴的分布列为：

．

19．【详解】（1）分别取中点，连接，

则为的中位线，∴，，

又，，∴，，

∴四边形为平行四边形，∴，

又平面，平面，∴平面．

（2）以为坐标原点，，，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，

∴，，，

设，则，

∴，

令平面的法向量为，

则，令，则，，∴；

又平面的一个法向量，

∴，

解得：或（舍），∴，∴，即的长为．

20．【详解】（1）由已知得点，，，则，

∴①又由有，∴，即②

联立①②解得，，∴，故椭圆的方程为．

（2）设点，，，直线的方程为，

联立整理得：，

则，即

由韦达定理得：，，（*）

又点，，则，，故，

将，代入整理得：，

将（*）代入得：

因为，所以，即，解得或

因为与不重合，所以，故

所以，（**）

所以，

将（**）代入得，故．

21．【详解】（1）的定义域为，

由，得，则，

因为经过点的直线与函数的图像相切于点，

所以，所以，解得，

（2），则，

因为有两个极值点为，，

所以在上有两个不同的根，

此时方程在上有两个不同的根，

则，且，，解得，

若不等式恒成立，则恒成立，

因为

不妨设，则，

因为，所以，所以在上递减，所以，

所以，即实数的取值范围为．

22．【详解】（1）将等号两边同时乘以可得，

所以；即；所以曲线的普通方程为；

将：消去参数可得，，整理得；

即直线的普通方程为

（2）注意到在直线上，直线倾斜角为，，∴，，，，∵，解得，，

所以直线参数方程为（为参数），

联立的直角坐标方程与的参数方程得

整理得，设方程的解为，，则，，、异号．

不妨设，

有．