山东省潍坊市六县区2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022-2023学年度下学期期中质量监测高一数学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由诱导公式进行求解.

【详解】.

故选：C

2. “角是第三象限角”是“”的（    ）．

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可.

【详解】当角是第三象限角时，

，，

于是，

所以充分性成立；

当，即时，

角是第二或第三象限角，

所以必要性不成立，

故选：A．

3. 为了得到函数的图像，只需把的图像上的所有点（    ）

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移1个单位 D. 向右平移1个单位

【答案】B

【解析】

【分析】由即可比较判断.

【详解】，故只需把的图像上的所有点向右平移个单位.

故选：B

4. 下列是函数的对称中心的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求出函数的对称中心，逐个检验即可得出答案.

【详解】由可得，，

所以，函数的对称中心的是，.

对于A项，由，可得，故A项错误；

对于B项，由，可得，故B项错误；

对于C项，由，可得，故C项错误；

对于D项，由，可得，故D项正确.

故选：D.

5. 已知D是的边BC上的点，且，则向量（    ）.

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的加减法以及数乘的运算，可得答案.

【详解】由题意作图如下：

由，则，

.

故选：C.

6. 函数的图象大致是(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AC，再判断函数在上的符号，排除D，即可得答案．

【详解】∵f(x)定义域[－1，1]关于原点对称，且，

∴f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，故AC不符题意；

在区间上，，，则有，故D不符题意，B正确.

故选：B．

7. 向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据投影向量的求解公式即可求解.

【详解】在向量上的投影向量为.

故选：B

8. 某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为的线段，并作等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，；以此类推，得到的螺线如图所示.当螺线与直线有个交点（不含点）时，则螺线长度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，找到螺线画法的规律，确定每次划线时圆弧的半径以及圆心角，结合扇形的弧长公式可求得结果.

【详解】第1次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，划过的圆弧长为；

第2次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，

划过的圆弧长为，交累计1次；

第3次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，

划过的圆弧长为3，交累计2次；

第4次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，

划过的圆弧长为；

第5次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，

划过的圆弧长为，交累计3次；

前5次累计画线；

第6次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，

划过的圆弧长为，交累计4次，累计画线.

故选：A.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 以下各式化简结果正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据三角函数的同角基本关系和诱导公式逐一判断即可.

【详解】，故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，故D错误；

故选：ABC

10. 下列说法错误的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则存在唯一实数使得

C. 若，，则 D. 与非零向量共线的单位向量为

【答案】ABC

【解析】

【分析】由数量积定义可知A错误；通过反例可确定BC错误；根据单位向量和共线向量定义可确定D正确.

【详解】对于A，若，则，无法得到，A错误；

对于B，若，，则，此时不存在满足的实数，B错误；

对于C，若，则，，无法得到，C错误；

对于D，，由单位向量和共线向量定义可知与共线的单位向量为，D正确.

故选：ABC.

11. 已知函数在上是单调函数，则下列结论中正确的有（    ）

A. 当时，的取值范围是

B. 当时，的取值范围是

C. 当时，的取值范围是

D. 当时，的取值范围是

【答案】AD

【解析】

【分析】根据题意，结合正弦函数图像的周期性与单调性，即可求解.

【详解】根据题意，易知，即，因此.

当时，，因，所以，

又因为函数在上是单调函数，所以，

解得，故A正确，C错误；

当时，，因为，所以，

又因为函数在上是单调函数，所以，

解得，故B错误，D正确.

故选：AD.

12. 小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”.小明是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中水滴的轴截面（如图），该水滴轴截面由线段AB，AC和优弧BC围成，设优弧BC所在圆的圆心为O，半径为R，其中，AB，AC与圆弧相切，已知水滴轴截面的水平宽度与竖直高度之比为，则（    ）

A. 优弧BC的长度 B.

C.  D. “水滴”的轴截面的面积为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据条件可得，即可求出的长度，然后在中可得的大小，然后可算出优弧BC的长度、“水滴”的轴截面的面积，即可选出答案.

【详解】 

连接，

因为水滴轴截面的水平宽度与竖直高度之比为，水平宽度为，竖直高度为，

所以，所以，故B正确，

因为AB，AC与圆弧相切，所以，

在中，，，，所以可得，故C正确，

所以优弧BC的长度，故A错误，

“水滴”的轴截面的面积为，故D正确，

故选：BCD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量，．若向量与平行，则＝________.

【答案】

【解析】

【分析】

运用向量加法公式和向量平行公式即可.

【详解】向量， ，所以，

若向量与平行，可得 ，解得.

故答案为:

14. 已知，且，则____________.

【答案】##2.2

【解析】

【分析】由，且，得到求解.

【详解】解：因为，且，

所以，

所以，

故答案为：

15. 已知，____________.

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数的奇偶性，结合奇函数的性质，可得答案.

【详解】令，

由与为奇函数，则，

则

.

故答案为：.

16. 设正八边形的外接圆半径为，圆心是点，点在边上，则____________；若在线段上，且，则的取值范围为____________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】分析可知为线段的中点，可化简得出，再利用平面向量数量积的定义可求得的值；以点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算可出关于的线性表达式，即可得出的取值范围.

【详解】由正八边形的对称性可知，为线段的中点，

则，所以，，

故；

在正八边形中，，则，

以为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、、，

所以，，，，，

设，其中，则

，

因为，即

，

所以，，即.

故答案为：；.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知点（其中）在角的终边上，，且是第            象限角.从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并据此解答以下问题：

（1）求、、的值；

（2）在（1）的条件下化简并求值：.

【答案】（1）条件选择见解析，答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义结合可求得的值，根据的取值确定角终边的位置，再结合三角函数的定义可求得、的值；

（2）利用诱导公式结合切化弦可求得所求代数式的值.

【小问1详解】

解：因为点（其中）在角的终边上，

由三角函数定义可得，解得，

故为第一或第四象限角，

若选①：若为第一象限角，则，则，；

若选④：若为第四象限角，则，则，.

【小问2详解】

解：

.

18. 设，是平面内不平行的非零向量，，.

（1）证明：，组成平面上向量的一组基底；

（2）请探究是否存在实数k，使得和平行？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）证明不共线即可；

（2）设，然后可建立方程组求解即可.

【小问1详解】

假设共线，设，

则，

因为，是平面内不平行的非零向量，所以，无解，

所以不共线，所以，组成平面上向量的一组基底，

小问2详解】

假设存在实数k，使得和平行，

设，则，

因为，是平面内不平行的非零向量，所以，解得，

所以存在实数k，使得和平行，.

19. 在一次研究性学习中，小华同学在用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：

（1）请利用上表中的数据，写出的值，并求函数的单调递减区间；

（2）将函数的图像向右平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若在上恒成立，求实数λ的取值范围.

【答案】（1），函数的单调递减区间为；   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据表格中的数据求出的解析式即可；

（2）首先根据函数图像的变换求出的解析式，然后求出的值域，然后由可得，然后可得答案.

【小问1详解】

由表格中数据可得，，解得，

所以，

所以，

令，解得，

所以函数的单调递减区间为，

【小问2详解】

将函数的图像向右平移个单位，得到的图像，

再把所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，

由可得，

当时，，

因为在上恒成立，所以，解得.

20. 已知向量，.

（1）求、和的值；

（2）令，，若存在正实数和，使得，求此时的最小值.

【答案】（1），   

（2）当，时，，且的最小值为

【解析】

【分析】（1）化简平面向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得、的值，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值；

（2）由可得出，化简可得出，利用基本不等式可求得的最小值，利用基本不等式成立的条件可求得、的值.

【小问1详解】

解：由题意可得，

则，，

.

【小问2详解】

解：因为，，且，

则，

所以，，

若存在正实数和，使得，

由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，此时，的最小值为.

21. 北方某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且.

（1）设∠BOE＝α，试将 的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；

（2）在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用.

（备用公式：，）

【答案】（1）   

（2）当米时，照明装置费用最低，最低费用为元.

【解析】

【分析】（1）根据三角函数定义及勾股定理，可表示出三边，进而周长l表示成α的函数关系式，根据点E、F的极限位置求出函数的定义域；

（2）利用三角函数换元法，令，，再利用函数单调性求出的范围，可解此题.

【小问1详解】

在中，由，可得，

在中，由，可得，

又在中，由勾股定理得

，

所以，

当点F在点D时，此时α的值最小，，

当点E在点C时，此时α的值最大，，

故函数的定义域为；

【小问2详解】

根据题意，要使费用最低，只需最小即可，

由（1）得，

设，则，

则，

由，得，

令，易知在上为增函数，

所以当时，最小，且最小值为，此时，

所以当米时，照明装置费用最低，最低费用为元.

22. 已知函数的图象相邻两条对称轴间的距离为，且过点.

（1）若函数是偶函数，求的最小值；

（2）令，记函数在上的零点从小到大依次为、、、，求的值；

（3）设函数，，如果对于定义域D内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，若恒有成立，则称函数是上的级周期函数，周期为.是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论.

【答案】（1）   

（2）   

（3）存在，且满足题意，其中满足，证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意求出函数的最小正周期，可求得的值，再根据函数的图象过点结合的取值范围，可求得的值，求出的表达式 ，根据该函数为偶函数可得出的等式，即可求得的最小值；

（2）由已知可得，令，则，作出直线与函数在上的图象，利用对称性可求得的值；

（3）分析可知，恒有成立，且有，分析可得，分别讨论关于的方程或的解是否存在，在第一种情况下，可得出恒成立，可得出的值；在第二种情况下，利用数形结合可得出结论.

【小问1详解】

解：因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，

所以，函数的最小正周期为，

因为，则，所以，，

又因为函数的图象过点，则，

因为，所以，，

因为函数为偶函数，

所以，，解得，

故当时，取最小值，且其最小值为.

【小问2详解】

解：由，可得，

因为，则，

令，则，所以，，，

设，如下图所示：

由图可知，直线与函数在上的图象有四个交点，

点、关于直线对称，点、关于直线对称，

点、关于直线对称，

所以，，，，即，

即，解得.

【小问3详解】

解：因为，所以，，

假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数，

即，恒有，

则，恒有成立，

则，恒有成立，

当时，，则，，

所以，，，

要使得恒成立，则有.

当时，则，即，令，其中，

则，，

且函数在上的图象是连续的，

由零点存在定理可知，函数在上有唯一的零点，

此时，恒成立，则，即；

当时，则，即，作出函数、图象如下图所示：

由图可知，函数、的图象没有公共点，

故方程无实数解.

综上所述，存在满足题意，其中满足.