山东省潍坊市六县区2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附答案）

这是一份山东省潍坊市六县区2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题， 解答题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年度下学期期中质量监测
高一数学
本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1. 的值为
A. B. C. D.
2. “角α是第三象限角”是“sinα ·tanα<0”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 为了得到函数，的图象，只需把 的图象上的所有点 A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
4. 函数 图象的一个对称中心是
A. B. C. D.(0,0)
5. 已知D 是△ABC 的边BC 上的点，且BC=3BD, 则向量AD=
A.AB-AC B. C. D. AB+AC
6. 函数f(x)=2xtanx(-1≤x≤1)的图象大致是


A. B. C. D.
7.向量b=(1,2)在向量α=(-1,1)上的投影向量的坐标为
A. B. C. D.
8. 某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下；在水平直线m 上取长度为1的线段AB, 并
作等边三角形ABC, 然后以点B 为圆心， BA 为半径逆时针画圆弧，
交线段CB的延长线于点D; 再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆
弧，交线段AC的延长线于点E; 再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针
高一数学 第1页(共4页)

画圆弧，交线段BA 的延长线于点F; 再 以 点B 为圆心， BF 为半径逆时针画圆弧， …… ;以此类 推，得到的螺线如图所示. 当螺线与直线m 有 4 个 交 点 ( 不 含A 点)时，则螺线长度为
A. 14π B. 30π C. D.
二 、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分 .
9. 以下各式化简结果正确的是
A. B.√I-2sin20°cos20°=cos20°-sin20°
C. sin(-36°)+cos54°=0 D.
10. 下列说法错误的是
A. 若 a ·b=b ·c, 则α=c B. 若 a//b, 则存在唯一实数λ使得a=Ab
C. 若 a//b,b//c, 则 a//c D. 与非零向量a 共线的单位向量为±
11. 已知函数，在(0,π)上是单调函数，则下列结论中正确的有
A. 当 α > 0 时 ， 的取值范围是 B. 当 w<0 时，α的取值范围是
C. 当 w>0 时 ，w 的取值范围是 D. 当α<0时，α的取值范围是 ·
12. 小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成， 被形容为“像一滴圣母的眼泪” .小明是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了 他心目中水滴的轴截面(如图),该水滴轴截面由线段AB,AC 和 优 弧BC 围成，设优弧BC


所在圆的圆心为O, 半径为R,其 中BC⊥AO,AB,AC
切，已知水滴轴截面的水平宽度与竖直高度之比为,

与圆弧相
则

A.优弧BC 的 长 度 R B. OA=2R
D. “水滴”的轴截面的最大面积为1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量a=(-1,2),b=(m,1). 若向量a+b 与a平行，则m= .
14.已 知 ,且α∈[0,π],则2sinα-cosα= 。
15.已知f(x)=2023sinx+2024tanx- 1,f(-2)+f(- 1)+f(0)+f(1)+f(2)= · 16.设正八边形 AA …A 的外接圆半径为1,圆心是点O, 点 P 在边AA₂ 上，则

若P在线段AA上，且AP=xAA+yAA, 则x-y的取值范围为 .


四、 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知点P( √3,m)(其中m≠0)在角α的终边上，, 且 α 是 第
象限角.从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横
线上，并据此解答以下问题：
( 1 ) 求m,cosa,tana 的值；
(2)在(1)的条件下化简并求值： sin(-a)cos(2π+α)tan(2023π+a).
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18. (12分)设e₁ ,e₂ 是平面内不平行的非零向量，α=e₁+e₂ ,b=e₁-2e₂.
(1)证明： a,b 组成平面上向量的一组基底；
(2)请探究是否存在实数k, 使得ke₁+e₂ 和3e₁+ke₂ 平行?若存在，求出k 的值；若不存 在，请说明理由.

19. (12分)在一次研究性学习中，小华同学在用“五点法”画函数

在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：


x

x
₁



x
₂

x
₃


αx+φ

0


π


2π
cos(ox+φ)

1

0

-1

0

1
f(x)
√2

0

y₂

0
√2
(1)请利用上表中的数据，写出x的值，并求函数f(x) 的单调递减区间；
(2)将函数ʃ (x)的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的 纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g|(x)-A |<2在上恒成立，求实数λ的取值范 围 .


20. (12分)已知向量, ,b=(cosθ,-sinθ) ·
(1)求la |, |b |和a-b 的值；
( 2 ) 令m=(t²+4)a+b,n=ta-kb, 若存在正实数k和t, 使得m ⊥n, 求此时的最小值，
21. (12分)北方某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD,如图所示， AB=50 米， BC=25√3 米， 为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE,EF 和 OF,
考虑到整体规划，要求 O 是边AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF=90° .
(1)设∠BOE=α, 试将△OEF 的周长1表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
(2)在(1)的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条
加温带OE 和 OF 上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每
米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使
新加装的智能照明装置的费用最低?并求出最低费用.
(备用公式：




22 . (12分)已知函数 的图象相邻两条对称轴间的距离为
且过点
.

(1)若函数y=f(x+m) 是偶函数，求 |m 的最小值；

( 2 ) 令g(x)=3f(x)+1, 记 函 数g(x) 在 上的零点从小到大依次为

x₁,x₂,…,xn,求x+2x₂+2x₃+ … +2x-₁+x,的值；
(3)设函数y=φ(x),x∈D, 如果对于定义域D 内的任意实数x,对于给定的非零常数P,
总存在非零常数T, 若恒有φ(x+T)=P ·φ(x) 成立，则称函数↵ (x)是D 上的P 级周期函数，
周期为T. 是否存在非零实数A, 使函数，是 R 上的周期为T 的 T 级周
期函数?请证明你的结论 .

高一数学
本试卷共 4 页. 满分 150 分. 考试时间 120 分钟.
2023.4 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
DADC CBBA
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. ABC 10. ABC 11. AD 12 . BCD.
三、填空题
13. - 0.5 14. 15. -5 16. 0 , 1, （第一个空 2 分，第二个空 3 分）
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解:（工）设x = , y = m, 则 r = ，....................................................工 分

因为sin a = m = m ，
m2 + 3 2
所以 m = 土1 ，....................................................2 分
故a 为第一象限或第四象限角；
若选① ,
m = 1, sin a = = , cosa = = , tana = = ；........................................6 分

若选④ , m = - 1, sin a = = - , cosa = = , tana = = - .....................6 分
（2） sin(-a) cos(2π + a) tan (2023π + a )= - sin acosatan a = - sin 2a


1
= -
4

........................................ 10 分

18.解：（1）证明：假设 “ ，b 不能组成平面上向量的一组基底，
所以 “ 与 b 平行，则 b = μa ，....................................................2 分
即 e1 - 2 e2 = μ( e1 + e2 ) ，

(μ = 1
lμ = -2
因为 e1 , e2 不平行，所以〈 ，..................................................5 分

因为该方程组无解，
所以 a ，b 平行不成立，故假设不成立，
所以 a ，b 不平行，故 a ，b 组成平面上向量的一组基底 6 分
（2）若 ke1 + e2 和 3e1 + ke2 平行，
则存在实数λ, 使得 ke1 + e2 = λ( 3e1 + ke2 ) 成立，...............................7 分
(3λ= k
因为非零向量 e1 , e2 不共线，所以〈lλk = 1 ，....................................................9 分
解得： λ= 土 , k = 土 ,.................................................... 11 分
所以存在实数 k = 土 使得 ke1 + e2 和 3e1 + ke2 平行.................................... 12 分
19.解：（1） 由表格根据五点法作图的规律，


+Q =
由表可得 〈 ，解得： Φ = 1 ,Q = π , ...................................................2 分
+Q = 2π 2 4
又 A = ，所以f (x) = cos x +
由 x1 + = 0 ，得x1 = - ，综上： x1 = - ， f (x ) = cos x + ；......................3 分
根据 2kπ < x + < 2kπ + π, k = z, 解得： 4kπ - < x < 4kπ + , k = z,
所以函数f (x) 的单调递减区间为 4kπ - , 4kπ + , k = z. ................................6 分



f (x)
（2）将函数


的图象向右平移

个单位得y = cos x - + = cos x ，

1
再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的 2 ，纵坐标不变得g(x) = cos x；...........7 分

由 g (x ) - λ < 2 得-2 +λ< g(x) < λ+ 2 ，若 g (x ) - λ < 2 在 , 上恒成立，
则〈g(-)x(+))2(mi)n ，....................................................9 分
又当x e , 时， g (x) = cos x e , 1 ，


:〈|(-2 +λ> , |l2 +λ< 1

得- 1 < λ< + 2 ..................................................... 12 分

20.解：（1） 由题意得， a = (sinθ, cosθ) ，................. 1 分
所以|a| = = 1 ，.......................2 分
|b| = = 1 ，...................................4 分
a ·b = sinθcosθ- sinθcosθ= 0 ....................................................6 分
（2）因为 m 」n, 所以 m ·n = t(t2 + 4) a2 -k(t2 + 4) a ·b + t a ·b-kb2 = t(t2 + 4) -k = 0 ,
即 k = t(t 2 + 4)，....................................................9 分

所以
k
t
2
= t +
4
t
之 2 根 2 = 4 ，.................................................... 11 分
当且仅当t = 2, k = 16 时等号成立，
此时 的最小值为 4 ．.................................................... 12 分
21.解:（1） ∵在 RtΔBOE 中，
OB＝25 ，经B=90。，经BOE ＝c, ∴OE = ......................... 1 分


OF = 在 RtΔAOF 中， OA＝25 ，经A＝90。，经AFO ＝c ， ∴

25
sinc .......................2 分



又 经EOF=90。，EF= OE2 + OF2 =

( 25 )2 ( 25 )2
| | + | |
（ cosc) （ sinc)


25
=
,
coscsinc

∴l = OE + OF + EF = co(2)s(5)c + sinc(25) + coscs(25)inc

即 l = 25 (scoscsinc(inc + cosc) +1) .............................4 分

当点 F 在点 D 时，这时角c 最小，求得此时c =





；

点 E 在 C 点时，这时角c 最大，求得此时c = .故此函数的定义域为 , .........6 分


（2） 由题意知，要求照明装置费用最低，
由（1）得， OE+OF = 25(sinc + cosc)
coscsinc

只要求 OE+OF 最小即可.
, c = ,


设 sinc + cosc = t ，则 sinc . cosc = ，



∴


OE + OF =

25(sinc + cosc) coscsinc

25t 50t 50
= = =
t2 _ 1 t2 _ 1 1 ...........................8 分
t _
2 t


由 < c + < ，得 < t < ，



令 f(t) = t _

,可以证明 y = f (t) 在 (0, +伪) 上为增函数,所以当t = 时OE + OF 最小,

,此时c = π ,............................ 10 分
(OE + OF)min = 50 4
所以当 BE ＝AF＝25米时，照明装置费用最低，最低费用为 20000 元. ............ 12 分

22.解：因为函数f(x) 图象的相邻两对称轴间的距离为 ，
所以T = π , 可得负 = 2 ，.................................................... 1 分


所以 f(x) = sin(2x +Q),
又函数 f(x) 的图象过点 (0, )，所以 f(0) = sin Q =



1
2 ,



π

因为Q
,
6
< , 所以Q =

此时 f(x) = sin(2x + ), ....................................................2 分

又 f(x + m) = sin(2x + 2m +) 是偶函数，
所以 2m + = kπ + , 解得 m = + , k e z,
所以当k = 0 时， m 最小，最小值为 . ....................................................4 分
(2)由 g(x) = 0得，sin(2x + ) = 一 ,

「 π 5π] π 「 π 7π]
因为 x e |L一 3 ，3 」| ，所以 2x + 6 e |L一 2 ，2 」| ，....................................................5 分

π 「 π 7π] 1 「 π 7π]
令u = 2x + 6 , u e |L一 2 ，2 」| ，则 sin u = 一 3 , u e |L一 2 ，2 」|，

「 π 7π]
考 查 y = sin u 的 图 象 知 ， 在 u e |L一 2 ，2 」|内 有 4 个 不 同 的 根 u1 , u2 , u3 , u4 ， 即
n = 4, ....................................................6 分

且u1 + u2 = π, u2 + u3 = 3π, u3 + u4 = 5π,
所以 x + x = π x + x = 4π x + x = 7π
1 2 3 , 2 3 3 , 3 4 3 ,
x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 4π ...................................................8 分
（3）因为f(x) = sin(2x + ), 所以 h(x) = ()x f(λx 一 ) = ()x sinλx ，
假定存在非零实数λ, 使函数 h(x) = ()x f(λx 一 ) = ()x sinλx 是 R 上的周期为T

的 T 级周期函数，


即vx eR ，恒有

h(x + T) = T . h(x)

成立，则vx eR ，恒有

()x+T sin(λx + λT) = T()x sin λx 成立，..................................................9 分
即vx eR ，恒有sin(λx +λT) = T . 2T sinλx 成立，当 λ子 0 时， x eR ，则λx eR ，
λx +λT eR ，
于是得sinλx e [一 1, 1] ， sin(λx +λT ) e [一1, 1] ，要使sin(λx +λT) = T . 2T sinλx 恒成立，则
有T . 2T = 土1 ，.................................................... 10 分
当 T . 2T = 1 ，即2T = 时， 由函数y = 2x 与y = 的图象存在交点知，方程2T = 有解，
此时sin(λx +λT) = sinλx 恒成立，则λT = 2mπ, m eZ ，即λ= , me Z ，


1 = 一 T
当 T . 2T = 一 1 ，即2T

1 = 一 T
时， 由函数y = 2x 与y = 一 的图象没有交点知，方程2T

无

解，所以存在λ= , m eZ ，符合题意，其中T 满足 T . 2T = 1 ................................... 12 分