12.3 乘法公式 华东师大版八年级数学上册素养提升练(含解析)

第12章　整式的乘除

12.3　乘法公式

基础过关全练

知识点1　两数和乘这两数的差(平方差公式)

1. (2023吉林长春汽开区实验学校月考)(5a2+4b2)(?)=25a4-16b4,括号内应填                                            (　　)

A.5a2+4b2　　　　  B.5a2-4b2

C.-5a2-4b2　　　　D.-5a2+4b2

2.(2023湖南衡阳衡南期中)下列能使用平方差公式的是 (　　)

A.(x+3)(3+x)

B.(-x+y)(x-y)

C.

D.(3m+n)(3m-n)

3.下列各式计算结果为16y2-x2的是                     (　　)

A.(4y-x)(-4y-x)

B.(-4y-x)(-4y+x)

C.(4y+x)(-4y+x)

D.(x+4y)(-x-4y)

4.【整体代入法】若a2-2a-1=0,则代数式(a+2)·(a-2)-2a的值为(　　)

A.-1　　　　B.-3　　　　C.1　　　　  D.3

5.用简便方法计算107×93时,变形正确的是               (　　)

A.1002-7　　　　

B.1002-72

C.1002+2×100×7+72　　　　

D.1002-2×100×7+72

6.计算:=　　　　. 

7.(2023吉林长春南关期中)如果(x+y+1)(x+y-1)=8,那么x+y的值为　　　　. 

8.【新独家原创】已知a2-b2=-2,则代数式(a+b)4·(a-b)4的值为　　　　. 

9.计算:

(1)(3x+2)(3x-2)+x(x-2);

(2)(2x-y)(y+2x)-y(x-y)-(2x)2.

10.(2022福建福州十九中期中)先化简,再求值:(x-3)(3+x)-6(x2-x-1),其中x=.

知识点2　两数和(差)的平方(完全平方公式)

11.(2023广东广州越秀育才实验学校期末)计算(3x-1)2的结果是                                                                        (　　)

A.6x2-6x+1　　　　B.9x2-6x+1

C.9x2-6x-1　　　　D.9x2+6x-1

12.(2023山东泰安肥城期中)下列各式正确的是       (　　)

A.(2a-1)2=4a2-1

B.=x2+x+

C.(3m+n)2=9m2+n2

D.(-x-1)2=x2-2x+1

13.(2023湖南长沙岳麓麓山国际实验学校期末)若(a+b)2-(a-b)2=4,则下列一定成立的是                                   (　　)

A.a是b的相反数

B.a是b的倒数

C.a是-b的相反数

D.a是-b的倒数

14.【类比思想】若(x-4)2=x2+kx+16,则k的值是         (　　)

A.8　　　　B.4　　　　C.-4　　　　D.-8

15.(2023江苏泰兴期末)已知(a+b)2=28,(a-b)2=12,则a2+b2的值为(　　)

A.8　　　　B.16　　　　C.20　　　　D.40

16.(2023上海闵行期中)已知x+y=6,xy=7,那么(3x+y)2+(x+3y)2的值为　　　　. 

17.计算:

(1)(2x-5)2-(2x+3)(3x-2);

(2)(2a+b)(a-2b)-(2a-b)2.

18.【新独家原创】已知W=(x+3y)2+(2x+3y)(2x-3y)-x2.

(1)化简W;

(2)若-1是x的平方根,y的相反数是-2,求W的值.

能力提升全练

19.【新考法】(2022广西百色中考,11,★☆☆)如图所示的是利用割补法求图形面积的示意图,下列公式中与之相对应的是      (　　)

A.(a+b)2=a2+2ab+b2

B.(a-b)2=a2-2ab+b2

C.(a+b)(a-b)=a2-b2

D.(ab)2=a2b2

20.【特殊值法】(2022贵州六盘水中考,12,★★☆)已知(x+y)4=a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4,则a1+a2+a3+a4+a5的值是  (　　)

A.4　　　 　B.8　　　　C.16　　　　D.32

21. (2023河南淅川期中,8,★★☆)已知a+b=2,ab=-3,则a2-ab+b2的值是                                                   (　　)

A.11　　　　B.12　　　　C.13　　　　D.14

22.(2023上海静安教育学院附属学校期中,12,★★☆)计算:(a-2b-3c)2=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

23. (2023河南南阳十三中月考,14,★★☆)如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么a+b的值为　　　　. 

24.先化简,再求值.

(1)(2022湖南衡阳中考,19,★☆☆)(a+b)(a-b)+b(2a+b),其中a=1,b=-2;

(2)(2022吉林长春中考,15,★☆☆)(2+a)(2-a)+a(a+1),其中a=-4.

25.(2023河南南阳南召期中,21,★★☆)阅读理解:

参考上述过程解答:

(1)若x-y=-3,xy=-2,则x2+y2=　　　　,(x+y)2=　　　　; 

(2)若m+n-p=-10,(m-p)n=-12,求(m-p)2+n2的值;

(3)若a2+ab+b2=10,a2-ab+b2=4,则a-b=　　　　. 

素养探究全练

26.【推理能力】(2022安徽中考)观察以下等式:

第1个等式:(2×1+1)2=(2×2+1)2-(2×2)2,

第2个等式:(2×2+1)2=(3×4+1)2-(3×4)2,

第3个等式:(2×3+1)2=(4×6+1)2-(4×6)2,

第4个等式:(2×4+1)2=(5×8+1)2-(5×8)2,

……

按照以上规律,解决下列问题:

(1)写出第5个等式:　　　　　　　　　　　　　　　　　; 

(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并证明.

27.【推理能力】(2023吉林长春六十八中期中)阅读下面问题:

你能化简(a-1)(a99+a98+…+a+1)吗?我们不妨先从简单情况入手,发现规律,归纳结论.

(1)先填空:(a-1)(a+1)=　　　　; 

(a-1)(a2+a+1)=　　　　; 

(a-1)(a3+a2+a+1)=　　　　; 

……

由此猜想:(a-1)(a99+a98+…+a+1)=　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　; 

(2)利用得出的结论计算:2199+2198+2197+…+22+2+1.

答案全解全析

基础过关全练

1.B　∵(5a2+4b2)(5a2-4b2)=25a4-16b4,∴括号内应填5a2-4b2,故选B.

2.D　根据平方差公式的结构特征:两个二项式必须有一项完全相同,另一项互为相反数,知满足这一特征的只有D选项,故选D.

3.B　(-4y-x)(-4y+x)=(-4y)2-x2=16y2-x2.故选B.

4.B　(a+2)(a-2)-2a=a2-4-2a=a2-2a-4,

∵a2-2a-1=0,∴a2-2a=1,∴原式=1-4=-3.故选B.

5.B　107×93=(100+7)×(100-7)=1002-72,故选B.

6.答案　q2

解析　原式=q2.

7.答案　±3

解析　设x+y=m,则原方程变形为(m+1)(m-1)=8,

∴m2-1=8,

∴m2=9,

∴m=±3,

∴x+y=±3.

8.答案　16

解析　∵a2-b2=-2,

∴(a+b)4(a-b)4

=[(a+b)(a-b)]4

=(a2-b2)4

=(-2)4

=16.

9.解析　(1)(3x+2)(3x-2)+x(x-2)

=9x2-4+x2-2x

=10x2-2x-4.

(2)(2x-y)(y+2x)-y(x-y)-(2x)2

=(2x-y)(2x+y)-(xy-y2)-4x2

=4x2-y2-xy+y2-4x2

=-xy.

10.解析　(x-3)(3+x)-6(x2-x-1)

=x2-9-6x2+6x+6

=-5x2+6x-3.

当x=时,原式=-5×+6×-3

=-+3-3

=-.

11.B　(3x-1)2=(3x)2-2×3x×1+12=9x2-6x+1.故选B.

12.B　(2a-1)2=4a2-4a+1,选项A错误;,选项B正确;(3m+n)2=9m2+6mn+n2,选项C错误;(-x-1)2=x2+2x+1,选项D错误.故选B.

13.B　∵(a+b)2-(a-b)2=4,(a+b)2-(a-b)2=a2+2ab+b2-

(a2-2ab+b2)=4ab,∴4ab=4,∴ab=1,故a与b互为倒数,

即a是b的倒数.故选B.

14.D　∵(x-4)2=x2-8x+16=x2+kx+16,∴-8x=kx,∴k=-8,故选D.

15.C　∵(a+b)2=28,(a-b)2=12,∴a2+b2+2ab=28①,

a2+b2-2ab=12②,①+②得2(a2+b2)=40,∴a2+b2=20,故选C.

16.答案　304

解析　原式=9x2+6xy+y2+x2+6xy+9y2

=10x2+12xy+10y2

=10(x2+y2)+12xy

=10(x+y)2-8xy,

当x+y=6,xy=7时,原式=10×62-8×7=304.

17.解析　(1)(2x-5)2-(2x+3)(3x-2)

=4x2-20x+25-(6x2-4x+9x-6)

=4x2-20x+25-6x2-5x+6

=-2x2-25x+31.

(2)原式=2a2-3ab-2b2-(4a2-4ab+b2)

=2a2-3ab-2b2-4a2+4ab-b2

=-2a2+ab-3b2.

18.解析　(1)W=(x+3y)2+(2x+3y)(2x-3y)-x2

=x2+6xy+9y2+4x2-9y2-x2

=4x2+6xy.

(2)∵-1是x的平方根,∴x=(-1)2=1.

∵y的相反数是-2,∴y=2.

当x=1,y=2时,W=4x2+6xy=4×12+6×1×2=4+12=16.

能力提升全练

19.A　观察图形,最大正方形的边长为a+b,面积为(a+b)2,由1个边长为a的正方形,2个长为a,宽为b的长方形,1个边长为b的正方形组成,所以(a+b)2=a2+2ab+b2.故选A.

20.C　∵(x+y)4=a1x4+a2x3y+a3x2y2+a4xy3+a5y4,∴令x=1,y=1,则a1+a2+a3+a4+a5=(1+1)4=24=16.

21.C　∵a+b=2,ab=-3,

∴a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=4-(-9)=13,故选C.

22.答案　a2-4ab+4b2-6ac+12bc+9c2

解析　(a-2b-3c)2=[(a-2b)-3c]2

=(a-2b)2-6c(a-2b)+9c2

=a2-4ab+4b2-6ac+12bc+9c2.

23.答案　±4

解析　∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,

∴(2a+2b)2-1=63,∴(2a+2b)2=64,

∴2a+2b=±8,∴a+b=±4.

24.解析　(1)(a+b)(a-b)+b(2a+b)

=a2-b2+2ab+b2

=a2+2ab.

当a=1,b=-2时,原式=12+2×1×(-2)=1-4=-3.

(2)(2+a)(2-a)+a(a+1)

=4-a2+a2+a

=4+a.

当a=-4时,原式=4+.

25.解析　(1)5;1.

(2)m+n-p=-10,即(m-p)+n=-10,

∵(m-p)n=-12,

∴(m-p)2+n2=[(m-p)+n]2-2(m-p)n=(-10)2-2×(-12)=124.

(3)∵a2+ab+b2=10,a2-ab+b2=4,

∴2a2+2b2=14,2ab=6,

∴a2+b2=7,

∴a2+b2-2ab=1,

即(a-b)2=1,∴a-b=±1.

故答案为±1.

素养探究全练

26.解析　(1)(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2.

(2)第n个等式:(2n+1)2=[(n+1)×2n+1]2-[(n+1)×2n]2.

证明:左边=4n2+4n+1,

右边=[(n+1)×2n]2+2×(n+1)×2n+12-[(n+1)×2n]2=4n2+4n+1,

∴左边=右边,∴等式成立.

27.解析　(1)a2-1;a3-1;a4-1;a100-1.

(2)原式=(2-1)×(2199+2198+2197+…+22+2+1)=2200-1.