2023-2024学年云南省昆明市禄劝县屏山中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省昆明市禄劝县屏山中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  代数式有意义的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是(    )

A.  B.  C. ，， D. ，，

4.  如图，数轴上点对应的数是，点对应的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列图象中，是的函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度单位：厘米与观察时间单位：天的关系，并画出如图所示的图象是线段，直线平行于轴下列说法正确的是(    )
从开始观察时起，天后该植物停止长高；
直线的函数表达式为；
第天，该植物的高度为厘米；
该植物最高为厘米．

A.  B.  C.  D.

8.  一组数据：，，，，若添加一个数据，则不发生变化的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

9.  下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  下列一元二次方程无实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  若函数是二次函数，那么不可以取(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知抛物线，下列结论错误的是(    )

A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大

二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）

13.  当时，二次根式的值为______ ．

14.  如图是一个长为、宽为、高为的长方体木块一只蚂蚁要沿着长方体的表面从左下角的点处爬行至右上角的点处，那么这只蚂蚁所走的最短路线的长为______ ．

15.  若是一元二次方程，则 ______ ．

16.  如果函数是二次函数，那么的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知米，米，，米，米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪．
是直角三角形吗？为什么？
小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？

19.  本小题分
如图，在四边形中，，平分，，为中点，连结．
求证：四边形为菱形；
若，，求的面积．

20.  本小题分
某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植、两种花卉，已知盆种花卉和盆种花卉的种植费用为元，盆种花卉和盆种花卉的种植费用为元．
每盆种花卉和每盆种花卉的种植费用各是多少元？
若该景区今年计划种植、两种花卉共盆，相关资料表明：、两种花卉的成活率分别为和，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用．

21.  本小题分
某中学举办“交通及防溺水安全知识告赛”，七年级甲、乙两班根据初赛成绩各选出名选手组成代表队参加学校决赛，两个代表队的名选手的决赛成绩如图所示，成绩统计见表格：

根据图示求出，，的值；
结合两队成绩的统计数据分析，哪个班的决赛成绩较好？

22.  本小题分
解下列方程：
；
．

23.  本小题分
某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有人感染发病．
每位发病者平均每天传染多少人？
按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过人吗？

24.  本小题分
小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池如图，在水池中心竖直安装了一根高为的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为处达到最高，水柱落地处离水池中心的距离为求：
抛物线对应的函数解析式；
水柱的最大高度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：代数式有意义的条件是：，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．

2.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

3.【答案】 

【解析】解：、，
此三角形是直角三角形，不符合题意；
B、，
此三角形是直角三角形，不符合题意；
C、，
此三角形是直角三角形，不符合题意；
D、，
此三角形不是直角三角形，符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
以为圆心，为半径画弧，交数轴于点，
，
点表示的数是：，
故选：．
首先根据勾股定理求出的长，再根据同圆的半径相等可知，再根据条件：点对应的数是，可求出点坐标．
此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，关键是求出的长．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是菱形，
，，，
直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，
，，
由得，
，
，
，
，
故答案为：．
在中先求得的长，根据菱形面积公式求得长，再根据勾股定理求得长．
本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得的长．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，对于的每一个值，都有唯一的值与其对应．
设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．根据函数的意义即可求出答案．
【解答】
解：、、选项中对于的每一个确定的值，可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义，
只有选项对于的每一个确定的值，有唯一的值与之对应，符合函数的定义．
故选：．

7.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数解析式的求法，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．
根据平行线间的距离相等可知天后植物的高度不变，也就是停止长高；
设直线的解析式为，然后求出直线线段的解析式，
把代入的结论进行计算即可得解；
把代入的结论进行计算即可得解．
【解答】
解：轴，
从第天开始植物的高度不变，
故的说法正确；
设直线的解析式为，
经过点，，
，，
解得，，
所以，直线的解析式为，
故的结论正确；
当时，，
即第天，该植物的高度为厘米；
故的说法正确；
当时，，
即第天，该植物的高度为厘米；
故的说法错误．
综上所述，正确的是．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：、原来数据的平均数是，添加数字后平均数为，故不符合题意；
B、原来数据的中位数是，添加数字后中位数仍为，故符合题意；
C、原来数据的众数是，添加数字后众数为和，故不符合题意；
D、原来数据的方差，
添加数字后的方差，故方差发生了变化，故不符合题意；
故选：．
依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：方程是一元一次方程，选项A不符合题意；
B.方程是二元一次方程，选项B不符合题意；
C.方程不是整式方程，选项C不符合题意；
D.方程是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：、，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、，则该方程无实数根，故本选项符合题意；
D、，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根判断即可．
此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了二次函数的定义，解题的关键是知道二次项系数不为，最高次数为的整式．
根据二次函数的定义，满足即可．
【解答】
解：函数是二次函数，
，
解得．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：选项，，
抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
选项，抛物线的对称轴为直线，故该选项不符合题意；
选项，抛物线的顶点坐标为，故该选项不符合题意；
选项，当时，随的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：．
根据抛物线时，开口向上，时，开口向下判断选项；
根据抛物线的对称轴为判断选项；
根据抛物线的顶点坐标为判断选项；
根据抛物线，时，随的增大而减小判断选项．
本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大；时，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：把代入，得
．
故答案为：．
把的值代入已知二次根式中，然后将其化为最简二次根式．
本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．

14.【答案】 

【解析】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
展开前面右面由勾股定理得；
展开前面上面由勾股定理得；
展开左面上面由勾股定理得．
，
最短路径的长为．
故答案为：．
把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
本题考查了平面展开最短路径问题及勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程，
，
解得．
故答案为：．
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是；是整式方程．
此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．

16.【答案】 

【解析】解：函数是二次函数，
，且，
解得：．
故答案为：．
根据二次函数的定义结合二次项系数不能为零，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题关键．

17.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】先根据绝对值的意义、零指数幂的意义和乘方的定义计算，然后把化简后合并即可；
根据二次根式的除法和乘法法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．

18.【答案】解：是直角三角形，
理由：连接，
在中，，米，米，由勾股定理得：米，
，，
，
，
是直角三角形；
该空地面积平方米，
即铺满这块空地共需花费元． 

【解析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出即可；
求出空地的面积，即可求出答案．
本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出区域的面积．

19.【答案】解：证明：为中点，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
四边形是菱形，，
，，
，，
，是等边三角形，
，，
，
，
． 

【解析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的定义可证，可得结论；
由菱形的性质可求，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，的长，即可求解．
本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质和角平分线的定义，灵活运用这些性质定义来解决问题是解题的关键．
解：证明：为中点，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
四边形是菱形，，
，，
，，
，是等边三角形，
，，
，
，
．

20.【答案】解：设每盆种花卉种植费用为元，每盆种花卉种植费用为元，根据题意，
得：，
解得：，
答：每盆种花卉种植费用为元，每盆种花卉种植费用为元；
设种植种花卉的数量为盆，则种植种花卉的数量为盆，种植两种花卉的总费用为元，
根据题意，得：，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
当时，的最小值，
答：种植、两种花卉各盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为元． 

【解析】设每盆种花卉种植费用为元，每盆种花卉种植费用为元，根据题意列出关于的二元一次方程组，求解即可；
设种植种花卉的数量为盆，则种植种花卉的数量为盆，种植两种花卉的总费用为元，由题意：这两种花卉在明年共补的盆数不多于盆，列出一元一次不等式，解得，再由题意得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

21.【答案】解：，
甲班出现了次，出现的次数最多，
，
把乙班的成绩按从小到大排列为：，，，，，
则；
两队的平均成绩相同，而甲班的中位数较大、方差较小，因而甲班的决赛成绩较好． 

【解析】根据平均数、众数、中位数的定义即可得出答案；
首先比较平均数，然后根据中位数、方差的大小判断．
此题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．

22.【答案】解：方程变形得：，
解得：，；

，
，
可得，
解得：，． 

【解析】方程移项后，利用平方根的定义开方即可求出解；
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

23.【答案】解：设每位发病者平均每天传染人，则第一天传染中有人被传染，第二天传染中有人被传染，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：每位发病者平均每天传染人；
人，
，
按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过人． 

【解析】设每位发病者平均每天传染人，则第一天传染中有人被传染，第二天传染中有人被传染，根据“某一社区开始有人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有人感染发病”，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
利用第三天发病人数第二天发病人数每位发病者平均每天传染的人数，可求出第三天发病人数，再将其与比较后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

24.【答案】解：根据题意设抛物线的解析式为：，
代入和得：，
解得
抛物线的解析式为：；
由知，
当时，有最大值
水柱的最大高度为 

【解析】设抛物线的解析式为，代入和得出方程组，解方程组求出函数解析式；
根据函数的性质求最值即可．
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．